Landmålere og koreografer

I dag, kjære leser, skal vi leke interplanetariske landmålere.

Som jeg var inne på sist, vil jeg lage et interaktivt kart over solsystemet vårt, slik at jeg har kontroll på planetposisjonene over tid. Jeg har laget et problemtre som viser klatrestrategien min. 

Hvis jeg kan måle en startposisjon for planetene, kan jeg finne posisjonene generelt ved å integrere hastighetene. Jeg vet selvfølgelig ingenting om hastighetene heller, men hvis jeg kan måle kun en starthastighet, kan jeg finne hastigheten overalt ved å integrere akselerasjonen. Siden jeg kjenner alle massene, kan jeg forsøke å finne denne akselerasjonen ut fra kraftsummen på hver planet. 

Jeg har nå nådd toppen av problemtreet mitt, og spørsmålet er om jeg klarer å komme meg ned igjen like hel. Det er ingen garanti for det, selv om jeg har klatret lignende trær tidligere. For den helt uerfarne klatreren kan kanskje overgangene jeg gjør virke litt umotiverte, men dette er et av de vanligste trærne man møter på i fysikken. 

Newtons koreografi

Vi kommer ikke unna Newtons lover når vi skal se på fysikken som koreograferer den planetariske dansen i systemet vårt. 

Som så ofte når vi er interessert i bevegelsen til noe, begynner vi med å identifisere alle kreftene som spiller inn. Friksjon er ikke verdt å snakke om når vi holder på med planetbevegelse, og vi har bare gravitasjonskrefter vi må tenke på. Systemet vårt har åtte planeter og en stjerne, som i større eller mindre grad påvirker hverandre gravitasjonelt. Vi kan se for oss den komplekse situasjonen vi har som noe slikt 

hvor hver tråd symboliserer en gjensidig tyngdekraft. Litt visdom fra min mor er at man alltid må starte fra bunnen når man skal gre ut floker som denne.

For å finne bevegelsen til en gitt planet, må jeg finne ut hvor mye den blir dratt i ulike retninger til enhver tid. Newtons andre lov sier at summen av alle disse kreftene er lik produktet av massen og akselerasjonen til planeten.

\(\Sigma \vec F = m\vec a\)

Med andre ord; dersom vi kan finne alle disse kreftene, kan vi finne farstsendringen til planeten og ut fra dette si noe om hvordan posisjonen endrer seg.  Jeg ser først på hjemplaneten vår Muskus B. La oss bare anta at en realistisk kraftsituasjon ved et gitt øyeblikk ser slik ut.

Vi har da

\(\sum \vec F = \vec F_{sol} + \vec F_c + \vec F_d + \vec F_e + \vec F_f + \vec F_g + \vec F_h + \vec F_i\)

Nøkkelfrasen her er derimot et gitt øyeblikk. For planetene beveger seg i forhold til hverandre, og kraftsituasjonen er nødt til å endre seg hele tiden. Dette blir voldsomt mye å holde styr på for enkle landmålere som oss selv. La oss se litt nærmere på disse kreftene. Sjefskoreograf Newton har lært oss at gravitasjonskraften mellom to objekter med masse m og M i avstand r er

\(\vec F = \frac{GmM}{r^2} \hat r\)

G er en konstant, og inntil videre ganske uinteressant for oss. Det er derimot to ting verdt å legge merke til. 

1) Større masser gir sterkere kraft

2) Større avstand gir mye svakere kraft

For å forstå konsekvensene disse punktene får i vårt system, må jeg dra fram litt data. Stjernen vår Muskus A er, er tre størrelsesordener (\(10^3\) ganger) mer massiv enn den største planeten Muskus H. Selv når vi summerer alle planetene, utgjør de beskjedne 0,7% av massen i systemet.

Dette er det vi på fagspråket kaller ei temmelig lita flis. De av dere med dårligst oppløsning kan kanskje ikke en gang se den. Når det gjelder avstandene, kan jeg estimere disse slik som i figuren under. 

Disse varierer selvsagt over tid, men vi kan likevel få et visst inntrykk av størrelsesordenene det er snakk om. Så hva betyr disse tallene for oss? Vi husker at større masse ga større kraft, og større avstand gir mindre kraft. 

Vi kan se på forholdet mellom kraften fra solen og en gitt planet. Vi kan for eksempel ta et ekstremt tilfelle, hvor man er ti ganger lengre vekk fra solen enn en gitt planet. Massen til solen er jo uansett minst tusen ganger større, og vi får forholdet

\(     \frac{F_{sol}}{F_{planet}} = \frac{\frac{Gm_{sol} m}{r_{sol}^2}}{ \frac{Gm_{planet}m}{r_{planet}^2}} =\frac{m_{sol}r_{planet}^2}{ m_{planet}r_{sol}^2} = \frac{1 000m_{planet}\,r_{planet}^2}{m_{planet}\,(10r_{planet})^2} = 10\)

Kraften fra solen er altså minst ti ganger større enn kraften fra den nære planeten, og som regel mer enn dette. Selv om enkelte planeter er nærmere hverandre enn solen, vil likevel massen til solen overveie denne effekten. Derfor kan vi med god tilnærming se helt vekk fra kreftene fra alle de andre planetene, og klippe noen tråder i den opprinnelige problemstillingen vår. Fra å måtte vite hvor mye alle planetene og solen drar oss avsted, trenger vi nå kun å konsentrere oss om hvor mye solen drar oss i en retning på et gitt tidspunkt.

Så var det denne lille detaljen om gjensidig kraft. For selv om vi kan neglisjere kreftene mellom planetene, kan vi ikke late som at Newtons 3. lov ikke er en ting. Kraft er lik motkraft, og det virker selvfølgelig krefter fra planetene på solen. Newtons andre lov gir for eksempel akselerasjonsbidraget fra Muskus B

\(a_{sol} = \frac{Gm_B}{r^2}\)

Dette er en veldig viktig detalj siden solens bevegelse vil påvirke kraften den har på hver av planetene. Vi kommer da igjen inn på masseforskjellene. Vi har etablert at massen til solen er minst tusen ganger større enn massen til en gitt planet. Newtons andre lov, \(a = \frac{F}{m}\), forteller oss da effektivt at akselerasjonen må være tusen ganger mindre, og det er mye vanskeligere å endre bevegelsestilstanden til solen. Effekten er faktisk så liten, at jeg trygt kan plassere solen i ro i origo, og fremdeles få nøyaktige nok resultater for våre formål.

Jeg har tegnet inn et tredimensjonalt koordinatsystem over. I praksis er derimot solsystemet vårt, som mange andre, ganske flatt. Hvorfor det er slik, er en interessant historie for en annen gang, kjære leser. Vi kan uansett tilnærme at alle banene foregår i ett og samme plan. Siden gravitasjonskreftene virker fra sentrum av massene, og ikke har noen komponent ut av dette planet, kan vi like så godt ta med oss fysikken vår, kaste 3D-brillene og flytte inn i en enklere, todimensjonal verden.

Vi begynner nå virkelig å nærme oss noe mer håndterbart. Med solen i ro i origo, og helt fysisk uavhengige planeter, har hver av dem en kraftsum og akselerasjon rettet mot origo. Vi er nå klare for integrasjonen. 

Ta en verdi og la den vandre

Kraften fra solen på en planet gir en akselerasjon 

\(a_{planet}=\frac{GM_{sol}}{r^2}\)

Her har det oppstått noe jeg alltid håper å unngå. Jeg har riktignok uttalt at man alltid må "nyte klatreturen opp problemtreet", men en akselerasjonen som er avhengig av posisjonen er rett og slett ikke alltid en hyggelig opplevelse. Mitt idealistiske, naive selv fra i går hadde nok ikke dette i tankene. Det gir jo mening, ettersom kraften vil peke i ulike retninger og ha ulik styrke etter hvor planeten er i banen sin. Dette gjør derimot at det ikke er rett frem å finne et utrykk for planetposisjonen.

Da jeg første gang ble introdusert for slike notoriske differensiallikninger, var jeg lenge i fornektelse. Jeg klarte bare ikke å akseptere at de var mulige å løse. For å vite posisjonen behøver vi akselerasjonen, men for å vite akselerasjonen trenger vi posisjonen.

Differensialer kan virke mystiske. Prinsipielt sett trenger vi likevel ikke mye komplisert matte for å løse bevegelsen for et lite tidsrom. Se for deg dette:

1) Jeg måler posisjonen \(r_0\) og hastigheten \(v_0\) til planeten ved en gitt tid.

2) Jeg bruker \(a = \frac{GM}{r_0^2}\) og finner akselerasjonen i denne posisjonen.

3) Ut fra akselerasjonen legger jeg til en liten hastighetsendring \(dv\).

\(a\,dt=\frac{dv}{dt}dt = dv \implies v=v_0 + dv\)

4) Ut fra denne nye hastigheten legger jeg til en liten posisjonsendring \(dr\).

\(v\,dt=\frac{dr}{dt}dt = dr \implies r=r_0 + dr\)

På slutten av denne listen av operasjoner har jeg en ny posisjon og hastighet, og kan begynne på nytt. Slik kan jeg fortsette i så mange små tidsrom \(dt\) jeg vil.

Euler i et nøtteskall.

Jeg er jo bare interessert i posisjonene mens jeg reiser, og trenger ikke en funksjon som er gyldig fram til døden av solsystemet. Jeg kan også få det så nøyaktig jeg vil, bare jeg velger små nok intervaller. Når jeg er ferdig, har jeg en liste med posisjoner r. Dermed har jeg fått nøyaktig det jeg ville; en løsning for posisjonen over et tidsrom. Hvis vi husker tilbake til partikkelboksen, så er ikke situasjonene vi har her altfor ulik. Vi har et sett med utgangsposisjoner og -hastigheter, og ber maskinen bevege planeten videre ut fra noen bestemte premisser eller fysiske lover. 

Også i dette tilfellet er det selvfølgelig både upraktisk og regelrett uaktuelt å gjøre dette for hånd. Den eneste grunnen til at jeg kan bruke denne enkle løsningsstrategien, er at jeg har en datamaskin som kan kjøre en million ganger gjennom listen over før jeg i det hele tatt rekker å hente meg en kaffekopp på kjøkkenet. Kaffekoppen får jeg først tid til når jeg ber maskinen gjøre nettopp dette for alle planetene. Jeg kan dermed ta et velfortjent slurp, mens jeg beundrer en figur enhver kommunal landmåler hadde misunnet meg. 

Enheten på aksene er astronomiske enheter, og grafene er plottet for 20 Muskus B år.

Det ser kanskje ut som noe jeg kunne tegnet i MS Paint. Og det er vell teknisk sett ikke noe jeg ikke kunne tegnet i MS Paint. Det er derimot ikke poenget, kjære leser. Det er ikke poenget i det hele tatt. Jeg ville faktisk gått så langt som å si at det som ligger bak dette tilsynelatende primitive bildet er en av grunnpilarene i fysikk. Newtons lover har, uten videre, spyttet ut nydelige ellipser som forutsier planetenes dans. Hvis du ikke føler noe når du ser på de fargerike kurvene mine er du en følelsesløs sjel. Eller en ingeniør. Men antageligvis begge deler.

Vi har dermed kommet oss helskinnet ned fra problemtreet vårt og er i mål med baneberegningene. Disse kommer godt med når jeg senere skal bestemme banen til raketten vår. 

Av Ida Risnes Hansen
Publisert 25. sep. 2017 11:48 - Sist endret 26. sep. 2017 11:53