Relativistisk filmproduksjon

Jeg tror ikke det er kontroversielt å påstå at en av våre objektivt beste filmsjangre er sci-fi western. Det er noe veldig treffende med kombinasjonen av sørstatsdialekt, fremmede ørkenplaneter og skrale, men merkelig effektive, romskip. I første eksperiment på veien mot en bedre forståelse av den spesielle relativitetsteorien, skal vi spille inn en duellscene fra nettopp en slik film, men fra to ulike referanserammer.

Fokuset i scenen er to romskip, som fyker forbi planeten vår med en fart på over 90% av lysfarten. I manuskriptet har de instrukser om å skyte laserstråler mot hverandre samtidig. Vi har ett kamerateam på planetoverflaten, og et annet i et tredje romskip som følger bevegelsen til de to andre. 

Fra planeten tar vi følgende opptak. 

Vi måler en avstand \(L = 424.3\,km\) mellom skipene, og farten \(v = 0.906c\) mot høyre. I filmen ser vi at venstre romskip fyrer sin laser først, selv om skipene hadde klare instrukser om å skyte samtidig.

Nedenfor har jeg tegnet situasjonen. 

Nå vet vi jo hendelsesforløpet fra vårt planetperspektiv. Venstre skip var utvilsomt raskest på avtrekkeren. Det vi likevel er mest interessert i, er en sammenligning med romskipversjonen. Siden myndighetene nylig avskaffet interplanetarisk nettnøytralitet, må vi antagelig vente en stund før vi mottar denne. I mellomtiden kan vi jo prøve å resonnere oss frem til situasjonen.

Det er ikke mye vi kan si med sikkerhet, men vi vet i det minste at intervallet \(\Delta s^2\) er det samme for oss alle. Det invariante tidromsintervallet er vår paracet mot den relativitetsinduserte hodepinen. 

Første steg blir derfor å definere noen hendelser vi kan regne intervaller ut fra. Vi kan si at hendelse A og B er venstre- og høyre romskip, respektiv, som avfyrer laserne sine. C og D er tilsvarende at de blir truffet. Nedenfor ser du tidene og posisjonene vi måler fra planeten.

Før vi går i gang med rakettperspektivet, vil jeg bare se på en siste hendelse. I manuskriptet er det nemlig tenkt at høyre skip skal overleve eksplosjonen, og på sadistisk vis nyte skuet av destruksjonen den har påført motstanderen sin. Eller med fysikkterminologi; hendelse E.

Dette må skje når lyset fra venstre eksplosjon når høyre skip. Romskipet begynner i posisjon \(x = L\), og beveger seg med farten \(v\). Lyset starter i posisjonen \(x_C\), hvor eksplosjonen i hendelse C skjer, og reiser med lysfart over en tid \(\Delta t = t_E - t_C\).

\(x_{høyre\,\,skip}(t_E) = x_{lys\,\, fra\,\, C} (t_E)\)

\(L + v t_E = x_C + c (t_E - t_C)\)

Jeg løser for \(t_E\) og finner

\(t_E = \frac{x_C-L-ct_C}{v-c} = 23.9 ms\)

Dette gir oss triumfposisjonen

\(x_E = L + v t_E = 6918.7 km\)

Nå har vi en grei oversikt i vår ramme, og er klar for å utforske hva observatøren i romskipet ser. De eneste antagelsene jeg våger å gjøre er

1) Lys har samme fart for alle observatører, \(c \approx 300\,000km/s\)

2) Samtidighet er relativt.

3) Tidromsintervallet \(\Delta s^2 = (c\,t)^2 - x^2\) er likt for alle observatører.  

Vi må forvente å gjennomgå en del ligninger, før vi når noen tilfredsstillende spenningstopp. Hvis lyden av det kun gjør deg moderat begeistret, kan du sammenligne ligningene med kildelisten til en journalist. Du bestemmer selv hvor nøye du studerer dem, jeg har de bare med for å ikke miste all kredibilitet. Det mest interessante å få med seg er kanskje hvordan jeg setter dem opp. Resten er ren omstokking av symboler. 

For å ikke miste all tilregnelighet, betegner jeg alle størrelser i romskiprammen med merkede symboler. Til å begynne med kan vi se for oss situasjonen nedenfor. 

Hendelser i denne rammen er kanskje greiere å holde styr på siden romskipene er i ro. Vi får anta at skipene fulgte manus, og skjøt samtidig. Hvis vi setter venstre skip i origo, blir til posisjonen høyre skip lik avstanden mellom dem \(x'=L'\). Tiden til hendelse C og D må være tiden det tar lyset å reise denne konstante avstanden; \(t_C = t_D = \frac{L'}{c}\). Den eneste ukjente er dermed \(L'\). Vi kan bruke invarianse i tidromsintervallet mellom hendelse A og B til å finne L' = 984.2 km. 

Nedenfor har jeg oppsummert hendelsene slik jeg tror romskipet observerte dem.

Vi ser umiddelbart store forskjeller fra vår planetramme. Vi har allerede kastet samtidighet ut av vinduet. Her ser det i tillegg ut til at eksplosjonene skjer mye tidligere fra romskipets perspektiv. Mindre tid har passert. Som om dette ikke var nok grunnlag for en eksistensiell krise, er avstanden mellom romskipene plutselig dobbel så stor.

Hva så med hendelse E, når høyre romskip ser venstre skip eksplodere? Det burde i alle fall skje i posisjon \(x_E' = L'\), hvor høyre romskip er. Vi kan også tenke oss fram til at \(t_E'\) burde være tiden det tar laseren å reise først frem til venstre romskip, pluss tiden det tar lyset fra den resulterende eksplosjonen å reise tilbake til høyre skip. Altså \(t_E' = 2\frac{L'}{c}\). Jeg lovte meg selv å ikke trekke forhastede situasjoner, så jeg vil gjerne validere med et tidromsintervall. 

Vi kan for eksempel se på intervallet mellom eksplosjonen av venstre romskip og den observerte eksplosjonen. I vår planetramme har vi

\(\Delta s_{CE} ^2 = \Delta t_{CE}^2 - \frac{\Delta x_{CE}^2}{c^2} \)

Uten å sette inn noen tall vet vi at \( \Delta t_{CE}\) må være tiden det tar lyset å reise distansen \(\Delta x_{CE}\), og \(\Delta s_{CE}^2 = 0\). Måten tidromsintervallet er definert gjør at dette alltid vil gjelde når vi snakker om lys. Vi vil selvfølgelig alltid måle at lyset bruker tiden det tar lyset å reise den gitte avstanden. Det betyr at intervallet også må være null i romskiprammen. 

\(\Delta s_{CE}' ^2 = 0\)

\(t_E' = \frac{x_E'-x_C'}{c} + t_C'  \)

Når jeg setter inn utrykkene fra tabellen får jeg

\(t_E' = 2\frac{L'}{c} = 6.57 ms\)

Akkurat det vi antok. Også denne tiden er mindre enn den vi målte på planeten.

Nå tror jeg vi alle trenger en liten pause. Det passet derfor bra at rakettopptaket endelig nådde fram. 

Interessant. Vi får her bekreftet at de faktisk skjøt samtidig i romskiprammen. Tidspunktene og posisjonene vi regnet oss fram til ser også ut til å stemme. Vi må derfor konkludere med at hendelsene ikke skjer samtidig, romskipet måler kortere tid og lengre avstand.

Dette var jo bare ett eksperiment, og i stedet for å henge oss opp i disse tallene, vil jeg prøve å jobbe meg mot noe mer generelt. Universet retter seg tydeligvis ikke etter min intuisjon. Det betyr likevel ikke at det ikke finnes noe som helst system i det vi ser. 

Før vi hopper inn i flere utregninger, vil jeg innføre et lite hjelperomskip midt mellom skipene når \(t = t' = 0\). Dette er i samme referanseramme som resten av romskipene, og beveger seg da med \(v = 0.906\) til høyre fra vårt perspektiv. I romskiprammen står begge skipene i ro og skyter samtidig. Laserne må derfor møtes i posisjonen til hjelperomskipet.

Tilbake til planeten. Det tredje romskipet beveger seg med samme fart som de to andre skipene, og burde, også i vår ramme, forbli midt mellom dem. Fra rakettrammen vet vi at laserne vil krysse i posisjonen til dette romskipet. Dette er en definerbar hendelse som også må skje i vår ramme. Da vet vi at laserne krysser midt mellom skipene, også for oss. Jeg kaller det hendelse X. 

Jeg begynner med å se litt nøyere på samtidigheten. Intervallet mellom skudd av venstre skip, hendelse A, og møtet mellom laserne i midten, hendelse X, er null ut fra samme argument som før.

\(\Delta t_{AX}^2 - \frac{\Delta x_{AX}^2}{c^2} = 0\)

\(t_A = \frac{x_A}{c} + (t_X - \frac{x_X}{c})\)

Bruker jeg i stedet hendelse B, får jeg tilsvarende

\(t_B = \frac{x_B}{c} + (t_X - \frac{x_X}{c})\)

Siden \(x_A < x_B\), må også \(t_A < t_B\). Vi har jo sett det fra opptakene, men her faller også relativ samtidighet rett ut av ligningene. Når vi vet laserne skal møtes midt mellom skipene som beveger seg mot høyre, er dette resultatet ganske intuitivt. Hjelpeskipet i midten må også bevege seg mot høyre, vekk fra venstre- og mot høyre laser. Venstre laser har lengre vei å gå, og må avfyres først hvis møtet i midten skal skje.

Når vi nå går videre, er det praktisk å ha alle posisjonene som funksjon av tid foran oss. Da kan vi bare sette de relevante ligningene lik hverandre, og løse for det vi er interessert i. Rekken av utregninger håper vi etterhvert vil lede oss fram mot en generell sammenheng mellom tiden vi måler fra planeten, og tiden de måler i raketten. 

Romskipene beveger seg alle med farten \(v\), og vi behøver bare ta hensyn til de ulike startposisjonene.

For venstre romskip har vi

\(x_V(t) = vt\)

For hjelperomskipet er

\(x_M(t) = \frac{L}{2} + vt\)

Høyre romskip har til slutt

\(x_H(t) = L + vt\)

Den venstre laseren sendes avsted ved \(t=0\), og beveger seg mot høyre med lysfart.

\(x_{VL}(t) = ct\)

Høyre laser avfyres i posisjonen \(x_B= x_H(t_B)\) og sendes mot venstre med lysfart. Fra dette punktet blir endringen av posisjonen \(-c\Delta t = - c(t-t_B)\) og

\(x_{HL}(t) = x_H(t_B) - c(t-t_B) = L + vt_B - c(t-t_B)\)

Denne er bare definert for \(t \geq t_B\), siden laseren ikke eksisterte før dette. Jeg har oppsummert på figuren under. 

Nå kan vi begynne å finne litt tidspunkter. Laserne og det midtre romskipet møtes når

\(x_M(t_X) = x_{VL}(t_X)\)

\(\frac{L}{2} + vt_X = ct_X\)

Dette gir oss møtetidspunktet

\(t_X = \frac{L}{2(c-v)} = 7.53 ms\)

Fra opptaket målte vi at høyre skip avfyrte sin laser når \( t = t_B = 8.65\). Dette er umulig, siden møtet mellom laserne når \( t = t_X < t_B\). Det er ingen hemmelighet at usikkerheten i målingene jeg gjorde er store, og vi kan i stedet prøve å finne et nytt utrykk for \(t_B\). Posisjonen til høyre laser og midtre romskip, som er avhengig \(t_B\), overlapper når \(t=t_X\).

\(x_{HL}(t_X) = X_M(t_X)\)

\(L+vt_B - c(t_X-t_B) = \frac{L}{2} + vt_X\)

Da er det bare å løse for \(t_B\), og

\(t_B = t_X -\frac{L}{2(v+c)} = 7.16 ms\)

Dette var mer fornuftig. Vi har fortsatt usikkerhet i målingen av avstanden \(L\), men nå bryter vi i alle fall ikke lenger noen form for kausalitet. Vi kan videre utlede tidspunktet for hendelse C, når venstre skip eksploderer. Dette skjer når venstre skip og høyre laser møtes.

\(x_V(t_C) = x_{HL} (t_C)\)

\(vt_C = L+vt_B - c(t_C-t_B)\)

Jeg setter inn likningen for \(t_B\) over, og løser for \(t_C\).

\(t_C = t_X + \frac{L}{2(v+c)} = 7.90 ms\)

Dette er etter \(t_X\), når laserne møtes, og passer inn i kronologien. Vi kan så spør oss når lyset fra venstre eksplosjon når hjelpeskipet. Jeg kaller det hendelse X2. 

\(x_{venstre\,\,eksplosjon}(t_{X2}) = x_M(t_{X2})\)

\(vt_C + c(t_{X2}-t_c) = \frac{L}{2} + vt_{X2}\)

\(t_{X2} = \frac{L}{2(c-v)} + t_C \)

Jeg setter inn utrykket for \(t_C\) over, og får ut

\(t_{X2} = L\frac{c}{(c^2-v^2)} + t_X\)

Vi har jo virkelig sett på mange nok hendelser allerede. Grunnen til at jeg nå har definert enda en, er for å se på intervallet mellom krysning mellom laserne og det midtre skipet sin observasjon av venstre eksplosjon, \(\Delta t = t_{X2}-t_{X}\). Dette blir bare

\(\Delta t = L\frac{c}{(c^2-v^2)}\)

Romtidsintervallet \(s_{X\,X2}^2\) blir

\(s_{X\,X2}^2 = \Delta t^2 - \frac{v^2\Delta t^2}{c^2}\)

når jeg bruker at endring i romlig posisjon er endringen i posisjonen til det midtre romskipet, som reiser en distanse \(v \Delta t\). For romskipet skjer hendelsene samme sted i rommet, og \(s’_{X\,\,X2}=\Delta t’^2\). Setter vi disse sammen får vi

\(\Delta t^2(1-\frac{v^2}{c^2}) = \Delta t’^2\)

\(\Delta t = \gamma \Delta t’\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \gamma = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)

Siden Lorentz-faktoren \(\gamma\) alltid er større enn en, vil tiden vi måler være større enn den de måler i romskipet. Større fart gir større \(\gamma\), og effekten øker når vi nærmer oss lysfarten. I eksemplet så vi tydelig at tiden tikket saktere for romskipteamet. Men her har vi utledet en enkel sammenheng som viser nøyaktig hvordan dette henger sammen. Tiden vil alltid gå langsommere for noen som beveger seg i forhold til deg! 

Fra rakettenes perspektiv er det forsåvidt du som beveger deg. Siden utrykket over er generelt og alle referansesystemer er likestilte, er det faktisk vi som har en langsommere klokke fra romskipenes ståsted. La det synke inn litt. Noen ganger føler jeg den mest innovative science fiction-skaperen vi har er universet selv. 

Så var det dette med avstandsendringer. Intervallet \(\Delta t’\) burde være lik avstanden lyset reiser, delt på lysfarten. Fra hjelpeskipet, til venstre skip og tilbake, svarer til den totale avstanden mellom romskipene \(L’\). Setter vi i tillegg inn utrykket vi fant for \(\Delta t\), ser vi

\(\frac{Lc}{c^2-v^2}= \frac{L’}{c}\gamma\)

\(L’ = L\gamma\)

Her er forholdet snudd om. Avstanden målt av romskipet skal være større enn den vi måler fra planeten. Den er ser ut til å alltid være størst i rammen hvor avstandsintervallet står stille. Det betyr at vi hadde målt en kortere lengde av romskipene, mens romskipene må ha sett en sammenklemt planet. 

De to filmversjonene er dramatisk forskjellige. Rakettfilmen er en historie som illustrerer meningsløsheten av gjensidig destruksjon. Planetfilmen er fortellingen om en uintelligent antagonist som får som fortjent når han er raskest på avtrekkeren, bare for å fyke inn i laseren fra høyre skip først, etter de responderer på angrepet. Romskipfilmen er også mye kortere enn vår, selv om de har satt opp skipene i større avstand fra hverandre.

Vi har filmet samme virkelighet, men opplever den forskjellig. Og spørsmålet om hvem som egentlig har rett, gir ikke så mye mening. Alle referanserammer er likestilte. Det nærmeste vi kommer en objektiv dom er kanskje hvilken filmversjon kritikerne liker best. 

Av Ida Risnes Hansen
Publisert 15. des. 2017 19:00 - Sist endret 15. des. 2017 23:07