... enda mer planlegging

Håper du har tatt deg en pause! Her fortsetter forrige innlegg.

<< Forrige innlegg

Vi skal for siste gang simulere Vaksinens mulige baner. Vi har konstatert at det er to krefter som virker på den. Nå som datamaskinen skal knuse tallene, kan vi bruke generelle uttrykk hvor vi ikke lenger antar at lufttettheten er konstant eller at tyngdekraften er den samme i alle avstander fra overflaten. Dette er lurt å endre på siden vi faktisk befinner oss et stykke både unna atmosfæren og planetoverflaten

  • gravitasjonskraften \(\vec{F}_g = -G\frac{mM_U}{r^2}\hat{r}\)
  • luftmotstanden \(\vec{F}_d =- \frac{1}{2} \rho(r) A v_\text{d}\vec{v}_\text{d}, \quad \vec{v}_\text{d} =\vec{v}- \vec{w} \)

Vi ser at luftmotstanden bare virker når tettheten er større enn null, altså når vi er inni atmosfæren (jeg sier ofte vi i solidaritet med R&J, men det er strengt tatt de). Vi bruker rett og slett tettheten som funksjon av høyden \(h = r - R_U\) som vi fant tidligere. La meg gjøre et forsøk på å forklare kort hva vi ber Mister Mac om å gjøre for oss slik at vi kan se hvordan banen ved en landing blir. 

Første sak; potensiell fallgruve 

Vi har regnet med sfæriske koordinater i to dimensjoner (i praksis polarkoordinater) til nå, da vi har tenkt å holde oss i favorittplanet vårt xy-planet. I sfæriske koordinater svarer det til å sette inklinasjonsvinkelen konstant lik 90 grader (\(\pi/2\) radianer). Skal vi bruke numerisk integrasjon, må vi passe oss - det er ikke nødvendigvis helt likt som ellers. For å unngå utfordringer her, gjør vi ganske enkelt alle sfæriske koordinater om til kartesiske koordinater før vi lar euler-cromer knuse tallene. Fordi det på datamaskin ikke er mer enn noen ekstra tastetrykk, legger vi til en dimensjon z bare for gøy. Vi har da følgende.

Indeksene på posisjons- og hastighetsvektorene sier bare hva slags koordinater de er uttrykt ved, i praksis er vektoren den samme i begge systemene, dvs. den peker på samme punkt.

Trinn 2; bruker numerisk integrasjon

Vi lager oss en steglengde \(\Delta t\) i tiden som må være liten nok (her blir det å prøve og feile) og en simuleringsperiode T. Vi regner ut akselerasjonen gitt ved summen av krefter over massen m for alle tidssteg i som svarer til \(N = \frac{T}{dt}\) operasjoner. Vi får initialbetingelser fra hvorervi-softwaren og har det vi trenger for å simulere reisen med en Euler-Cromer-metode:

Nå skal jeg gi meg; bestemme nye initialbetingelser og parametre

Hvis vi nå skal bruke denne metoden, kan vi se på hvilke manøvre som vil gi oss en fin bane. Vi skal ikke endre posisjonen deres (det ville vært teleportering og det driver vi ikke med), men hastigheten. Skal vi også bare utløse landingsmodulen med én gang, må vi sørge for at riktig masse og areal er gitt. I vår simulering velger vi da en initialhastighet som er det landingsmodulen har rett etter at den er skutt ut, altså hastigheten til raketten pluss hastighetsendringen. Vi kan også tenke på en liten setning i algoritmen som legger til en valgt kraft mot bevegelseretningen (motorkraften vi har snakket om), men dette tar vi først når det virker aktuelt. Vi har for landingsmodulen at massen er = 90 kg, mens arealet bare er 0.3 m2. For å oppnå ønsket terminalhastighet, planlegger vi å utløse fallskjermen med tilstrekkelig stort areal, men når er dette lurt å gjøre? Hvis vi har for høy hastighet inn i atmosfæren, kan luftmotstanden være kraftig nok til at hele skjermen rives i stykker. Men det kan også skje at vi brenner opp med mindre areal, men da krever det altså litt større hastighet. Første plan er altså å sikte oss inn i atmosfæren med landingsenheten (som har svært lite areal, mye mindre enn rakettens på 16 kv.m, faktisk bare 2 prosent av dette) i en tilstrekkelig lav fart (igjen, prøve og feile ... heldigvis er det ikke vi som er prøvekaniner) for å bremses noe av luftmotstanden, slik at vi trygt kan utløse fallskjermen og dale ned mot grønnere gress (teknisk sett blåere hav). Men mye kan skje, det er mange hensyn å ta. Vi er bare glad for at vi ikke sikter oss inn noe spesielt sted, da så å si hele planeten langs ekvator ser ut som et flott sted å lande.


Vi tar først for oss den første delen av landingen rett etter vi har utløst landeren. Vi kan velge hvilken fart vi sender den ut med, eller rettere sagt hvilken fart den skal ha i forhold til raketten i det punktet. Vi har troa på en liten brems i tangentialhastigheten - den bør gi landeren en slak vinkel innover fra den opprinnelig sirkelbanen som etterhvert skal treffe atmosfæren. Det er en litt fintfølende grense her. Det er stor fare for å få for mye vinkel innover eller for slag vinkel så vi forsvinner langt avgårde. Det første forsøkene indikerer at en hastighetsendring i negativ bevegelsesretning på ca. 5% av den som var gjør susen - da klarer landeren å nå atmosfæren ved rundt 50 min etter start. Da pauser vi simuleringen her og skifter nå ut arealet med et på 11.5 m2, litt større enn beregnet da gir en noe lavere terminalhastighet, så vi er sikret å ha under og ikke over 3 m/s i radiell retning, selv med noen eventuelle avrundingsfeil. Vi ber datamaskinen stoppe beregningene når vi har nådd overflaten av planeten, samt kontrollere at farten inn mot origo ikke overstiger 3 m/s. Vi får utrolig nok en flott bane og en totalt landingstid på 10864 s - ca. 3 timer. Det bør jo være overkommelig! 

Grønn sirkel er ekvator på Utopia, stiplet markerer starten på atmosfæren. Vi starter i blå prikk og går i rosa bane i 50 min, deretter drøye to timer i den blå banen. 

 

Hvordan kan vi forvente at komforten på en slik reise er? Jeg mener å huske fra gamledager, da vi kunne reise, at det tok en drøy time fra Torp til Kastrup, en strekning som jeg ikke ser på som veldig lang. Tre timer fra ene siden av planeten til annen, altså? Og største delen av reisen er gjort på 50 min? Radien til planeten er jo vesentlig mindre enn jordkloden, faktisk bare en drøy halvpart av den. Så lenge raketten reiser med konstant hastighet, er summen av krefter på den 0 (Newtons første lov). Og jo saktere den akselererer (øker/minker hastigheten), jo mindre krefter virker det på den (Newtons andre lov). La oss se litt på farten.

Samme situasjon som over, men zoomet inn.

 

Så vi bremser veldig brutalt i et svært kort tidsintervall. Det kan umulig kjennes godt på kroppen. Men damene får vurdere å utløse fallskjermen litt tidligere kanskje. Uansett, ser vi tydelig at terminalhastighet er oppnådd. Nå må det nevnes at det kanskje hadde vært nyttig her å se på tangetial- og radialkomponenten hver for seg også.

Dette velger vi å ikke gjøre noe særlig mer med, da det vil bli lettere å se hva som er lurt når vi faktisk reiser mot planeten. Vi må ta høyde for at ikke atmosfæreprofilen er helt korrekt, da det kan gi noen utslag at vi i vår simulering sier den starter ved rundt 60 km over havet. Hva om den egentlig strekker seg lenger? Eller hva om vår toleranse for neglisjerbar luftmotstand (ikke atmosfære, \(\rho < 0.1 \text{ kg/m}^3\)) ikke er tilstrekkelig? For landeren kan vi finne at luftmotstanden som virker på den dersom lufttettheten er \(\rho = 0.1 \text{ kg/m}^3\)  og vi antar en fart 4000 m/s i forhold til atmosfæren (som ser rimelig ut mtp. på grafen over) er

\(F_d = \frac{1}{2} A \rho v_\text{d}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.3 \text{ m}^2 \cdot 0.1 \text{ kg/m}^3 \cdot (4000 \text { m/s})^2 = 240 000 \text{ N} = 240 \text{kN}\)

som er nesten det som skal til for å rive fallskjermen i stykker (veldig mye). Dette betyr at vi ikke må finne på å utløse fallskjermen idet vi trer inn i atmosfæren med en slik hastighet, men heller vente til landingsmodulen har blitt bremset en god del. Og vi burde tenkt på å minke toleransen for laveste lufttetthet til 0.01 kg/m3 iallfall, som ville gitt en maksimalhøyde for atmosfæren på rundt 80 km over havet. Men igjen, hvor sikre var vi på denne modellen da? 

Også dette tidssteget da. Er det kort nok? Beregner vi banen for punkter som er tette nok i strekning? Vi kan bruke x10-testen; hvis et tidssteg 10 ganger større enn det vi bruker ikke gir resultater som er altfor ulike, kan vi si at nøyaktigheten trolig er god nok. Og dette er det vi opplever; ingen synlig forandring. Banen ser helt lik ut om vi flytter oss 0.1 sekund fram i tid, som når vi flytter oss 0.01 sekund, for hver beregning. Sistnevnte bør altså være tilstrekkelig for våre formål.


Vi har mistet kontrollen over Vaksinen. Ruth har fått maur i rumpa og har tatt over styringen. De har heldigvis mottatt memoet om planen, men er de så lydige? Hvordan skal dette gå???

Nok en utvidelse av innlegget følger!

Neste innlegg >>

Publisert 17. nov. 2020 21:58 - Sist endret 18. nov. 2020 11:48