Beregninger; Gravitasjon

Forrige uke fant vi ut om de tekniske egenskapene til Nostromo, nå er vi klare til å komme oss ut i bane. Vår neste utfordring bli å navigere verdensrommet. For å kunne navigere verdensrommet må vi vite hvor planetene ligger og hvordan de påvirker banen våres

Bildet kan inneholde: vitenskap, univers, planet, rom, verdensrommet.

Først må vi forstå hvorfor planetene går i bane, hvordan de går i bane og hva mekanismen bak bevegelsen er.

Vi kan tenke oss at en sumo bryter og en ballett danser holder hverandre i hendene og svinger hverandre rundt. Vi kan i tillegg tenke oss at de har skøyter på beina slik at de glir rundt. Nå skulle det ikke være abstrakt å tenke at ballett danseren er den som flyr rundt sumo bryteren og sumo bryteren vugger litt frem og tilbake fra der han står. 

Hadde vi spurt både sumo bryteren eller ballett danseren om hva de følte i armene hadde begge svart at de drar på hverandre. Dersom ballett danseren gikk i en nærmere sirkel rundt sumo bryteren kan vi se for oss at sumo bryteren måtte holdt hardere fordi ballett dansere hadde gått fortere. Samme mekanismen som når en kunstløper drar inn armene sine når de roterer rundt og rundt, så ender de opp med å gå fortere. Dette kan man sammenligne med sola og jorda. Jorda er en vakker ballett danser og sola er den største og feiteste sumo bryteren som finnes. Hvis jorda på en eller annen måte hadde kommet nærmere sola på hadde vi gått fortere rundt sola. Dette ser vi når vi ser på de innerste planetene. Både Merkur og Venus har kortere omløpstid rundt jorda, Altså de bruker mindre tid på en runde rundt sola

Takket være to dyktig og dedikert astronomer som i begynnelsen av 1600 tallet analyserte planetene sin bane har vi tre lover som beskriver planet banene. Disse er kjent som Keplers lover oppkalt etter Johannes Kepler, som brukte Tycho Brahe observasjoner til å finne disse lovene. Disse lovene er som følger

  1. Planetenes baner er ellipser med sola i det ene brennpunktet.
  2. Baneradiene sveiper over like store flater på like lange tider.
  3. Forholdet mellom kvadratet av omløpstiden og middelavstanden fra Solen i tredje potens er det samme for alle planeter

Vi kan bruke newtons gravitasjons lover til å få en dypere forståelse på disse lovene. Vi begynner med newtons gravitasjons lov

\(\begin{align} \vec{F} = -G\frac{m_1m_2}{\vec{r}}\vec{e_r} \end{align}\)

Dette er krafta et legeme utgjør på et annet dersom det kun er to legemer i systemet vi ser på, Vi skal beskrive lovene utifra perspektivet fra det ene legemet vi. Altså vi setter oss på det ene legemet og observerer det andre legemet. Bevegelsen til det ene legemet kan vi beskrive med newtons andre lov som sier 

\(\begin{align}\vec{F_2} = m_2\vec{a_2}=m_2\vec{\ddot r}= -G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}|^3}\vec{r_2}\end{align}\)

Har bruker vi at akselerasjonen er posisjons vektoren dobbelt derivert.Dette er den vektoren som peker på planet to fra der vi setter origo. Her har vi en ligningen som beskriver bevegelsen til det ene legemet, Men posisjons vektoren våres forandres med tiden r(t). Denne må vi kunne finne for å kunne bruke ligningen. Vi har tilsvarende for legemet vi sitter på:

\(\begin{align} \vec{F_1} = -\vec{F_2} = G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}|^2}\vec{r}=m_1\vec{\ddot r} \end{align}\)

Så for å finne mer ut om våres posisjons vektor ser vi på den vektoren som går fra legemet vi sitter på til legemet som vi observerer. 

\(\begin{align} \vec{\ddot r} = \vec{\ddot r_2}- \vec{\ddot r_1} = G\frac{m_1+m_2}{|\vec{r}|^2}\vec{r}= -m\frac{\vec{r}}{r^3}, m = G(m_1+m_2) \end{align}\)

Hvis vi beskriver posisjons vektoren fra origo med vinkelen vektoren $\vec{\theta}$ og vektoren $\vec{e_r}$ og deretter setter inn i ligning ovenfor 

\(\begin{align}\ddot r - r\dot \theta^2=-\frac{m}{r^2} \end{align}\)

Dette er en differensial ligning hvor vi har posisjons vektoren dobbel derivert som funksjon av posisjons vektoren og vinkelvektoren derivert. Løser vi denne for posisjons vektoren har vi bevegelsen av legemet vi ser etter. Løsningen for differensial ligningen skrevet om til brøk

\(\begin{align} r = \frac{p}{1+e cos(f)} \end{align}\)

Hvor $p=\frac{h^2}{m}$, $e=\frac{Ah^2}{m}$ og $f=\theta-\omega$. Vi skriver om p og ender opp med ligningen for en eliptisk bane 

\(\begin{align} r = \frac{a(1-e^2)}{1+ecos(f)} \end{align} \)

Her er $e=\sqrt{1-(b/a)^2}$, hvor a og b er semimajor og semiminor akser. Altså vi har gått fra newtons ligninger og kommet frem til Keplers lov om elliptiske baner. 

Neste gang skal vi se på banene til planetene våres dersom vi brukes denne formelen

 

 

 

 

 

Av Alexander Amiri
Publisert 29. sep. 2019 22:41 - Sist endret 7. feb. 2020 15:47