Navigasjon; Stjernekart

Vi skal studerer hvordan vi kan bruke stjernehimmelen til å navigere oss rundt i verdensrommet, for å kunne oppnå dette må vi kunne transformere den tre dimensjonale sfæren til et leselig 2 dimensjonalt kart

Bildet kan inneholde: lys, font, vann, visuell effektbelysning, organisme.

For å kunne kartlegge stjernehimmelen må vi kunne beskrive en sfære på en slik måte at i kan si noe om posisjonen til et punkt i forhold til et annet. Dersom vi allerede har et kart er det ikke så vanskelig å legge over et rutenett, og bruke to variabler for å beskrive posisjon i to retninger. På en sfære trenger vi tre variabler. Vi kunne funnet på å bare brukt enda en lineær skalar(bare et tall) variable slik som vi kan bruke på et kart men vi ønsker kun å kartlegge overflaten til sfæren. Vi introduserer derfor variabler som avhenger av vinkel og har kun en variabel være en skalar.

 

Koordinatsystem

 Vi introduserer en variabel \(r\) og denne kan gå fra 0 til uendelig. Siden størrelsen av en sfære kan kun være positiv. Vi definerer deretter to vinkel variabler \(\theta\) og \(\phi\) og lar en av dem gå rundt hele sfæren mens den andre kun går fra midten til en pol det vil si en kvart. Vi sier dermed at \(0 \leq \theta \leq \pi/2 \)  og at \(0 \leq \phi \leq 2\pi \)

Vi kan transformere fra våre sfæriske koordinater til en to dimensjonal projeksjon gitt ved 

\(\begin{align} X &= \kappa \sin \theta \sin(\phi-\phi_0)\\ Y &= \kappa (\sin \theta_0 \cos \theta- \cos \theta_0 \sin\theta \cos(\phi-\phi_0)) \\\kappa &=\frac{2} {1+\cos\theta_0\cos\theta+\sin\theta_0\sin\theta\cos(\phi-\phi_0)} \end{align}\)

Denne koordinat transformasjonen tillater oss å gå fra sfæren til en flat projeksjon av det gitte punktet. Vi kan også gå bakover ved å snu om på formelen og da får vi

\(\begin{align} \theta &= \theta_0 - \arcsin \bigg[\cos\beta\cos\theta_0+\frac{Y}{\rho}\sin\beta\sin\theta_0 \bigg] \\\phi &= \phi_0 + \arctan \bigg[\frac{X\sin\beta}{\rho\sin\theta_0\cos\beta-Y\cos\theta_0\sin\beta} \bigg] \\ \rho &= \sqrt{X^2+Y^2} \\ \beta &= 2\arctan (\frac{\rho}{2}) \end{align}\)

Vi kan bruke ligningene ovenfor til å gå fra det ene koordinat systemet til det andre. Men spørsmålet er hvordan vi anvender dette til navigasjon av stjernehimmelen. Vi trenger jo først og fremst en referansehimmel. Altså en sfærisk stjernehimmel som vi kan bruke til å sammenligne det vi ser og det som er på himmelen. Vi er heldige som har flere himmelundersøkelser som har gjort nemlig dette men oppløsning som er nok for navigasjon. 

For å kunne ta et bildet og sammenligne med stjernehimmelen er vi avhengig av å vite hvor bredt kamera vårt tar bilder. Vi trenger nemlig den største vinkelen kamera tar bilde i begge retningene både vertikal og horisontal retning. Vi definerer utspenne av \(\theta\) som \(\alpha_\theta\) som og utspenne av \(\phi\) som \(\alpha_\phi\). Vi definerer disse slik

\(\begin{align} \alpha_\theta = \theta_{max}-\theta_{min}\\ \alpha_\phi = \phi_{max}-\phi_{min} \end{align}\)

Dette kalles FOV, som står for Field Of View. Altså feltet vi ser bedre kjent som synsfelt. Vi skifter rundt grensene på vinkelene våres til å gå fra minimum til maximum

\(\begin{align} -\frac{\alpha_\theta}{2}&\leq\theta \leq\frac{\alpha_\theta}{2}\\ -\frac{\alpha_\phi}{2}&\leq\phi-\phi_0 \leq\frac{\alpha_\phi}{2} \end{align}\)

Og dermed får vi også nye grenser for projeksjonen

\(\begin{align} X_{max/min}=\pm \frac{2\sin(\frac{\alpha_\phi}{2})}{1+\cos(\frac{\alpha_\phi}{2})}\\ Y_{max/min}=\pm \frac{2\sin(\frac{\alpha_\theta}{2})}{1+\cos(\frac{\alpha_\theta}{2})} \end{align}\)

Når vi nå har alt informasjonen vi trenger å gå både den ene veien og den andre veien kan vi bruke disse ligningene til å navigere oss rundt i verdenrommet med et kamera som kan ta bilder av stjernehimmelen.

Bildene kamera tar blir tatt med med et ordinær kamera som gir digitale bilder. Vi har dermed en rekke med piksler som strekker seg vertikalt og horisontalt. Vi kjenner allerede til FOVen til kamera vårt og det vi trenger å gjøre for å kunne navigere oss er å vite hvor det bildet vi tar er på stjernehimmelen.

Nostromo har er innebygd program som tar imot et bilde fra kamera og sammenligner med en stjernehimmel som er lagret på disken og deretter sier hvilken retning vi ser. Her et et eksempel av et bilde

Eksempel bilde tatt fra kamera av Nostromo

For å finne ut hvor vi er i solsystemet trenger vi å bruke planetene i solsystemet. Siden stjernene er så langt unna og avstandene er så si statisk trenger vi å kunne måle forskjell i avstand i forhold til noe. Vi bruker derfor avstanden til planetene i solsystemet for å triangulere hvor vi er. Dette kan vi gjøre ved å tegne sirkler med radius like stor som avstanden til hver enkelt planet og sentrum i planetens sentrum. Gjør vi dette for hver eneste planet kan vi få et ganske nøyaktig posisjon i solsystemet. 

Eksempel med to sirkler

Vi ser at dersom vi bruker to sirkler når vi ser på et to dimensjonalt system så får vi to mulige punkter hvor disse krysses. For å kunne si noe om hvor man befinner seg i 2D må man ha minst 3 sirkler. I tre dimensjoner trenger vi minst fire for å kunne si noe om hvor vi er. Men jo flere jo bedre nøyaktighet kan man få ved at man minimerer usikkerheten i hver enkelt avstand til hver planet. 

Eksempel med GPS system for å finne posisjon 

Det eneste vi trenger å gjøre for å få til dette er så simpelt som å sende inn koordinatene og avstandene til planetene og vi kan dermed få egne koordinater til skipet. Vi hadde strengt tatt kun trengt avstandene men siden vi har koordinatene til planetene fra vår tidligere simulasjon av stjernesystemet kan vi bruke disse for å hente ut egne koordinater.

 

Hvis vi nå har retning vi peker og koordinat er det eneste vi mangler vår hastighet i systemet. Vi kunne brukt hastighet til hver enkelt planet ved å se på den deriverte av avstanden til en planet. Men dersom vi bruker noe utenfor systemet kan vi få hastigheten vår også i forhold til hele systemet om vi skulle funnet på å dra fra systemet, dette er også enklere å gjøre dersom vi har et eget instrument som kan måle doppler skift til referanse stjerner. Det vi trenger er ihvertfall to stjerner og måler da doppler skiftet til stjerna. Slik som vi snakker om i Beregninger; Utenomjordisk perspektiv. Vi bruker spektroskopet vårt til å finne hastigheten vår mot hver referanse stjerne. Forskjellig fra da vi så på stjerna sin hastighetsforskjell grunnet en planet ser vi nå på dopplerskift på grunn av vår hastighet mot eller fra en stjerne.

 

Av Alexander Amiri
Publisert 16. des. 2019 02:49 - Sist endret 16. des. 2019 18:12