Are you Hohmann?

Hvordan kommer vi oss mest effektivt til ett annet objekt da? Bare peke raketten mot planeten å fyre av til vi treffer? Vell kanskje ikke det.

Ser vi på bildet under så ser vi jo hvorfor det er en dum idé. Planeten er jo ikke der vi siktet når vi fyrte av i den retningen.

Her er da \(\vec{r}_i(t_1) \) posisjonene til planetene ved tiden \(t_1\). Og tilsvarende for \(\vec{r}_i(t_2)\)

Okey, la oss bare rette raketten i plantens retning helt til vi treffer da. Vell jo, det hadde vell gått det, hvis vi hadde hatt uendelig mye med drivstoff. Men som dere kanskje skjønner selv da så er ikke det akkurat så, hva skal vi si, optimalt. Så hvordan gjør vi dette da? Vell siden vi har gjort tilærmingen at dette skjer i planet så kan vi bruke noe som heter Hohmann transfer på engelsk. Så det kommer vi til å diskutere litt under da. Hohmann kan kun brukes hvis banene er i samme plan. Så idéen etter er jo da at vi skal forbrenne minimalt med drivstoff for mest effekt.

Hentet fra wikipedia, siden jeg sliter med å tegne ellipser for hånd, noe som blir tydelig senere.
\(\Delta v\) er da fartsendringen som må til for å endre banen, kommer til det senere.
R er baneradiusen til hjem planenten vår, og R' er baneradiusen til målet vårt.

Ovenfor så ser vi da 2 planeter som går i sirkulære baner, kommer til å anta sirkel baner for planetene ut denne bloggen. Hvis vi da fyrer av raketten på den ene siden så vil den ha ett toppunkt i en vinkel 180 grader senere i ellipsen som dere også ser i bildet over. Dette er jo akkurat som det barnespillet dere spilte som het svingball, så vil man jo slå ballen såpass hardt at det får en ellipse bane over motstanderen. Så prinsippet herfra er egentlig ganske rett fram. "Vri" hjemplaneten vår til toppen av ellipsen treffer planeten vi sikter på. MEN VENT!!!! Husk at planeten vi sikter på også beveger seg, så vi må da "vri" sånn at toppunktet treffer hvor planeten kommer til å være. Nå må vi over til å gjøre litt mattemorro, men det over er hele essensen i det vi vil gjøre bare at i steden for å vri så må vi vente til vinkelen, som vi definerer til å være vinkelen hjemplanet, stjerne, mål med da positiv omløpsretning.   

Men da er vi vel enige at den store halvaksen til ellipsebanen vår må være noe typ.

\(a = \frac{r_1 + r_2}{2}\)

Hvor r1 er avstanden fra stjernen til hjemplaneten vår og r2 er avstanden fra stjernen til målet vårt. Hvis du er uenig, kanskje du sier deg enig etter at du ser på bildet under.

Bevis på at jeg ikke kan tegne ellipser uten verktøy, \(r_i\) ene er da radiusen til de enkelte sirkelbanene

Vell og fint det, men vi må jo også vite hvor lang tid det kommer til å ta for å komme seg da til toppunktet i den nye ellipsen. Siden vi trenger at de sammenfaller. Med mindre du vil dø da, siden vi glemte å pakke nok mat til retur reisen. Men tvil ikke siden perioden kan man jo enkelt finne med litt Kepler. Hans tredje lov sier jo

\(P^2= \frac{4 \pi^2}{GM}a^3\)

Hvor da G er gravitasjons konstanten, og M er massen til stjernen. Men siden vi bare er interesert i halparten av perioden P.

\(\begin{align} T &= \frac{P}{2}\\ T &= \frac{2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}}{2}\\ T &= \pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}} \end{align}\)

Hvor da T er halparten av perioden, eller da den tiden vi bruker fra bunn til topp. Men flott, nå veit vi jo både banen vi må ha, og tiden det kommer til å ta. Da trenger vi bare å finne ut hvordan vi får det til da. Hvor lenge må vi trykke på gassen for at vi skal få den banen?

Første vi må huske på er at

\(v = \frac{2 \pi \cdot R}{P} \)

Hvor v er da hastigheten til planeten, R er avstanden fra stjernen, og P er perioden til planeten. Så planen nå er da at vi skal finne ut hva hastigheten må være i perihelion(bunnen) for at den ellipsen skal forekomme. Da blir denne formelen brukt

\(v_{per}=\frac{2\pi a_{\text{ellipsen}}}{P_\text{ellipsen}} \sqrt{\frac{2 a_\text{ellipsen}}{R_1} -1} \)

Hvor da vper er hastigheten i perihelion, la på at det var ellipsen sin a(store halvakse) og P(perioden) vi da ser på siden det da fort kan bli surr når vi hele tiden bruker de samme bokstavene. Til slutt så er det R1 som er avstanden til start planeten, som kommer til å være i perihelion i den nye ellipsen. Videre da så må vi jo finne ut hvor mye endring i hastighet vi trenger for å nå denne vper det gjøres enkelt med å ta slutt minus start.

\(\Delta v_1 = v_\text{per} - v_1\)

Her er da v1 hastigheten til planeten i det tidspunktet. Så mer spesefikt til vårt tilfelle

\(\begin{align} \Delta v_1 &= \frac{2 \pi a_\text{ellipsen}}{P_\text{ellipsen}} \sqrt{\frac{2 a_\text{ellipsen}}{R_1} -1} - \frac{2 \pi R_1}{P_1}\\ &\boxed{a = \frac{R_1 + R_2}{2}, R_2\text{ er radiusen til målet}}\\ \Delta v_1 &= \frac{\pi (R_1+R_2)}{P_\text{ellipsen}}\sqrt{\frac{R_1 + R_2}{R_1} - 1} - \frac{2 \pi R_1}{P_1} \end{align}\)

 

Men det siste vi da trenger er å finne ut hvilken vinkel vi trenger å ha for at disse skal treffe hverandre.

Topp er da det nye toppunktet til ellipsen vår, som jeg ikke turte å tegne på nytt.
\(r_i\) er planetene våres, \(\theta\) er vinkelen mellom de, og \(\pi\) er da 180 grader i radianer

Ser her at vinkelen \(\theta\) er vinkelen fra start planeten, til stjernen også til målet. Ja, jeg veit at vi har snakket om det en del nå, men det er litt viktig sånn at dere forstår hvor vi får det fra. Men er dere enige i at vi kan se på sammenhengen mellom T og P2 for å finne ut hva den vinkelen burte være. Er der også enige i den vinkelen for mål planeten burte være \(\pi - \theta\) (regner i radianer). Da burte vell formelen være noe ala.

\(\frac{T}{P_2} = \frac{\pi - \theta}{2\pi}\)

Minner igjen på at da er T tiden det tar for at vi reiser fra perihelion til aphelion i den nye ellipsebanen.  Og \(P_2\) er perioden til målet vårt. Så hvis vi løser for \(\theta\)

\(\theta_\text{needed} = \frac{\pi (P_2 - 2T)}{P_2}\)

Fantastisk!!!! Da må vi vell være i mål???? Vell kanskje du la merke til at jeg slang på en liten skrift på den vinkelen. For den vinkelen er jo bare det den skal være, men når veit vi at den er det da? Så det vi skal videre er å finne \(\theta_\text{now}\) og den må jo da være lik \(\theta_\text{needed}\). Men hvordan skal vi gjøre det da? Alt vi har er jo avstandene som vist på bildet under

\(\vec{r}_i\) ene er posisjonsvektorene fra stjernen til planeten og \(\theta\) er vinkelen mellom de

Men vent!!! Her har vi 2 vektorer, samt lengden til de. Her ringer det inn litt vektor regning. Ser følgende kjent ut?

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\)

I vårt tilfelle så vil jo da \(\vec{a} = \vec{r}_1\)\(\vec{b} = \vec{r}_2\) og \(\theta = \theta_\text{now}\). Løses dette nå for \(\theta_\text{now}\) får vi

\(\theta_\text{now} = \arccos \left( \frac{\vec{r}_1(t) \cdot \vec{r}_2(t)}{|\vec{r}_1(t)| \cdot |\vec{r}_2(t)|} \right)\)

Disse posisjonsvektorene r er jo avhengig av tiden t, så kan være greit å ha med det. Da er det bare å la R2-D2 regne ut når den t'en er da og fyre av da.

Neste >>

 

Publisert 1. nov. 2020 20:46 - Sist endret 1. nov. 2020 20:46