Position verified

Da har vi grunnlaget for å skulle kunne finne ut hvor i universet vi befinner oss, og svaret denne gangen er ikke 42.

Etter intens jobbing er endelig "The Astrogation Computer" klar for å gjøre magien sin for å finne ut hvor vi befinner oss.

Det er 3 verdier som interesserer oss:

  • Posisjonen vår i forhold til stjerna
  • Hvilken vei romskipet peker
  • Hastigheten vår i forhold til stjerna

Man kan kanskje tenke at det tredje punktet er gitt av hvilken vei romskipet peker, men det er ikke nødvendigvis tilfelle. Vi kan drive sidelengs, eller baklengs, for den del. Og når vi skal fyre av motoren vår for å endre retning må vi vite at vi peker i nøyaktig riktig retning.

La oss ta for oss posisjonen vår først. Den skal vi finne ved hjelp av triangulering som vi så på her. Vi får data fra systemene ombord som gir oss nøyaktig avstand fra senter av alle planetene i solsystemet. For å finne posisjonen vår så vi at vi trenger avstanden vår fra minst 3 planeter. Vi har valgt oss ut de 3 planetene som er nærmest, med unntak av moderplaneten Hoth som vi jo foreløpig er rett ved siden av. Vi kan da generere sirkler for avstanden vår til disse planetene der avstanden mellom punktene skiller seg minst mulig fra hverandre. Fordi når vi skal finne punkter hvor sirklene rundt planetene krysser hverandre vil vi ha punkter hvor avstanden på en sirkel skiller seg minst mulig fra de andre. Har vi en planet som er langt unna og vi generer 1000 x,y punkter på denne sirkelen, vil disse ha mye større avstand enn en planet som er nærmere og har samme antall punkter med mye mindre omkrets.

Avstandene vi får fra instrumentene ombord er som følger i AU.

Planet # Avstand i AU fra vår posisjon
0 \(4.87204793\times10^{-5}\)
1 \(2.49507657\times10^{-1}\)
2 \(2.85664654\)
3 \(1.84465903\)
4 \(1.37842272\)
5 \(4.74243099\)
6 \(5.88339176\times10^{-1}\)
7 \(4.16691335\times10^{-1}\)
Stjerna \(3.65860973\times10^{-1}\)

Når vi utelukker hjemplaneten vår, som er planet 0 (og som vi ser har mye mindre avstand enn de andre), så finner vi at de 3 nærmeste er planet 1, 7 og stjerna. Vi bruker rå muskelkraft og generer 5000 x og y punkter i sirkler rundt sentrum av disse og sammenligner x og y koordinatene for alle piksler for disse 3 planetene. Det gir oss en algoritme som er håpløst treg og som skalerer forferdelig dårlig når vi øker antall punkter i sirklene. Men for vårt formål får det duge. Vi kunne nok lagd dette mer intelligent, ved å først finne punkter mellom 2 sirkler, og så søkt etter den 3. sirkelen i nærheten av disse punktene. Det finnes også analytiske metoder for å finne ut om, og evt. hvor, sirkler krysser hverandre.

Når vi har generert sirklene våre og triangulert kommer vi frem til følgende plott:

[Figur 1] Triangulering fra 3 objekter

 Vi ser at forskjellen i størrelsen på sirklene ikke er spesielt stor og at vi har 3 aktuelle punkter for hvor vi kan være, men det er selvfølgelig bare et punkt alle 3 sirklene krysser hverandre hvor vi kan være. Vi kan se nærmere på disse punktene.

[Figur 2]
[Figur 3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Men hverken [Figur 2], eller [Figur 3] er posisjonen vår. Den finner vi i [Figur 4]

[Figur 4]

Fordi punktene vi har generert ikke sammenfaller helt så lager vi oss et snitt for å finne beste tilnærming. Nå kan vi se på dette bildet at det ene punktet faktisk er det "riktige" punktet, men det er tilfeldig at vi har fått generert et punkt på denne sirkelen som treffer akkurat. Posisjonen vi har funnet i forhold til stjerna ved hjelp av denne metoden er: \((0.36699002234561123, -3.372014078087173\times10^{-3}) \text{AU}\)

For å finne vinkelen tar vi et bildet med kameraet og sammenligner det med den stereografiske projeksjonen vi diskuterte her. Bildet vi får ser slik ut

[Bilde 1] FOV 70 x 70 grader

Når vi kjører det gjennom "The Astrogation Computer" finner den at vi peker i retning 37º.

Så er det bare hastigheten igjen. Der må vi bruke Doppler effekten fra stjerner som vi diskuterte her.

Der fant vi med hjelp av litt linær algebra og doppler forskyning at.

\(\vec{v} \approx \begin{pmatrix} 2.44 \text{ AU per år}\\ 8.92 \text{ AU per år} \end{pmatrix}\)

Mange lurte sikkert på hvor vi dro den "store" vektoren fra(matrisen) så tenkte å bare da ta det litt raskt. I en vanlig ligning så er dette en måten man løser det på

\(\begin{align} ax &= b\\ a\cdot a^{-1}x & = b\cdot a^{-1}\\ x &= b\cdot a^{-1} \end{align}\)

Siden a ganget med sin inverse blir 1. Dette er det du egentlig gjør når dere flytter. Helt tilsvarende for Matrise og vektor regning. Bare da får du ut identitets matrisen istedenfor 1.

\(\begin{align} AA^{-1} &= I\\ \begin{bmatrix} a &b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e &f\\ g & h \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 &0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}\)

Utifra dette så vil du få 4 likninger

\(ae + bg = 1\\ ce + dg = 0\\ be + bg = 0\\ cf + dh = 1\)

Siden da a, b, c, d er som regel kjent så står du igjen med 4 likninger med 4 ukjente. Som kan løses, men det finnes også en formel som sier at.

\(A =\begin{bmatrix} a &b\\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{ad - cb} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}\)

Så må vi huske at ikke alle inverser til matriser kan eksistere, siden nevneren fort kan bli 0. Men hvis vi da ser på orginal matrise likningen vår.

\(\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sin(\phi_2 - \phi_1)} \begin{pmatrix} \sin(\phi_2) &-\sin(\phi_1)\\ -\cos(\phi_2) & \cos(\phi_1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1\\ d_2 \end{pmatrix}\)

Også husker vi at \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\) også ser vi da kun på matrisen.

\(\frac{1}{\sin(\phi_2 - \phi_1)} \begin{pmatrix} \sin(\phi_2) &-\sin(\phi_1)\\ -\cos(\phi_2) & \cos(\phi_1) \end{pmatrix} = \frac{1}{\sin\phi_2\cos\phi_1 - \cos\phi_2\sin\phi_1} \begin{pmatrix} \sin(\phi_2) &-\sin(\phi_1)\\ -\cos(\phi_2) & \cos(\phi_1) \end{pmatrix} \)

Hmmmm, dette minte jo veldig om den formelen for den inverse matrisen. Så da antar jeg at det er den inverse til en annen matrise. Også leser av formelen over og får da

\(A^{-1} = \frac{1}{\sin\phi_2\cos\phi_1 - \cos\phi_2\sin\phi_1} \begin{pmatrix} \sin(\phi_2) &-\sin(\phi_1)\\ -\cos(\phi_2) & \cos(\phi_1) \end{pmatrix} \wedge A = \begin{pmatrix} \cos\phi_1 &\sin\phi_1\\ \cos\phi_2 &\sin\phi_2\\ \end{pmatrix}\)

Så hvis vi da ganger inn denne A i ligningen under.

\(\begin{pmatrix} \cos\phi_1 &\sin\phi_1\\ \cos\phi_2 &\sin\phi_2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sin(\phi_2 - \phi_1)} \begin{pmatrix} \cos\phi_1 &\sin\phi_1\\ \cos\phi_2 &\sin\phi_2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sin(\phi_2) &-\sin(\phi_1)\\ -\cos(\phi_2) & \cos(\phi_1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1\\ d_2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \cos\phi_1 &\sin\phi_1\\ \cos\phi_2 &\sin\phi_2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sin(\phi_2 - \phi_1)} \begin{pmatrix} \sin(\phi_2 - \phi_1) & 0\\ 0 & \sin(\phi_2 - \phi_1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1\\ d_2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \cos\phi_1 &\sin\phi_1\\ \cos\phi_2 &\sin\phi_2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1\\ d_2 \end{pmatrix}\)

 

For de spesielt matteintereste så er det bare å bevege seg videre, for de dødelige så stopp her.

Vanligvis så er dere da vant med å forklare endringer i planet at ting skjer i x og y retninger. Men da i andre systemer så skjer ting i u1 og u2 retninger dette pleies dette da å skrives som.

\(\hat{u}_1, \hat{u}_2 \)

Men ett problem med disse nye koordinatene er at de ikke kan være pararelle. For å forklare dette i sin helhet så må vi bruke linær algebra og linær uavhengighet, jeg kommer ikke til å forklare det nærmere da dette er andre året på bachelor pensum, men dere veit da hva dere kan google. Men det dere kan være med på er at hvis noe er parallelt så har de enten samme vinkel eller da vrid 180 grader. Så hvis vi regner med 0 og 180 grader da så får vi.

\(\begin{align} &B = \begin{pmatrix} \cos(0) &\sin(0)\\ \cos(0) &\sin(0) \end{pmatrix} &\wedge & &C = \begin{pmatrix} \cos(180) &\sin(180)\\ \cos(180) &\sin(180) \end{pmatrix}\\ &B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} &\wedge & &C = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ &B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} &\wedge & &C = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \end{align}\)

Her ser vi da at \(x_1, x_2 \) ikke er linært avhengige og det må de være. Så da har vi bevist en liten sånn mattemorro for de av dere som fremdeles leser.

Publisert 14. okt. 2020 21:39 - Sist endret 14. okt. 2020 21:46