Atmosfærer og aksjefond

For å besvare spørsmålet om hvordan gassene fordeler seg, må vi tenke godt over hvordan atmosfærer egentlig fungerer.

Denne tankeprosessen gir meg assosiasjoner til den korte perioden i livet mitt hvor jeg prøvde å bli en del av aksjefondsverdenen. Til å begynne med, valgte jeg, intuitivt nok, fondet som hadde finest tall gjennom det siste året. Gjett om jeg ble sjokkert da avkastningen min etter et par måneder var -2%. Jeg gjorde derfor det mest rasjonelle jeg kunne; sprang så fort beina mine kunne bære meg over til fondet som hadde best resultater fra de siste par månedene. Som slike historier gjerne går, så toppet det hele seg selvfølgelig kort tid senere da det opprinnelige aksjefondet føk til himmels.

Hvis denne anekdoten har noe som helst poeng, må det jo være at jeg aldri burde fått myndighet over min egen bankkonto. Atmosfæredynamikk gir meg litt den samme kaotiske følelsen av at jeg tukler med ting jeg virkelig ikke burde få lov til å røre. Du endrer én liten ting i ligningene dine, og alt skyter fart en helt uforutsett retning. For å i det hele tatt begynne å forstå noen ting, føles det som om du må nå bunnen av en uendelig brønn du har falt nedi mot din vilje. 

Nå er jeg litt dramatisk. Det er litt å holde styr på, men hvor hele mine økonomiske kunnskaper stammer fra perioden jeg var med i Labb og Line-klubben, har jeg jo faktisk dedikert flere år av livet mitt til problemløsing. Og mens økonomiske trender gjerne er utenfor min kontroll, burde atmosfæreforhold tross alt være mer forutsigbare.

Vi er først og fremst interessert i hvordan tettheten endrer seg med høyden, og trenger noen tetthet-sammenhenger. 

Hydrostatisk likevekt

En interessant observasjon vi kan begynne med er at til tross for alle bestemødres påstand om at "den forbaska trekken" er verdens største onde, så er atmosfærer tross alt rimelige stabile saker. I alle fall på stor skala. Så hva er det egentlig som gjør at alt ikke kollapser?

For det første må det jo nødvendigvis virke en gravitasjonskraft på gassmolekylene.

Men dette kan ikke være hele historien. Vi må ha en noe som dytter tilbake; en trykkraft.

Det var bedre. Alle kreftene balansert i et statisk system. Som balsam for fysikersjela. Når trykket og gravitasjonen utjevner hverandre på denne måten kaller man det hydrostatisk likevekt. For å utlede en nyttig sammenheng fra dette, kan vi se på en bitteliten boks av atmosfæren i en avstand \(R\), fra planetsentrum. På denne boksen virker det en gravitasjonskraft, en trykkraft på toppen og en på bunnen. 

Siden vi har hydrostatisk likevekt må disse kreftene balansere hverandre.

\(G = F_{p, bunn} - F_{p, topp} = \Delta F_p\)

Trykk P er jo per definisjon kraft fordelt over areal. Hvis topp- og bunnflaten har areal \(A\) får vi \(\Delta F_p = A\Delta P \). Dermed må gravitasjonskraften være like trykkforskjellen over boksen, multiplisert med arealet. Vi trenger ikke tenke på sidekantene, siden kreftene her vil utjevne hverandre. Hvis boksen inneholder masse \(m\) får vi da

\(-m g = A\Delta P\)

Nå må vi bare finne en måte å få inn denne atmosfæretettheten på. Massen til boksen er massetetthet ganger volum, \(m = \rho V = \rho A \Delta h\).

\(-\rho A \Delta h g = A \Delta P\)

\(- \rho g = \frac{\Delta P}{\Delta h}\)

Siden boksen er bitteliten kan vi bruke derivasjons-notasjon, og får at endringen i trykket som følge av endring av radius er lik det negative produktet av massetettheten og tyngdeakselerasjonen.

\(\frac{dP}{dh} = - \rho g\)

Dette gjelder for alle slike små bokser vi finner i atmosfæren. Men nå må vi være litt forsiktige med hvordan vi formulerer oss. For tyngdeakselerasjonen er jo avhengig av avstanden vi har fra planeten. Vi kan heller ikke bare anta at atmosfæretettheten vil være den samme overalt. Vi må derfor skrive

\(\frac{dP}{dh} = - \rho (h) g (h)\)

for å presisere at sammenhengen gjelder i et lokalt område. For enhver plass i atmosfæren; hvis du kan måle tyngdeakselerasjonen og tettheten rundt deg, kan du multiplisere disse for å finne ut hvor mye trykket vil endre seg per lille distanse du beveger deg opp eller ned. Stilig, men ikke egentlig direkte anvendbart for oss. Vi har egentlig bare klatret over på en ny problemtre-gren, og behøver nå en annen trykk-massetetthet-sammenheng. 

Før jeg går videre vil jeg bare understreke hvordan tyngdeakselerasjonen endres med høyden. 

\(g(h) = \frac{GM(h)}{R(h)^2}\)

Avstanden \(R(h)\) er grei nok. Den må vi kunne utrykke som summen av planetradiusen og høyden vi befinner oss i \(R(h) = r + h\). Men hva med massen? Det er altså snakk om all masse innenfor omkretsen av skallet med radius \(R(h)\) vi befinner oss i. Det betyr selvfølgelig at vi må ta med hele planetmassen som vanlig, men også atmosfærepartiklene har en masse. Denne er som vanlig produktet av massetetthet og volum. Men siden tettheten antagelig ikke er konstant, må vi ta integralet over alle massebidrag-skall med tykkelse \(dh\) opp til høyden \(h\) vi befinner oss i.

\(M(h) = M_{planet} + \int_0^h \rho(\hat h)4\pi(r+\hat h)^2d\hat h\)

Det er ikke sikkert disse effektene gir en betydelig effekt på regnestykket vårt, men det skader ikke å ta det med så lenge vi ikke har full oversikt over situasjonen. 

Ideell gass

Vi behøver altså en annen sammenheng. Da kan antagelsen om at vi har å gjøre med ideelle gasser hjelpe oss godt på vei. Vi har nemlig følgende sammenheng mellom trykk \(P\), partikkeltetthet \(n\) og temperatur \(T\).

\(P = nkT\)

hvor \(k\) er en konstant. Denne partikkeltettheten er antall partikler \(N\) per volum \(V\)\(n = \frac{N}{V}\). Men antall partikler kan vi finne ved å dele den totale massen av hele atmosfæren opp i biter på størrelse med den gjennomsnittlige partikkelmassen. Siden vi tidligere har konkludert med at vi kun har vanndamp, må jo denne bare være \(m_{O_2}\) og \(n = \frac{m}{m_{O_2}V}\). Du begynner kanskje nå å ane at denne omskrivingen ikke var helt uten baktanker. Den totale massen per volum er jo bare massetettheten; akkurat det vi etterhvert vil finne.  Vi har da sammenhengen

\(P = \frac{\rho k T}{m_{O_2}}\)

Vi må fremdeles tenke på at både trykk og massetetthet, men også temperaturen, kan variere med høyden. 

\(P(h) = \frac{k}{m_{O_2}}\rho (h)T(h)\)

Temperaturmodeller

Nå har vi to fine sammenhenger

\(\frac{dP}{dh} = - \rho (h) g (h)  \)           

\(P(h) = \frac{k}{m_{O_2}}\rho (h)T(h) \)

og tre ukjente funksjoner \(\rho (h)\), \(P(h)\) og \(T(h)\). Det kan jo derfor virke litt som jeg har gått fra å ha en ligning med to ukjente, til to ligninger med tre ukjente. Dette er likevel ikke den bomturen det kan virke som. Vi har nemlig en modell for temperaturfordelingen. 

  • Overflatetemperaturen har vi beregnet tidligere \(T_0\approx 115 K\).
  • Fra overflaten og opp til en høyde hvor temperaturen er halvert har vi adiabatisk atmosfære. Det vil si at gassen kan endre temperatur uten å utveksle varme med omgivelsene, og vi har en sammenheng \(T = CP^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\), hvor vår \(\gamma = 1.4\).
  • Videre oppover er atmosfæren isotropisk; temperaturen er konstant \(T=\frac{T_0}{2}\)

Dermed kan vi dele løsningen vår i to deler; en adiabatisk og en isotropisk, og løse for tetthet. En konsekvens er jo da at vi samtidig finner løsninger for temperatur og trykk, som forsåvidt også er interessante størrelser for oss.

Adiabatisk del

I den adiabatiske delen begynner vi på overflaten med \(T_0 = 115 K\) og \(\rho_0 = 18.4 kg/m^3\). Tettheten på jordoverflaten er til sammenligning \(1.2 kg/m^3\). Overflatetrykket finner jeg ved å bruke ligningen for ideell gass i \(h=0\).

\(P_0 = P(0) = \frac{k}{m_{O_2}}\rho (0)T(0) \approx 967 kPa\)

Trykket på jordoverflaten er på sin side bare \(101 kPa\). Ut fra \(P_0\) og \(T_0\) kan vi finne \(C = P(0)^{\gamma-1}T(0)^{\gamma}\). Da har vi alle utgangsbetingelsene vi behøver. Du kan løse likningssettet analytisk ved å løse en separabel differensiallikning, eller du kan gjøre som meg og vende deg til datamaskinen.  Til nå har vi kun brukt Eulers metode for å løse bevegelsesligningene. Det er likevel ingenting i veien for at vi ikke kan løse andre ordinære differensialligninger på samme måte.

I første iterasjon regner jeg tyngdeakselerasjonen- og finner den deriverte av trykket på bakken. Jeg bruker så vanlig Euler til å beregne trykket i en høyde \(dh\). Denne setter jeg inn i det adiabatiske uttrykket, før jeg finner tettheten fra den ideelle gassloven. Til slutt kan jeg oppdatere masseutrykket. 

\(g(0) = \frac{M(0)G}{(r+0)^2}\)

\(\frac{dP}{dh} = - \rho (0) g (0)\)

\(P(0+dh) = P(0) + \frac{dP}{dh}dh = P(0)+dP \)

\(T(0+dh) = CP(0+dh)^{\frac{\gamma -1}{\gamma}}\)

\(\rho(0+dh) = \frac{k}{m_{O_2}}P(0+dh)T(0+dh)\)

\(M(dh) = M(0) + 4\pi (r+0)^2dh \)

Vi ender da opp med et sett løsninger for \(h=dh\). Vi kan da gjenta samme operasjoner for å få \(h=2h\) og så videre. Vi ber datamaskinen holde på så lenge temperaturen \(T > \frac{T_0}{2}\), som var grensebetingelsen før atmosfæren ble isotropisk. Jeg kaller de siste grenseverdiene vi får før dette skjer for henholdsvis \(T_g\), \(P_g\) og \(\rho_g\)

Isotropisk del

I den isotropiske delen gjelder stadig hydrostatisk likevekt og vi antar fremdeles at gassen er ideell. Det eneste vi egentlig trenger å endre i algoritmen vår er dermed utrykket for temperatur, som nå skal være konstant \(T = \frac{T_0}{2}\). Vi benytter startverdiene \(T = T_g\), \(P = P_g\) og \(\rho = \rho_g\), og fortsetter algoritmen til trykket er redusert til en hundredel av overflateverdien \(P_0\)

Profiler

Nedenfor ser du profil-plott av skalert trykk, tetthet og temperatur. Den stiplede linja er grensen mellom adiabatisk og isotropisk del. 

Vi ser at både trykk og tetthet synker eksponentielt i den adiabatiske delen, men slaker litt ut når vi når det isotropiske området. Temperaturen er på sin side omtrent lineær i den adiabatiske delen. Når det gjelder størrelsene har vi svært høyt trykk og atmosfæretetthet. Det er likevel høy usikkerhet både rundt utregningene av overflatetemperaturen og gasstypene vi har. Dette er et greit utgangspunkt, men vi må kanskje være forberedt på å møte litt andre forhold enn modellen vår spår. 

Til slutt i dag kan vi kanskje konkludere med at det fondsparing og atmosfæredynamikken har til felles, er at de begge krever en god dose tålmodighet. 

 

Av Ida Risnes Hansen
Publisert 13. nov. 2017 17:35 - Sist endret 17. nov. 2017 17:59