Mitt romskip er lastet med

Nå som vi har integrert oss varme i skjorta, skal vi legge de idealistiske forutsigelsene våre litt til sides. Tiden er i stedet inne for å laste romskipet vårt med instrumenter og skrive programvare som besvarer spørsmålet;

"Du vet alle de tallene vi har tygget opp de siste månedene? - Hvor gale er de egentlig?" 

 Vi skal nemlig sørge for at raketten kan gi oss data om bevegelsen sin i sanntid. 

Orientering

Kompass er veldig laglig på planeter hvor man har relativt stabile magnetfelt. Når vi vil finne ut hvilken retning raketten vår peker kan en god strategi være å ta utgangspunkt i noe tilsvarende stabilt i solsystemet. Stjernene er en god kandidat i denne sammenhengen. Vi vet hvordan hele himmelkula ser ut, og kan dele den opp i biter, som i et puslespill. Si at raketten tar et bilde rett forut. Hvis vi da klarer å finne ut hvor på himmelkule-puslespillet akkurat denne brikken hører hjemme, burde det avsløre orienteringen til raketten. Dette er i alle fall den generelle idéen. 

Prinsipielt er det jo ganske rett fram, men vi møter likevel på noen utfordringer i den praktiske implementeringen. Før vi bestemmer oss for hvordan vi skal dele opp himmelkula, må vi vite litt om hvordan bildene fra raketten vil se ut. Hvis vi velger å alltid ta standard, rektangulære bilder fra fronten til raketten, må bildet stå normalt på xy-planet vi beveger oss i. 

Det mest hensiktsmessige blir da å lage brikker som samsvarer med dette formatet, slik at vi kan gjøre mer direkte sammenligninger. Vi kan for eksempel føre en bilderamme langs omkretsen av det sirkulære planet, og lage rektangulære biter hele veien rundt. Dette virker greit nok så langt. Enhver pusler som tar seg selv seriøst burde derimot begynne å ane en alvorlig problematikk. Himmelkula vår er tredimensjonal, mens kameraet tar todimensjonale bilder. Å plassere todimensjonale brikker i et tredimensjonalt puslespill blir som å dra på 3D kino uten briller; det ser galt ut og er en ufeilbar vei til migrene. 

For å kunne spille effektivt, må vi derfor transformere kula over til et plan som svarer til bildene vi kommer til å ta. Vi kan da bruke et kjært verktøy for både geologer og Flat Earth Society; stereografisk projeksjon. Tanken er at vi kan knytte punkter fra himmelkula til en korresponderende plassering i planet

Figuren over viser et utsnitt av hva som foregår. Det vertikale bildesnittet i z-retning blir tilsvarende, og vi har projisert en del av kula over på et rektangel. Se nå for deg at sirkelen på bildet er et togspor med punktet P bevegelig langs sporet, og en konstant synsvinkel. Vi kan da dra punktet rundt hele sirkelen, og for hver grad lage en tilsvarende projeksjon over til et rektangel. Nedenfor har jeg for eksempel dratt P en kvart omkretslengde.

Til slutt får vi 360 bilder vi kan sammenligne rakettbildet med. Tanken er da at orienteringen er i sentrum av den projeksjonen som blir den nærmeste tilnærmingen. 

Nå har jeg absolutt ingen intensjon om å sitte å manuelt sammenligne 360 bilder. Mye av grunnen til at jeg gikk gjennom bryet å lage projeksjoner i samme format som bildene vi tar, er at bilder, som det meste digitale, kan brytes ned i mindre- og overraskende konkrete deler, som lar seg sammenligne effektivt.

Piksler. Alle som har kommet tilbake fra traumene etter forøk på å tegne rette linjer i Microsoft Paint, vet hva piksler er. 

Den lille knekken i midten gjør at linjen tar opp to piksler med bredden sin. Hver piksel er da en liten, kvadratisk, ensfarget rute. Denne fargen representeres av en unik tallverdi, som er det datamaskinen faktisk tolker. På linjen over svarer for eksempel verdien til hver piksel til fargen svart. Vi kan med andre ord se for oss et bilde som et rutenett av tallverdier. To identiske bilder vil da ha de samme tallverdiene i korresponderende ruter. Vi kan ikke forvente at kamerabildet er identisk med noen av projeksjonene mine. Vi kan likevel be datamaskinen finne projeksjonen som har de likeste tallverdiene ved å substrahere dem.

Bilde fra rakett - Projeksjon = Forskjell

Sentrum av projeksjonen som gir minst forskjell blir rakettens estimerte orientering.

Hastighet

Å finne rakettens hastighet i forhold til sola er litt mindre intuitivt, selv om prinsippet også her er enkelt. Vi kan igjen se til stjernene. Fra spekteranalysen vi har sett på tidligere, husker vi at vi kan måle den radielle hastigheten til en stjerne ved å se på dopplerskiftet i strålingen fra den. Dette kan vi gjøre fra solens perspektiv, men vi kan også ta med et spektrometer og måle fra raketten. Det er kanskje ikke helt åpenbart hvorfor to ulike målinger av hastigheten til en stjerne vi ikke bryr oss om hjelper oss. Den ender likevel opp med å bli et praktisk mellomledd.

Fordi enhver stjerne er mye lengre unna solsystemet, enn raketten er unna sola, vil synslinjene alltid være tilnærmet parallelle. Da kan vi si at stjernehastigheten i forhold til sola er summen av hastigheten til raketten i forhold til sola, og hastigheten til stjerna i forhold til raketten. Differansen av de to hastighetsmålingene fører oss nærmere det vi er ute etter; raketthastigheten i forhold til sola i retning av stjernen.  

Dette gir oss likevel ingen informasjon om eventuelle normale hastigheter raketten måtte ha. Vi trenger fremdeles ikke bekymre oss over z-retningen, men vi behøver stadig en annen måling fra en referansestjerne langs en synslinje som ikke er parallell med den første referansen i xy-planet. Med vektorene vi får fra disse to målingene kan vi entydig bestemme raketthastigheten. 


Referansefartene må være lik den totale hastigheten multiplisert med enhetsretningen i forhold til solen. Hvis de lager henholdsvis vinklene \(\alpha_1\) og \(\alpha_2\) med x-aksen, får vi.

\(v_1 = [v_x, v_y]\cdot[\cos(\alpha_1), \sin(\alpha_1)]= v_x\cos(\alpha_1) + v_y\sin(\alpha_1)\\ v_2 = [v_x, v_y]\cdot[\cos(\alpha_2), \sin(\alpha_2)]= v_x\cos(\alpha_2) + v_y\sin(\alpha_2)\)

Til slutt kan vi løse disse med hensyn på \(v_x\) og \(v_y\).

Nøkkelen i metoden er likevel at hastigheten til raketten i forhold til sola i en bestemt retning, egentlig er et mål på hvor uenige de er i hastighetsmålingen av et eksternt, tredje objekt. Dette er et vanlig referanse-problem, hvor en hastighetsmåling i system A er lik hastighetsmålingen i system B summert med hastigheten til system B i system A. 

Posisjon

Da gjenstår det bare å skrive programvare for å finne rakettposisjonen i forhold til sola. I denne siste problemstillingen skal jeg se litt vekk fra de fjerne stjernene. Vi har nemlig ryddet plass til en radar som til enhver tid kan gi oss avstanden mellom raketten, planetene og sola. Da er vi jo allerede langt på vei. La oss begynne med distansen radaren gir oss til sola.

\(|p_{sol}-p_{rakett}| = d_{sol}\)

Siden sola per definisjon er i origo i vårt system, må raketten være en plass på sirkelen med sentrum i origo og radius \(r=d_{sol}\).

Videre kan vi se på avstanden fra en planet til raketten. 

\(|p_0 - p_{rakett}| = d_0\)

Vi får altså en ny sirkel, denne gangen om planeten og med radius lik avstanden \(d_0\) til raketten. 

Siden vi måler avstandene til sola og planeten ved samme tid, må løsningen for rakettposisjonen nødvendigvis være den samme; raketten må befinne seg på begge sirklene samtidig. Dette er tilfelle i de to punktene hvor de generelt vil overlappe. Jeg sier generelt, for vi kan jo se for oss et scenario hvor sirklene bare tangerer hverandre. Siden dette typisk ikke er situasjonen, må vi likevel se på enda en planet.

Der har vi en entydig løsning hvor alle sirklene overlapper i et punkt, og vi har lokalisert raketten. Det er egentlig en litt stilig framgangsmåte, hvor vi i prinsippet ikke trenger å vite noe om hvilken retning planetene og stjernen er i forhold til raketten. Vi vet bare at raketten er en plass på sirklene med radius lik avstandene vi får fra radaren. Siden disse avstandene er målt på samme tidspunkt, må nødvendigvis raketten befinne seg på hver av sirklene. Dette blir dermed bare en god gammel "finn skjæringspunktet mellom grafene"-oppgave. Det er alltid kult når ting man skulle tro må ha kompliserte løsninger faller ut av enkel geometri. En liten trøst for alle oss som ikke har en Marcel Grossmann i livet vårt, antar jeg. 

Skipslasting 

Vi har da sett på tre ganske enkle metoder vi kan bruke for å sjekke rakettbevegelsen underveis. Fordelen er at vi ikke er avhengig av unødvendig kompleks- og sammensatt instrumentering. Vi ber romskipet samle én type data, og fokuserer heller på å bearbeide denne dataen for å få ut den relevante informasjonen.

Vi må bare sørge for at vårt romskip er lastet med

- Et kamera for å finne orienteringen

- Et spektrometer for å finne hastigheten

- En radar for å finne posisjonen

Da, kjære leser, var både planleggingen og pakkelisten komplett. Neste gang møtes vi til avreise.

Av Ida Risnes Hansen
Publisert 17. okt. 2017 13:00 - Sist endret 7. feb. 2020 15:47