Sikkerhetskopier astronautene dine

Når vi først sender astronauter ut i det store intet, liker vi veldig godt at de har en tvilling. Det er primært to grunner til dette.

1) Det er en god mulighet til å studere de fysiologiske effektene romreiser har på mennesker.

2) Tvillinger er naturens versjon av Dropbox. Hvis noe skulle gå galt har vi effektivt sett en reserve igjen på planeten. Sikkerhetskopier filene dine. Sikkerhetskopier astronautene dine.

Vi har sett at tiden tikker forskjellig for personer som beveger seg i forhold til hverandre. Det kan derfor være interessant å studere effektene romreiser har på aldring.

Vi har to tvillinger; Kliff Arne planetboer og Kliff Bent astronaut. Jeg bruker mekrede symboler i Kliff Bent sitt system.

Vi sender Kliff Bent avsted mot en planet \(200\) lysår unna, i en fart \(99\)% av lysfarten.

Kliff Arne måler da at reisen vil ta

\(\Delta t = \frac{L_0}{v}=202\) år

Mens han fra tidsdilatasjonen finner at Kliff Bent kun vil oppleve

\(\Delta t' = \frac{\Delta t}{\gamma}= 28.5\) år

Dette er heilt greit. Den spesielle relativitetsteorien slik vi er vant med den.

Si nå at Kliff Bent snur skipet sitt og reiser tilbake i samme fart.

Dette burde selvfølgelig ta like lang tid, og i alt vil da \(\Delta t = 404\) år passere for Kliff Arne på planeten, mens \(\Delta t' = 57\) år må gå for Kliff Bent. Vi ser her at den høye fartsforskjellen har en voldsom effekt. Kliff Arne er tre og ett halvt århundre eldre enn Kliff Bent når de møtes igjen!

Det er likevel noe rart her. Vi kan også velge å sette Kliff Bent i ro, slik at det er planetene som beveger seg fram og tilbake.

Vi vet at reisen tok \(\Delta t' = 57\) år for Kliff Bent. Men nå er det jo planeten som beveger seg, så vi får

\(\Delta t = \frac{\Delta t'}{\gamma} = 8\) år

Kliff Bent mener altså at han er \(49\) år eldre.

Det er her vi kommer i trøbbel. Det er ikke problematisk at det oppstår en aldersforskjell. Den spesielle relativitetsteorien viser oss at det er helt forventet når vi nærmer oss lysfarten. Det umulige er at de er uenige om hva aldersforskjellen er og hvem som er eldst når de møtes igjen. Dette kalles tvillingparadokset.

Skal jeg være helt ærlig, så har intuisjonen min resignert for lenge siden.

Kanskje det oppstår to parallelle virkeligheter hvor begge har rett. Kanskje de lever i en slags dualisme. Jeg var egentlig forberedt på å godta det meste. Det er i slike øyeblikk jeg må minne meg selv på at den spesielle relativitetsteorien ikke er magi. Vi burde være skeptiske når paradokser som dette oppstår.

Både utreisen og hjemreisen i seg selv er helt stuerene eksempler på spesiell relativitet. Kliffene har hele tiden konstant fart i forhold til hverandre. Det eneste diffuse punktet er kanskje vendingen midtveis.

Hva innebærer egentlig en slik vending? Det er i alle fall tydelig at farten ikke kan være konstant her. Og selv om farten til Kliff Bent er like stor begge veiene, har han åpenbart byttet referanseramme når han returnerer. Dette betyr at betingelsene for den spesielle relativitetsteorien ikke er oppfylt, og vi kan i utgangspunktet ikke bruke tidsdilatasjon direkte.

Burde det ikke likevel være en god tilnærming? Vi kan jo for eksempel tenke oss at Kliff Bent snur kjemperaskt. Vi må lage en enklere analogi for å analysere situasjonen.

I stedet for en rakett, se nå for deg en heis som går fra Kliff Arne til destinasjonsplaneten. Heisen har uendelig mange jevnt fordelte heisrom med observatører, som alle går med samme hastighet som den utgående raketten. Rakettrammen og heisrammen er da fysisk sett ekvivalente. Kliff Bent er i rommet som ved \(t=t'=0\) er ved startplaneten, P1. Jeg kaller den blå destinasjonsplaneten P2.

Hendelse A er når Kliff Bent drar fra planet P1 og B er når han ankommer P2. Observatøren som er i heisrommet ved P1 når Kliff Bent når P2 skur på et blått lys og sjekker klokka på P1. Dette kaller jeg hendelse B'.

Siden Kliff Bent og observatøren i B’ begge er i den utgående heisen, må de også være i samme ramme. De må være enige om tiden

\(t'_{B'} = \frac{L'}{v}= \frac{L_0}{\gamma v}\)

Planettiden observatøren leser av, kan vi da finne fra tidsdilatasjon

\(t_{B'}=\frac{t'_{B'}}{\gamma}= \frac{L_0}{\gamma^2 v}= 4.0\) år

Fire år har passert på planeten. Dette er hva Kliff Bent forventet, og ikke de \(202\) årene Kliff Arne estimerte. Dette er ikke så merkelig når observasjonen ble gjort fra heisrammen. Selv om Kliff Bent ankom P2 når heisobservatøren sjekket klokken, og

\(t'_{B'} = t'_{B}\)

er ikke disse hendelsene samtidige for Kliff Arne på planeten.

\(t_{B'}=4 \neq 202 = t_{B}\)

Det er ingen motsetninger i resonnementet her. Samtidighet er relativt, og de kan godt være uenige. Forvirringen oppstår først når de møtes igjen og kan utveksle informasjon. Siden vendingen ser ut til å være nøkkelen, må vi jobbe den inn i analogien vår.

Samtidig som Kliff Arne reiser fra P1 i planetrammen, drar astronauten Kliff Pål fra planet P3, \(200\) lysår bortenfor P2. Jeg kaller dette hendelse C, som er samtidig som A i planetrammen; Kliff Bent og Kliff Pål reiser samtidig. Jeg gir Kliff Pål dobbelmerkede koordinater \((x'',t'')\).

I heisanalogien setter jeg Kliff Pål i en heis som går motsatt vei av Kliff Bent, men med like stor fart. Klokkene deres burde da tikke like raskt i planetrammen.

Vi kan sjekke tiden til Kliff Pål når de møtes ved P2 i hendelse B. Jeg bruker invarianse i tidromsintervallene til Kliff Arne og Kliff Pål mellom avreisen til Kliff Pål og møtet ved P2.

\(\Delta s_{BC}^2 = t_B^2-\frac{L_0^2}{c^2}\)

\(\Delta {s''_{BC}}^2 = {t''_B}^2 - 0\)

Jeg setter disse lik hverandre.

\({t''_B}^2 = \frac{L_0^2}{v^2}-\frac{L_0^2}{c^2}\)

\(t''_B = \frac{L_0}{v\gamma}= 28.5\) år

Akkurat det samme som Kliff Bent. Grunnen til at jeg er interessert i dette, er at jeg vil representere snufasen ved at Kliff Bent kaster seg over i heisen til Kliff Pål når de møtes ved P2.

I samme øyeblikk kan vi definere enn ny hendelse B'', hvor en observatør ved P1 i den returnerende heisen skrur på ett blått lys og sjekker klokka på P2.

Vi kan finne tiden \(t_{B''}\)  fra tidromsintervallet mellom sjekken av planetklokken og avreisen til Kliff Pål.

I planetrammen har vi avstanden

\(\Delta x_{DB''} =2 L_0\)

I den returnerende heisen sjekker observatøren klokken i avstanden L' fra Kliff Pål. Lengdekontraksjon gir da

\(\Delta x^{''}_{DB''} = \frac{L_0}{\gamma}\)

Tiden er lik den samme strekningen L' som planetene forflytter seg, delt på farten.

\(\Delta t^{''}_{DB''} = \frac{L_0}{\gamma v}\)

Jeg løser for \(t_{(B'')}\).

\(t_{B''}^2 - \frac{4L_0^2}{c^2} = \frac{L_0^2}{\gamma^2 v^2} - \frac{L_0^2}{\gamma^2 c^2}\)

\(t_{B''}^2 =\frac{L_0^2}{v^2}(\frac{1}{\gamma^2} - \frac{1}{\gamma^2 c^2} +\frac{4}{c^2})\)

Hvis jeg skriver ut parentesen, kan jeg faktorisere den til \((1+\frac{v^2}{c^2})^2\). Jeg tar roten på begge sidene, og

\(t_{B''} = \frac{L_0^2}{v^2}(1+\frac{v^2}{c^2}) = 400\) år

Vent litt nå. Tiden \(t_{B'}\) på planeten mens vi var i den utgående heisen var \(4\) år. Det betyr at planettiden gjorde et bykst på \(396\) år mens Kliff Bent byttet ramme! Legger vi til de fire årene som går til hjemreisen kommer vi opp i en total planettid på \(404\) år, og plutselig er Kliff Bent og Kliff Arne enige i aldrene sine. For Kliff Arne passerer \(404\) år, mens \(57\) år går for Kliff Bent. 

Løsningen ligger altså i selve rammebyttet. Fra Kliff Bent sitt perspektiv koseter vendingen enormt med tid på planeten.

Selv om vi nå har identifisert løsningen av paradokset, er hele akselerasjonsfasen fortsatt veldig diffus. Heisanalogien var et veldig forenklet bilde, hvor vi latet som akselerasjonen skjedde momentant. Jeg vil se litt nærmere på en litt mer realistisk modell.

Nå tenker vi oss i stedet at Kliff Bent aktiverer en konstant bremseakselerasjon \(g\) idet han når P2. I løpet av en tid \(\Delta T\) har han da redusert farten med

\(\Delta v = - g \Delta T\)

i planetrammen. Hvis den konstante farten han begynner med er \(v_0\), betyr det at han må stå helt stille når

\(\Delta T = -\frac{v_0}{g}\)

Fra  dette punktet fortsetter han med samme akselerasjon, og begynner å bevege seg tilbake mot P2. Etter samme tid \(\Delta T\) må han være helt tilbake igjen. 

I løpet av denne akselerasjonsfasen skjer det hele tiden hendelser Y og Y' tilsvarende hendelsene B og B'.

\(T_Y \) er tiden i planetsystemet etter Kliff Arne når planet P2. Da er \(T_Y \) = 0 når han er ved P2 og \(T_Y= \Delta T\) når han vender og farten er null. For en slik tid \(T_Y\) er Y en hendelse som skjer i den nåværende posisjonen til Kliff Arne. Hendelse Y' er en observatør i utgående heis som sjekker tiden på P1, og skjer samtidig som Y i heisrammene. Han måler da i praksis tiden \(T_{Y'}\) som har gått siden hendelse B' på planeten, hvor den utgående heisobservatøren sjekket planetklokka samtidig som Kliff Bent ankom P2.

Vi vil bruke hendelsene over til å finne ut hvor lang tid som har gått på planeten for både Kliff Arne og Kliff Bent når romskipet vender. Den vanlige veiformelen for konstant akselerasjon gir oss posisjonen for hendelse Y i planetrammen. 

\(x_Y = L_0 + v_0T_Y + \frac{1}{2}gT_Y^2\)

Tiden er lik tiden det tok å nå P2 i planetrammene, pluss tiden \(T_Y\) som har gått siden. 

\(t_Y = \frac{L_0}{v_0} + T_Y\)

Klokkesjekken skjer i posisjonen til P1. 

\(x_{Y'} = 0\)

Tiden kan skrives som tiden under første klokkesjekk \(t_{B'}\), pluss tiden som har passert siden.

\(t_{(Y')} = \frac{L_0}{v\gamma_0^2}+T_{(Y')}\)

Hendelse Y skjer i posisjonen til Kliff Bent og

\(x'_Y = 0\)

\(t'_Y = t'_Y\)

Avstanden til \(x'_{Y'}\) må tilsvare avstanden \(x_Y\) i planetrammen, når vi tar med effekten av lengdekontraksjon. Denne er avhengig av farten som hele tiden endrer seg. 

\(x'_{Y'}=\frac{x_Y}{\gamma(T_Y)}=\frac{L_0+v_0T_Y+\frac{1}{2}gT^2\gamma}{\gamma(T_Y)}\)

hvor \(\gamma(T_Y)\) er \(\gamma\) tatt med momentanfarten farten til romskipet.

Til slutt vet vi at

\(t'_{Y'} = t'_Y\)

siden hendelsene skjer samtidig i heisrammen. Nå har vi alt vi trenger og kan bruke invarians av tidromsintervallet mellom Y og Y’ til å finne \(t_{Y'}\).

\((t_Y-t_{Y'})^2 - \frac{x_Y^2}{c^2} = -\frac{x_Y^2}{\gamma(T_Y)^2 c^2}\)

\(t_Y-t_{Y'} = \frac{x_Y}{c}(1-(1-\frac{v(T_Y)^2}{c^2}))\)\(t_Y-t_{Y'}=\frac{x_Y}{c}(1-(1-\frac{v(T_Y)^2}{c^2}))\)

 

\(t_{Y'} = t_Y -  \frac{v(T_Y)^2x_Y}{c^3}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,= \frac{L_0}{v_0}+T_y - \frac{v(T_Y)^2}{c^3}(L_0+v_0T_Y+\frac{1}{2}gT_Y^2)\)

 

Hvor \(v(T_Y) = v_0 - gT_Y\) er farten en tid \(T_Y\) etter akselerasjonen begynte. La oss sette inn litt tall og se hva som skjer. Her blir det fort enhetskluss. Anta for eksempel at akselerasjonen

\(g = -0.1 m/s^2\)

Vi vil ha dette i enheten per år. 

\(g= \frac{-0.1}{c}\cdot sekunder\,per\,år=-0.0105 \,\,\frac{1}{år} \)

Fra dette finner vi aksellerasjonstiden

\(\Delta T = \frac{v_0}{g} =94\) år

på planeten, og i alt har da 

\(t_Y = 296\) år

år gått på planeten. Vi ser også at

\(t_Y' = t_Y\)

siden \(v(T_Y)=0\) når \(T_Y = \Delta T\), og det store leddet forsvinner i utrykket vi fant. Plutselig er Kliff Bent i samme ramme som Kliff Arne og de er enige om tiden som har gått for hverandre. Klokkesjekken på planeten skjer samtidig som vendingen i begge rammene. 

Vi kan plotte planettiden Kliff Bent måler som funksjon av planettiden Kliff Arne måler.

I den blå delen av grafen er farten konstant, og Kliff Bent mener tiden på planeten går mye langsommere enn Kliff Arne. Stigningstallet her er \frac{1}{\gamma^2}. Så starter akselerasjonen og planettiden Kliff Bent måler skyter til værs, til han plutselig står stille. I det øyeblikket er de i samme referanseramme, og de er enige i tiden som har passert for hverandre. 

I løpet av bremsingen har planeten aldret \(\Delta T = t_Y - 4=292\) år. Legger vi til samme tid for den påfølgende akselerasjonen ser vi at Kliff Arne i alt blir

\(t = 292\cdot 2 + 8 = 592\) år gammel.

Så var det Kliff Bent. Jeg begynner å se på nedbremsingen. Først av alt har vi

\(\Delta t' = \frac{\Delta t}{\gamma} = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta t\)

Farten \(\Delta t' = \frac{\Delta t}{\gamma} = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta t\) er tidsavhengig, og jeg kan ikke regne tiden ut direkte. Jeg bruker utrykket

\(v(t)  = -gt\)

og kan på den måten skrive rakettiden \(t'\) som funksjon av planettiden \(t\)

\(\Delta t' = \sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}}\Delta t\)

Dette kan jeg også skrive som

\(\frac{\Delta t'}{\Delta t} = \sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}}\)

Lar jeg \(\Delta t'\) og \(\Delta t\) gå mot null, kan jeg utfra definisjonen av den deriverte skrive

\(\frac{dt'}{dt} = \sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}}\)

For å få ut \(t'\) kan jeg nå integrere begge sider med hensyn på \(t\)

\( \int  \frac{dt'}{dt} dt = \int \sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}} dt\)

Akselerasjonen varer fra \(t=0\), til \(t=\frac{v_0}{g}\) og jeg kan sette inn grensene

\(t' = \int_0^{v_0/g} \sqrt{1-\frac{g^2t^2}{c^2}} dt\)

 Dette integralet kan vi slå opp, og jeg finner at Kliff Bent blir

\(t' = \frac{v_0\sqrt{1-v_0^2}+arcsin(v_0)}{2g}= 74.6\) år

eldre under nedbremsingen. Dette er noe veldig annet enn da vi snudde med uendelig akselerasjon. 

Inkluderer jeg de andre delene av reisen går i alt

\(t' = 74.6\cdot 2+57=206\)år

for Kliff Bent. Litt over en tredjedel av planettiden. Det er ingen tvil om at Kliff Arne er eldst når de møtes igjen.

Tvillingparadokset; et av fysikkens mest berømte paradokser. Men strengt tatt ikke egentlig et paradoks. To observatører som synkroniserer klokkene sine for så å fortsette bevegelsen sin i ulike referanserammer, må akselerere for å kunne møtes igjen. Dermed har vi reddet oss i land.

En kaptein går alltid ned med skuta si. Vel, ikke denne kapteinen. 

Av Ida Risnes Hansen
Publisert 20. des. 2017 20:12 - Sist endret 7. feb. 2020 15:47