The triforce

Nå som vi har ett stjernekart å gå ut i fra. Så kan det jo også være en idé og verifisere posisjonen vår.

Bilde av sånn alle episodene i CSI
Oppsumering av alle CSI episoder. Bilde hentet fra 9gag

Du har sikkert hørt på CSI at de triangulerer telefonen til morderen, hmmm, vent. Sier

dere at dere ikke veit hva CSI er! Okey. Vell, da har dere ett par sesonger foran dere, som dere ikke trenger å se. Vi takker høyere makter for strømme tjenester ovenfor kabeltv, men uansett. Der så sier de ofte helt tullete ting som "enhance" på bilder som er pikselerte og så blir det magisk krystallklart, mer om hvorfor det er feil her. Men en ting som ikke er tull er dette triangulering av blant annet telefonsignaler. For det er ofte morderen har vært så dum at han bruker telefonen sin også får de ett signal fra den. Og det signalet får de fra 3 forskjellige radio tårn. Også veit man hva maks avstanden fra de tårnene er så kan man treffe på en prikk hvor morderen er også kommer det noen skikkelig dårlig ordspill og så var epsioden over. JEG GJENTAR, TAKK HØYERE MAKTER FOR DAGENS STRØMMETJENESTER. På høyre siden så har dere en oppsumering av ALLE EPISODENE.

Men vell og fint det, men dette var jo egentlig litt dårlig forklart hva som egentlig skjer. Når noen skriker at de har triangulert for full makt. Nei, det som skjer er at vi bruker sirkler. "Vent, har det ingen ting med trekanter å gjøre?". Nei min venn, trekanter er sirkler, dun dun duuuuuuun. Neida, joda. Man kan uttrykke mye trigonometri ved hjelp av sirkler og motsatt. Bare se på sinus, cosinus og tangens, snakker litt om det her. Hvis ikke så kommer dere også til å lære mer om det i R2 pensum. Men nå skal vi se om vi kan snakke oss frem til det uten noe som helst mattemorro, for de av dere som leser kun på grunn av star wars referanser og mattemorro, begge deler kommer siden.
Den er jo forferdelig lang det bildet på siden her da, akkurat som alle episodene i en forferdelig lang tv-serie også...
Så, nå starter vi med helt blanke ark også skal vi snakke oss fram til dette da. Eneste vi nå har på raketten vår som vi får lov til å bruke er en radar som klarer å måle avstanden til alle andre objekter i systemet vårt. Vell og fint det, men hvordan hjelper det oss egentlig? Vell hvis vi tar dette ned på jorden i 2 sekunder. Så forteller jeg deg at den beste kebab stedet i byen er 100 meter fra skolen. Men jeg sier ikke noe om hvilken retning du må gå for komme ditt.

Så, nå har du da 4 valg, siden du ikke veit hvilken retning du skal gå. Enten så går du syd, vest, øst eller nordover i 100 meter. Hvis du starter med å gå sydover så vil du jo etter 100 meter kunne si til deg selv, at dette stemte ikke. Tilsvarende for øst og vest. Helt til du kommer til nord retningen som er riktig, så fikk du bestilt deg en deilig kebab rull. Men du tenker kanskje, det er jo veldig kjipt da å måtte gå med 25% sannsynlighet bomtur første gang med at det kan gå så dårlig som at du må gå totalt 600m unødvendig for å få tak i den kebaben da. Så du spør en kompis om han også veit om dette stedet. Og han sier at det er 141.4 meter unna biblioteket. Nå tenker du kanskje at, jaha ja. Hvis jeg nå tegner en sirkel med radius 100m med sentrum i skolen og tilsvarende for biblioteket så ender du opp med noe sånn her.

Vell da har du helt rett! Nå har vi jo halvert antall steder vi kan gå, enten så må vi jo gå Nord eller så må vi gå Syd for å få tak i den lunsjen. Men vi er enda ikke fornøyde, kan jo hende vi går 200 unødvendige metere fremdeles. Så vi spør en tredje kompis, og han sier at det er 90m fra busstoppet hans.

Neimen, dette var jo perfekt! Ser nå også hvorfor det kalles triangulering, siden vi må ha 3 sirkler for å finne plassen. Hvis vi skulle tatt dette opp i 3 dimensjoner så måtte vi hatt 4 kuler for å finne stedet. Så hvis vi nå tar dette over til verdensrommet så finnes det jo ikke bare 4 veier å velge mellom. Så en liten forenklet tegning av situasjonen vår vil være noe slikt.

Hvor vi har tegnet sirkler rundt alle planetene, og stjernen. Hvor radiusen er avstanden mellom objektet og rakketen vår. Ser jo da at der alle sirklene treffer hverandre må jo være raketten sin plass. Vi kommer til å holde oss til det 2 dimensjonale rommet siden vi har lyst til å henge med flat earthers. Og for å spare oss utregningen for 3 dimensjoner. Men er jo vell og fin den slagplanen vi har for triangulering, men hvordan skal vi nå klare å lage disse sirklene litt mer effektivt? Vi kommer til å bruke en formel som dere kanskje kjenner igjen fra R1. Nemmelig

\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

Som er formelen for sirkler. Der a og b er sirkelens sentrum, x og y er det vanlige og r er radiusen til sirkelen. Vanligvis når dere har jobbet med denne så har jo \(a=b=0\).  Men det gjelder for oss nå kun for stjernen. Men vi har jo ett problem til!!! Vi veit jo kun hva a, b og r er også skal vi finne x og y koordinatene våres. Det er jo 2 ukjente fra 1 likning!!! Det er ikke bra. Så her kommer mattemoroen dere har ventet i spenning på. Starter med å få gjort om sånn at vi får dette i polarkoordinater.

\(\begin{align*} &(x - a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\ &r^2 = x^2 -2ax + a^2 + y^2 -2yb + b^2\\ &\boxed{x = r\cos(\theta) \wedge y = r\sin(\theta)}\\ &\text{Med å huske at } \sin^2x + \cos^2x = 1 \text{ å gjøre litt algebra så kommer man hit}\\ &r = \frac{a^2 +b^2}{2(a \cos(\theta) + b\sin(\theta))} \end{align*}\)

Hvor da \(\theta\) er vinkelen til punktet. Vi kommer til å tegne hele sirkelen så den går jo da fra 0° til 360° grader. Eller 0 til 2π radianer. For de av dere som ikke helt hang med på den overgangen så legger jeg i bunnen ut hele utledningen. Men vi skulle jo finne for x og y. Hvis vi nå tweaker litt så får vi jo at

\(\sin(\theta) = \frac{y}{r} \wedge \cos(\theta) = \frac{x}{r}\)

Setter vi nå disse inn for å løse x og y så blir det

\(\begin{align*} &r = \frac{a^2 + b^2}{2(a \frac{x}{r} - b \sin(\theta))} &\wedge & & r = \frac{a^2 + b^2}{2(a\cos(\theta) - b \frac{y}{r})}\\ &x = \frac{a^2 + b^2 - 2br \sin(\theta)}{2a} &\wedge & &y = \frac{a^2+b^2 - 2ar\cos(\theta)}{2b} \end{align*}\)

Hele utledningen helt i bunn. Men for den observante leseren så ser vi at disse formlene ikke gjelder hvis a er 0 når vi regner ut x og tilsvarende for b med y. Men a er jo hvor sentrum er langs x aksen, og b er jo hvor det er langs y aksen. Akkurat i origo så vil jo da \((a=0, b=0)\), og da kan vi jo bare gå tilbake til definisjonen av polarkoordinater og bruke.

\(x = r\cos(\theta) \wedge y = r\sin(\theta)\)

Men hva så når kun en av de er null da? Da blir det jo surr. Men hvis vi ser på tilfelle hvor b er null da. Hvis vi da ser på siden her så har vi 2 sirkler. Ene er sirkelen med sentrum i origo, hvor b må være 0. Og den andre er en sirkel som har origo bare en lengde a lenger bort på x-aksen. Utenom det så er de prikk like. Så ser dere at jeg har også tegnet ett punkt helt til høyre på begge sirklene der vinkelen vil være 0. Så for å finne x verdien til det punktet så er jo det da naturligvis \(x_1 = r_1\). Hvis du da lurer på hva x verdien er for det ytterste punktet til sirkel 2 er. Er dere enige i at vi bare kan plusse på den lengden a på x? Så matematisk så blir det \(x_2 = r_1 + a\). Siden radiusene var det samme. Og y verdiene er jo bare hvor "høyt" på tegningen sirkelen går, så den trenger vi ikke å flytte noe på. Gjør helt tilsvarende for å finne ut ett utrykk for når det er a som er 0. Bare at da er det y som får en pluss b. Så for å avslutte mattemoroa så skriver vi det opp

 

\(x = \begin{cases} &r \cos(\theta) &, \:\text{når } \: a=0\\ &r \cos(\theta)+b &, \:\text{når } \: b=0\\ & \frac{a^2 +b^2 - 2br\sin(\theta)}{2a} &, \:\text{når } \: a, b \neq 0 \end{cases} \wedge y = \begin{cases} &r \sin(\theta)+b &, \:\text{når } \: a=0\\ &r \sin(\theta) &, \:\text{når } \: b=0\\ & \frac{a^2 +b^2 - 2ar\cos(\theta)}{2b} &, \:\text{når } \: a, b \neq 0 \end{cases}\)

Og for den observange leseren. Ja, du har helt rett. man kan helt fint bruke kun.

\(\begin{align*} &x = r\cos(\theta) + a &\wedge& &y = r\sin(\theta) +b \end{align*}\)

Men da hadde vi jo gått glipp av litt mattemorro, jeg lar C-3PO generere med de samme sirkelsentrumene, så får dere se selv.

 

Men det er mange grunner til at vi burte la R2-D2 få så lette formler som mulig, bare se for deg at du skulle regnet og kontrollert med mange desimaler for vært punkt på sirkelen med de første formlene istedenfor den siste. Så fremover så bruker vi kun den siste formelen, men det er jo greit å kunne se at man får de samme verdiene/svarene på flere forskjellige måter. Men nå som alt er på plass så kan R2-D2 enkelt bruke formlene vi har gitt han også "tegne" alle disse sirklene med radiusene vi får fra radaren vår, og finne ut hvor vi er hen. På grunn av litt avrundingsfeil etc. så kan det lønne seg at vi tester opp mot alle planetene(og stjernen) i systemet vårt når vi gjør dette.

 

Resten er kun mattemoro for de svært interesserte. Bloggen er over

Hello, er du sikker på at du vil ned hitt? Bloggen er egentlig over altså

Siste mulighet.

Ooookkeyy, da starter vi.

\(\begin{align*} &(x - a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\ &r^2 = x^2 -2ax + a^2 + y^2 -2yb + b^2\\ &\boxed{x = r\cos(\theta) \wedge y = r\sin(\theta)}\\ &r^2 = r^2\cos^2(\theta) - 2ar\cos(\theta) + a^2 + r^2\sin^2(\theta) -2br\sin(\theta) +b^2\\ &r^2 = r^2\left(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) \right) - 2ar\cos(\theta) + a^2 - 2br\sin(\theta) +b^2\\ &2r(a\cos(\theta) + b\sin(\theta) = a^2 +b^2\\ &r = \frac{a^2 +b^2}{2(a \cos(\theta) + b\sin(\theta))} \end{align*}\)

Så for x og y

\(\begin{align*} &r = \frac{a^2 + b^2}{2\left(a\frac{x}{r} + b\sin(\theta)\right)} &\wedge & &r = \frac{a^2 + b^2}{2\left(a\cos(\theta) + b\frac{y}{r}\right)}\\ &ax + br\sin(\theta) = \frac{a^2+b^2}{2} &\wedge & & by + ar\cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2}{2}\\ &x = \frac{a^2+b^2}{2a} - \frac{br\sin(\theta)}{a} & \wedge & & y = \frac{a^2+b^2}{2b} - \frac{ar\cos(\theta)}{b}\\ &x = \frac{a^2+b^2 -2br\sin(\theta)}{2a} & \wedge & & y = \frac{a^2+b^2 -2ar\cos(\theta)}{2b} \end{align*}\)

Hva gjør du her fremdeles, nå er mattemoroa over også, gå hjem nå.

Neste >>

Publisert 14. okt. 2020 21:37 - Sist endret 14. okt. 2020 21:38