Bane; Nostromo sin bane

Hvordan kommer vi oss fra en planet til en annen? Vi har verktøyene til å vite hvor vi er men vi må også vite hvor vi er på vei. Vi skal se på hvordan vi kan forutsi banen til Nostromo gjennom stjernesystemet og hvordan vi kan styre banen slik at vi kommer frem til ditt vi vil

Bildet kan inneholde: planet, jord, astronomisk objekt, atmosfære, rom.

Vi har sett på hvordan planetene går rundt i bane og hvordan de alle drar litt på hverandre. Så da skjønner vi at dersom vi skal fly avgårde rundt i solsystemet kommer vi til å bli påvirka av planetene samtidig som stjerna. Hvor nærme vi er en planet vil ha stor betydning for banen vår siden gravitasjons krafta på skipet vårt fra plantene kan bli dominert av kun den ene planeten vi er nærmest. Vi skal se på forskjellige måter man kan komme seg rundt på og deretter undersøke hvordan Nostromo klarer å forutsi banen til skipet

For at vi skal kunne forutsi hvilken vei vi kommer til å ta må vi regne ut steg for steg hvor skipet er og kreftene på skipet. Dette kan vi gjøre ved å summere opp kreftene fra hver enkelt planet 

\(\begin{align} m \ddot{\textbf r} =-G \frac{mM_s}{|\textbf r|^3}\textbf r- \sum_{i=1}^{N}\frac{GmM_i}{|\textbf r-\textbf r_i|^3}(\textbf r- \textbf r_i) \end{align}\)

Her er m massen til satellitten og r posisjons vektoren til satellitten. Ms er massen til stjerna og N er antall planeter vi har slik at hver M og r i summen tilhører en planet. Vi regner ut krafta i hvert steg med denne ligningen og finner banen til skipet vårt. Skipet vårt vil dermed fly rundt i solsystemet bestemt av posisjonen til planetene. 

 

Dersom vi skulle gjort noe med banen slik at vi kan fly ditt hvor vi vil, må vi bruke rakett motorene på skipet. Og da må vi regne ut hvor mye drivstoff, hvor lenge og i hvilken retning vi må fyre av rakett motorene våres. En strategi på hvordan man kan gjøre dette er noe vi kaller en Hohmann transfer

Hohmann Transfer; Bane forandring 

Hohmann transfer sier oss at vi burde sikte tangensielt ut når vi øker banen våres den. Denne kan vi bruke til å gå fra en sirkulær bane til en annen, og det er jo nemlig det vi vil. Vi vil gå fra bane rundt en planet til en annen. Vi kan finne ut hvor mye farts endring vi trenger for å komme oss fra en planet til en annen gitt ved

\(\begin{align} \Delta v_1 &= \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\bigg(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}+1\bigg)\\ \Delta v_2 &= \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\bigg(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\bigg)\\ \Delta v_{total} &= \Delta v_1+\Delta v_2 \end{align}\)

Det vi trenger å planlegge for er at planeten vi drar til er i en slik posisjon slik at når vi gjør vår Hohmann transfer og ender opp med en bane som tar oss ut av bane fra planeten vi startet på, så må denne nye banen møte planeten vi ønsker å dra til i den andre enden.

Vi deler dette i tre steg.

1.

Første steg er å øke bane radiusen nok til at vi går rundt stjerna og ikke planeten. Vi ønsker å oppnå unnslipningshastigheten til planeten

\(v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM_p}{d}}\)

Her er d satellitt avstanden til sentrum av planeten eller bedre sagt banen sin radius og Mp massen til planeten. 

2.

Når vi har oppnådd en den slik bane trenger vi å bruke enda en Hohmann transfer for å få lik bane som planeten vi ønsker å dra til. Vi må passe på at vi har planlagt avreisen slik at planeten er der hvor vi er når vi krysser banen til planeten. Dette kan vi gjøre ved å simulere forskjellige avreise tider og se når vi må dra for å kunne være der samtidig 

3.

Til sist må vi sørge for at vi er innen for en avstand slik at vi kan begynne å gå i en sirkulær bane rundt planeten. Vi trenger å finne ut hvilken avstand vi må være for å kunne gjøre dette og det har vi gitt ved formelen:

\(l = |\textbf r|\sqrt{\frac{M_p}{10M_s}}\)

Her er l avstanden vi må være innenfor for å kunne gå i en bane rundt planeten. r er avstanden fra satellitten til stjerna. Mp er massen til planeten og Ms er massen til stjerna.

Det siste vi gjør da er å fyre raketten vår i motsatt vei og få oss en sirkulær bane. Hvor mye vi må minke farten med kan vi regne ut ved å se på ligningen til unnslipningshastighet. Dersom vi har en fart mindre enn denne vil vi kunne gå i en slags bane. Vi har at en stabil bane rundt planten kan vi finne ved

\( v_{stable} = \sqrt{\frac{GM_p}{d}}\)

Eneste forskjellen her er at denne hastigheten er \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)mindre enn unnslipningshastigheten

 

Vi regner ut unnslipningshastigheten til planeten vi starter på og får at den er 

\(v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM_p}{d}}\\ M_p = 2.115\cdot 10^{25}m\\ d = r_{planet}=9.252\cdot 10^{3}m\\ v_{esc1} = 17.469\cdot km/s\)

Her er \(r_{planet} \) radiusen til start planeten og \(M_p\) massen til start planeten. Dette er den farts endringen vi trenger fra bakken og ut til bane rundt stjerna. Dette var steg 1. Det neste vi må gjøre er å regne ut Hohmann transfer fra den ene banen som er den samme som start planeten til en bane som er lik destinasjons planeten

Vi har at

 \(\begin{align} \Delta v_1 &= \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\bigg(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}+1\bigg)\\ \Delta v_2 &= \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\bigg(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\bigg)\\ \Delta v_{total} &= \Delta v_1+\Delta v_2\\ r_1 &= 9.252 \cdot 10^{3}m\\ r_2 &= 9.083 \cdot 10^{3}m\\ M &= M_s = 1.719 \cdot 10^{30}m \\ \Delta V_{total} &= 5.842 km/s \end{align} \)

Siste steg er at vi må få til en sirkulær bane. Her valgte jeg at vi ønsker en bane som er 10 ganger nærmere enn den minste avstanden vi må ha for å kunne ha en sirkulær bane rundt planeten altså avstanden vi kalte \(l\). Vi bruke igjen Hohmann transfer ligningene med at

\(\begin{align} \Delta v_1 &= \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\bigg(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}+1\bigg)\\ \Delta v_2 &= \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\bigg(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\bigg)\\ \Delta v_{total} &= \Delta v_1+\Delta v_2\\ l &= |\textbf r|\sqrt{\frac{M_p}{10M_s}}\\ r_1 =|\textbf r| &= |\textbf r_p| = 7.680\cdot 10^{10}m\\ r_2 &= r1/10\\ M &= M_{target} = 1.874\cdot 10^{25}m \\ \Delta V_{total} &= 5.609 km/s \end{align} \)

Summerer vi alle stegene våre får vi at vi trenger totalt å kunne gjøre en farts endring på tilsvarende \(28.919 km/s\) for å fra fra start planeten fra avstand \(0.5134\) au til den nærmeste planeten med \(0.7143\)  au avstand til stjerna. Fra jorda til Venus går man fra 1 au til \(0.72\) au koster det \(16.190 km/s\) men da disse veier betydelig mindre enn planetene vi valgte

Planet Mass[kg] Mass[earth mass] Radius[m] Radius[] Distance to star[au]
Earth \(5.972 \cdot 10^{24}​​​​​​​\) \(1\) \(6371\) \(1\) \(1\)
Venus \(4.867 \cdot 10^{24}\) \(0.814\)

\(6051\)

\(0.949\) \(0.72\)
Start \(2.115\cdot 10^{25}\) \(3.541\) \(9252\) \(1.452\) \(0.51\)
Target \(1.874\cdot 10^{25}\) \(3.137\) \(9083\) \(1.425\) \(0.71\)

 

Som vi ser er disse planetene betydelig større og veier betydelig mer i tillegg til at de er veldig mye nærmere enn jorda og Venus. Dette forklarer hvorfor vi trenger nesten dobbelt så mye for å gå fra start planeten våres til destinasjons planten enn jorda til Venus

Vi kunne satt regnet ut hvor mye man hadde trengt for hvert eneste legeme i systemet. Siden alle første steg er uavhengige av hvor man skal så hadde det ganske enkelt å gjøre. Men steg to er avhengig av start og slutt. Dermed hadde vi trengt å regne ut alle mulige destinasjoner fra alle mulige planeter. Vi har hele 8 planeter i systemet vårt og da hadde vi endt opp med \(7+6+5+4+3+2+1=28\) muligheter. Siden det å regne ut den ene veien gjelder også den andre veien.

Det er flere som har regnet ut et slikt farts endrings kart for solsystemet

Farts endring kart for solsytemet

Her ser vi hvordan vi kunne reist fra jorda og til alle de andre planetene og en del måner.

Av Alexander Amiri
Publisert 16. des. 2019 17:54 - Sist endret 16. des. 2019 17:54