A new hope

Nå som vi er ute i verdensrommet. Så kan det jo være greit å vite hvor vi skal hen! Dette hadde jo kanskje vært lurt å gjort før vi strandet oss selv her ute, men jaja. Vi må bare stole på kraften!

"That's not how the force works!" -Han Solo

Joda, Han. Du må bare stole på kraften. Så våre mål for øyeblikket er.

  • Plotte planetbanene i solsystemet
  • Simulere de banene sånn at vi vet hvor de kommer til å være til envhver tid
  • Bruke Keplers lover for å verifisere at vi ikke har rotet oss bort
  • Analysere hvordan planetene påvirker stjernen vår

Og alt dette før vi går tom for mat. HÆ! Glemte du matpakken vår Chewie!!!! Vell da er det bare å sette i gang da.

For å være litt systematiske og ikke lage alt for lange blogg innlegg for dere så tenker jeg at vi holder også til det første punktet for nå.

Litt om koordinatsystemer

Men hvordan skal vi tegne disse planetbanene våres da????? Skal vi liksom ta ut passer og linjal og bare sette igang? Nei, vi kommer til å la dataen gjøre det for oss. Det er jammen meg bra at den kan gjøre flere ting enn å se på likesa dine på bloggen din, hvis ikke så hadde dette blitt ett kort blogg eventyr.

Men hvor skal vi nå så starte da? Jeg kommer til det. Men først så tenker jeg at vi skal starte med å introdusere polar koordinater for dere. "Polar hvafornoe?" Nei, da handler ikke om hvordan vi måler polene våres. Nei, vi får starte med noe som dere sikkert kjenner igjen. Kartesiske koordinater:

Som dere ser på siden her [1]. Kartesisk koordinatsystemDa blir det jo hvis vi vil forklare det grønne punktet så går vi 2 skritt langt x-aksen også 3 skritt opp y-aksen. Eller på matte språket (2,3). Tilsvarende for rødt punkt, så går vi 3 skritt i negativ x retning og 1 skritt i positiv y retning eller i matte (-3, 1). "Flott! Ja, nei dette kan jeg jo fra ungdomsskolen? Det finnes da vell ikke noe bedre enn dette?" Vell, ja og nei egentlig. Til noen ting så er de kartesiske koordinatene best å bruke. Regner du på firkanter og kuber for eksempel som ikke er avhenging av noe vinkler, men kun avhengig av lengden på ting så kan det fort lønne seg at å bruke disse gamle gode kjenningene våres over. Men hva så hvis vi er mer interessert i vinkelen og avstanden til sentrum. Er det da best å bruke kartesiske? Vell hvis punktet du ser på er akkurat på x eller y aksen så er det jo relativt greit. Siden da kan du jo bare lese rett av. Men hva så hvis den er 45º opp fra x-aksen? Eller Sith forby, 11.38° opp? Hvordan skal du forklare det enkelt med x og y?

Nei da må vi jo litt inn i trigonometrien da. Du husker kanskje at du kan regne ut vinkelen til en trekant med hjelp av våre gode venner sinus, cosinus og tangens? Hvis ikke så har vi en liten juksetegning på siden [2].

Den så vel kanskje kjent ut? Hvis vi da starter med å forklare dette med å kun se i første kvadrant(den øverst til høyre firkanten hvor både x og y kun er positive). Så vil jo hosliggende(adjacent) være x og motstående(opposite) være y. Så vil jo hypotenusen være avstanden fra sentrum og ut til punktet. Hvor r er radiusen til sirkelen, og x og y er koordinatene. Men da kan du vel se att x og y kan skrives om til.

\(x =r \cos(\theta) \wedge y = r\sin(\theta)\)

Men kan vi skrive avstanden til sentrum på noen annen måte? Husker du fra R1 at du lærte deg en liten formel for sirkel? Den kan du slå opp i formelboken og få vite at

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Hvor r er radiusen til sirkelen, og x og y er koordinatene. Kan du forresten se at denne kommer fra Pytagoras sin setning om rettvinklede trekanter?

\(a^2=b^2+c^2\\ a=\sqrt{b^2+c^2}\)

Der a er hypotenusen i trekanten.

Og med det så kan vi jo skrive opp punkter ved å kun vite avstanden de har fra sentrum pluss vinkelen de har fra positiv x-akse, vi teller positiv vinkel i mot klokken av en eller annen grunn. Ved siden av så ser dere en liten gif som transformerer en sinus funksjon over fra kartesiske til polar [3].

Men nå lurer dere sikkert på hvorfor vi har tatt oss alt det bryet med å introdusere et helt nytt koordinatsystem? Holdt det ikke med det vi allerede hadde fra før? Vel, du kan jo klare å gjøre det vi skal videre med kartesiske, men med tanke på at vi jo skal tegne disse planetbanene, er det ikke da lettest å gjøre det med å kun trenge å vite hvor langt unna de er sentrum(altså stjernen vår) og hvilken vinkel de har? Vel vi synes nå i alle fall at det er lettere. Og siden det er vi som skriver denne bloggen så tar vi den avgjørelsen for dere. Dere kommer til å lære masse mer om polar koordinater når dere kommer hit til oss, men vit for øyeblikket at de er veldig greie med deg når du jobber med noe som har med sirkler å gjøre.

Nå som vi har etablert dette nye koordinatsystemet så må vi vel også klare å bruke det til noe! Nå må jeg ærlig innrømme at jeg er litt usikker på om dere har lært om formelen for ellipser eller ikke enda. Men la oss uansett jobbe oss fram til den sammen.

Hvis vi går tilbake til formelen for en sirkel ett øyeblikk

\(x^2 + y^2 = r^2\)

Da er vi jo enige om at x er x koordinatet og tilsvarende med y, og at r er radiusen til sirkelen. Tar vi nå å deler på den r2-en på begge sider så får vi.

\(\frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} = 1\)

Enn så lenge så er vi vell alle enige om at her har det ikke skjedd noe spennende? Men her kommer det spennende. Hvis vi ser på ellipsen på siden her[4]. Så ser vi jo at radiusen ikke er den samme i x og y retning. Så hvis vi bruker a for radiusen i x retning, og b for radius i y retning så får vi

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Som tilfeldigvis er formelen for ellipser. a er da den store halvaksen og b er den lille.

Hvis vi så hadde regnet ut den analytiske løsningen til 2 legeme problemet i polar koordinater(utledning side 3 til 7 for de svært interreserte) så hadde den sett noe slik ut.

\(r(f) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(f)}\)

Viktig da å nevne at f er vinkelen og e er eksentrisiteten til ellipsen. Hvis den er 0 så vil den jo være en vanlig sirkel. Hvis den ligger mellom 0 og 1 så vil det være ellipse. Er den lik 1 så er den en parabel og hvis den er større enn 1 så er det enn hyperbel.

Lager vi nå noe data magi som lar denne vinkelen gå fra 0 til \(2 \pi\)(måler i radianer da er \(360°=2 \pi\)), og henter ut store halvaksene med essentrisiteter til alle planetene. For å så returnerere tilsvarende r. Så får vi ut en sånn fin tegning av hvordan Hoth systemet vårt ser ut i polar koordinater.

Hvor sirklene som teller utover er avstanden til stjernen i sentrum i AU (1 AU er avstanden mellom sola og jorden og er forkortelse for Astronomical Unit og er ca 150 millioner km [5])

Her finner du data om solsystemet vi jobber med.

Publisert 17. sep. 2020 12:29 - Sist endret 21. sep. 2020 15:18