Ruteberegninger fra kaos til zen

...mange kaffekanner og en vidunderlig sjokoladecroissant senere. 

Dette ble til slutt en saga av en historie. Vi har mye arbeid foran oss, så la oss bare hoppe i det. 

Mottaksbetingelser

Jeg har bablet mye om "den magiske mottakshorisonten" de siste ukene. Jeg tror tiden nå er inne for å presisere nøyaktig hva jeg mener med dette. Tyngdekraften fra en masse er kun avhengig avstanden til denne massen. Jo nærmere vi kommer destinasjonen, jo mer vil kraften fra planeten dominere over den fra sola. Vi når da etterhvert en horisont, hvor planetgravitasjonen er ti ganger større en sola sin påvirkning. Først da har vi en god mulighet til å komme i stabil bane rundt planeten, og nettopp dette, kjære leser, er den magiske mottakshorisonten. Antagelig mer konkret enn den er magisk, men "den konkrete mottakshorisonten" lyder liksom ikke like bra.

Konkret eller magisk, er den uansett en viktig størrelse for oss. Et annet viktig poeng er at det ikke nødvendigvis er nok å treffe innenfor denne avstanden. Vi må i tillegg ha lav nok fart. 

Det er veldig fort gjort å rett og slett fyke rett ut av solsystemet, og plutselig ende opp som en slags utilsiktet Voyager 3. Noe som i grunnen ikke høres ut som den verste skjebnen, før vi tar den endeløse tomheten innover oss. Hvis du synes det er langt mellom planetene, tror jeg ikke de interstellare avstandene vil tilby særlig trøst for deg. Dagens eksistensielle dose.

Greit, så vi må komme oss nær nok, med lav nok hastighet. Før jeg begynner å pønske ut nøyaktig hvordan vi kan få dette til, trenger jeg som alltid noen utgangsverdier.

Utgangsbetingelser

La oss ta et lite kollektivt flashback til første uke; i de dager da vi simulerte oppskytingen. Der og da brydde jeg meg egentlig bare om å få raketten opp og vekk fra planeten. Nå, når vi senere har zoomet ut for å se på hele solsystemet, må vi tenke på oppskytningen med referanse til solen i origo. Spørsmålet blir da hvor planeten befinner seg etter oppskytning i dette systemet.

Vi holder oss stadig i den samme, todimensjonale verdenen. Jeg kan starte en klokke på \(t=0\), da jeg skyter opp raketten og planeten vår er på x-aksen i solsystemet. Min umiddelbare tanke var da at posisjonen til raketten etter oppskytning må være summen av posisjonen til planeten, planetradiusen og høyden hvor vi unnslipper. Mens farten på sin side bare burde være lik unnslipningshastigheten.

Da glemmer jeg derimot to ting.

1) Planeten roterer rundt sin egen akse.

2) Planeten går i bane rundt sola. 

Raketten er jo en del av planetsystemet helt til den unnslipper, slik at vi må ta begge disse punktene til betraktning. Utgangsposisjonen er lik planetposisjonen etter oppskytning summert med posisjonen til raketten i forhold til planeten. Denne posisjonen må da være avhengig vinkelen \(\alpha\) planeten har rotert i løpet av oppskytningen. 

\(\vec r = \vec R_{planet} + (r_{planet} + h_{unnslipp})(\cos \alpha \hat x + \sin \alpha \hat y)\)

Raketten vil på samme måte også ta med seg hastighetene fra planetomløpet og -rotasjonen når den bryter løs. Vi har jo for vane å neglisjere ting som har små effekter på resultatet. Et godt spørsmål blir derfor om vi faktisk må ta stilling til disse.

a) Unnslipningsfarten

Planeten unnslipper i punktet hvor den kinetiske energien er lik den potensielle. Det vil si at hastigheten vekk fra planeten er for stor i forholdhold til kraften som drar den tilbake.

\(E_{kinetisk} = E_{potensiell}\)

   \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r_{planet} + h_{unnslipp}}\)

\(v_{unnslipp} = \sqrt{\frac{2GM}{r_{planet} + h_{unnslipp}}} \approx 2 AU/år \approx 9.5 km/s\)

b) Rotasjonsfarten

Farten fra rotasjonen er omkretsen i den radiusen du befinner deg, delt på tiden det tar for en full rotasjon. Rett og slett den gode gamle veiformelen, med konstant fart. 

\(v_{rotasjon} = \frac{2\pi}{t_{omløp}}\left(r_{planet} + h_{unnslipp} \right) \approx  0.08 AU/år \approx 0.38 km/s\)

c) Omløpsfarten

Siden vi starter på x-aksen, og går i tilnærmet sirkel rundt origo, er banefarten omtrent lik startfarten til planeten i y-retning. 

\(v_{omløp} \approx v_{y}(0) \approx 7 AU/år \approx 33 km/s\)

Konklusjonen her blir dermed at vi ikke bare , men også virkelig burde utnytte disse enorme hastighetene vi får med på kjøpet. Nå vet vi i alle fall hvor vi begynner og hvor vi vil ende opp. Da mangler bare alt fra B til Ø. 

Fysikken i kulissene

Uansett hvor vi legger ruta vår, må vi forholde oss til alle kreftene som lurer i kulissene. Som nevnt i sist innlegg, trenger vi heldigvis bare vurdere gravitasjonskraften fra sola og planetene på raketten. 

\(\Sigma \vec F = \vec F_{sol} + \vec F_b + ...+ \vec F_i\)

Vi husker igjen at alle disse kreftene kun er avhengig av avstandsvektoren mellom den gitte massen og raketten. Vi bruker så den gode, gamle oppskriften som alltid kommer velduftende og saftig ut av ovnen. 

1) Jeg har en utgangsposisjon \(\vec r_0\) og -hastighet \(\vec v_0\) for raketten

2) Jeg bruker Newtons andre lov \(\vec a = \frac{\Sigma \vec F}{m}\) og finner akselerasjonen i denne posisjonen

3) Ut fra akselerasjonen legger jeg til en liten hastighetsendring

\(\vec a\cdot dt = \frac{\vec {dv}}{dt}dt = \vec {dv} \implies \vec v = \vec {v_0} + \vec {dv}\)

4) Ut fra denne nye hastigheten legger jeg til en liten posisjonsendring

           \(\vec v\cdot dt= \frac{\vec{dr}}{dt}dt= \vec {dr} \implies \vec r = \vec {r_0} + \vec {dr}\)

Gjenta til full metthet er nådd. Dette måltidet minner veldig om det vi gjorde når vi regnet planetbevegelsene. Forskjellen nå, er at vi ikke skal observere passivt hvordan raketten beveger seg. Samtidig som vi tar hensyn til eksterne krefter på raketten,  skal vi få den til å overlappe i tid og rom med mottakshorisonten til Muskus H, som lever sitt eget liv i vårt ytre solsystem, uten å ofre våre problemstillinger en tanke. 

Ruteplanlegging

Hvis jeg kort skulle oppsummere forsøkene mine på å nå mottakshorisonten:

Forventninger
Den brutale virkeligheten

Jeg visste helt ærlig ikke hvor jeg skulle begynne, men var likevel ved godt mot i begynnelsen av uka. Nybegynnertabbe. La meg ta deg med på en reise gjennom tidssvinn og romslige feil. 

Min første idé var av den primitive sorten. Hvorfor ikke bare akselerere raketten rett ut mot planetbanen, og justere vinkelen til jeg treffer? Hvor vanskelig kan det være?

Ganske vanskelig, viser det seg. Man kan sikkert skrive en roman om hvorfor dette er en dårlig idé. 

Jeg kan se for meg de første kapitlene

Kapittel 1: Hvorfor det er et kjas å treffe små områder som beveger seg i flere tusen kilometer i timen.  

Kapittel 2: Hvorfor det er et mas å bremse ned store akselerasjoner (ref. kapittel 1).

Kapittel 3: Hvorfor det ikke er ideelt å akselerere direkte vekk fra massive fusjonsbomber.

Det er sikkert mulig å få dette til å fungere med litt taktisk bremsing og vinkling av banen. Jeg var derimot ute etter noe litt mer forutsigbart og drivstoff-effektivt. Jeg ble da tipset om en snedig liten greie, kalt Pokémon-banen.

Nei, vent litt. Hohmann-banen, mener jeg. 

Hohmann ja. Dette er en ellipsebane som både tangerer banen du starter i, og banen du vil ende opp i. Du kommer inn på Hohmann-banen ved å akselerere en bestemt tangentiell mengde i tangeringspunktet. Når du så når banen hvor destinasjonsplaneten er, akselerer du tangentielt en gang til for å kommer inn på ønsket bane. Disse akselerasjonene er avhengig av radiusene du går til og fra og massen i sentrum. 

Veldig elegant sånn sett, og veldig drivstoffs-effektivt. Den brukes derimot som regel kun på nære planeter, siden den på den andre siden ikke er veldig tidseffektiv. Jeg gjorde likevel et forsøk. Utfordringen ble da å gjennomføre denne manøveren på et tidspunkt hvor raketten nådde den store omløpsbanen i nærheten av destinasjonsplaneten. Men nå kommer jeg litt på forskudd av meg selv. Før vi kommer så langt møtte jeg, som insinuert, en del utfordringer. 

1) Zimmer og zen

Nedenfor ser du en kompilasjon av noen av de første plottene jeg fikk, hvor den blå linjen viser rakettbanen, mens den røde prikken er planetens posisjon ved sluttiden. 

Ay, ay og mere ay. Jeg har riktignok ytret min kjærlighet for numerisk integrasjon, som løser mange problemer mye enklere enn det jeg kan. Senest for noen avsnitt siden kunne du for eksempel lese 

Vi bruker så den gode, gamle oppskriften som alltid kommer velduftende og saftig ut av ovnen.

- Ida Risnes Hansen, noen avsnitt siden

Den har derimot en dyster bakside jeg har fortrengt inntil nå. 

Det vi egentlig gjør i denne metoden er å se på et punkt, og ut fra tilstanden i dette punktet, hoppe framover i tid. Vi mister derfor informasjon om bevegelsen mellom disse punktene, og får i stedet en litt ekkel gråsone vi ikke helt har kontroll på. 

Det hender nemlig iblant at du hopper litt lengre enn punktet ditt kunne forventes å ha kontroll over, og lander litt for langt unna den egentlige kurven. Feilen kan da vokse, siden denne nye posisjonen er utgangspunktet for den nye akselerasjonen, og spiralen fortsetter. Dette kan ofte minimaliseres ved å legge inn kortere, men flere hopp. Problemet blir da at datamaskinen må gjøre flere utregninger, som kan få mye å si for den totale tiden programmet bruker. Interessekonflikten blir dermed

a) Jeg vil ha små og mange hopp for minst mulig gråsone. 

b) Jeg vil gjøre færrest mulig hopp for å spare utregningstid for datamaskinen. 

Dette er en balansegang man må finne. Min ble til slutt 100 000 hopp per år, noe datamaskinen brukte omtrent 45 sekunder på å regne. Noe som forøvrig er for lenge til at jeg klarer å stirre på skjermen, men likevel akkurat for lite til at jeg rekker gjøre noe produktivt i mellomtiden. Ikke at dette er noe jeg har latt meg irritere over. Hans Zimmer og zen, Ida. Zimmer og zen. 

2) Når vi ikke kan flytte sola dit vi vil

Etter å ha intensifiert hoppingen min, endte jeg opp med rakettbanen nedenfor. 

Noe som gjorde meg irrasjonelt lykkelig. Ikke fordi jeg var så mye nærmere en løsning, men det er alltid betryggende når baner tilsynelatende følger de fysiske lovene. Jeg var likevel ikke helt klar for Hohmann. Jeg foretrekker nemlig å forholde meg til mer sirkulære baner. At denne er skjev og elliptisk må bety at utgangshastigheten vi fant ikke er normal på posisjonsvektoren fra sola.

Men du vet hva de sier; "Hvis du ikke kan flytte sola dit du vil, vent til planeten din har rotert en passende vinkel." Vi kan jo rett og slett bare skyte ut raketten på det tidspunktet hvor posisjonen vår på planetoverflaten er slik at resultanthastigheten ender opp normalt på retningen til sola. På den måten får vi også med oss maksimal hastighet i banen. 

Med det var jeg klar for å finne Hohmann-banen min. Jeg la til to instrukser i programmet mitt.

1) Hvis tiden er lik \(t_A\); gi raketten den første akselerasjonen.

2) Hvis raketten når den ønskede banen ved \(t_B\); gi raketten den andre akselerasjonen.

For hvert tidshopp maskinen gjør, sjekker den om disse to punktene er oppfylt. Når det er tilfelle, akselereres raketten, alle andre tider forholder vi oss bare til bevegelsen vi får fra gravitasjonskreftene. Dermed var det bare opp til meg å sørge for at planeten og raketten begge var omtrent i tangenspunktet ved tiden \(t_B\). Jeg har kontroll over både når raketten blir skutt opp, og tidspunktet \(t_A\) hvor første akselerasjon skjer. 

Det mest naturlige var da å forsøke oppskytning ved \(t = 0\). Det viste seg da at ved å sette \(t_A =0.17\)  og akselererer etter et par måneder i bane, så når jeg mottakshorisonten etter \(t_B =3.8\) år.

Vakkert.

Det er derimot slett ikke sikkert at jeg kan skyte raketten opp ved \(t = 0\). For eksempel vil jeg jo, som forklart, optimalisere initialhastigheten til raketten. I tillegg vil trolig oppskytningstiden vår endres ettersom vi nå må legge til ekstra drivstoff for de to hastighetsendringene mine. Jeg må med andre ord være forberedt på å modifisere tallene mine. Absoluttverdien av hastighetsendringene vil derimot være de samme uavhengig av de ulike tidsfaktorene, og jeg kan finne ut hvor mye ekstra drivstoff jeg må ta med. Ut fra drivstoffberegningene i første uke, estimerer jeg at jeg trenger ytterligere \(1520 kg\) drivstoff for mine totale fartsendringer på \(4.4 AU/yr\)

Dermed er Goggel Maps komplett og snorkelruten klar til å skisseres før avreise om noen uker. Nå gjenstår kun få detaljer før nullene og enerne mine skal implementeres i en kaotisk virkelighet. 

Av Ida Risnes Hansen
Publisert 8. okt. 2017 18:24 - Sist endret 7. feb. 2020 15:47