Bowies hemmeligheter

Mer om helten vår. Hva holder han skjult for oss?

<< Forrige innlegg 

Under overflaten

Det skjuler seg mye under overflaten av Bowie. Det skjer kjernereaksjoner innerst i han, men hvilke typer? Og hvordan kan vi vite det? Vi må gjøre noen antakelser når vi skal beregne kjernereaksjoner inni Bowies kjerne. Vi gjør følgende forenklinger.

Det er uniform massetetthet i hele stjernen, \(\rho(r)=\rho_0\).

Trykket inni stjernen er gasstrykket fra en ideell gass, og følger dermed ideell gasslov\(P = \frac{\rho kT}{\mu m_H}\), \(P\) trykk, \(\rho \) massetetthet i gass, \(\mu\) gjennomsnittlig nukelonmasse per hydrogenmasse, \(m_H \) hydrogenmasse.

Det er hydrostatisk likevekt inni stjernen, dvs. likningen \(\frac{\text{d}P}{\text{d}r} =-g(r)\rho(r) \) gjelder, der \(g(r) = G\frac{M(r)}{r^2}\) er tyngdeakselerasjonen og \(\rho(r)\) er massetettheten i gassen. Vi vet at det er hydrostatisk likevekt i en hovedstjerne, der \(R \in [0.1R_ \odot , 10R_\odot]\)*. Bowies radius er \(R \simeq 1.17 \, R_\odot\), så dette skal være en god antakelse.

Stjernen består kun av protoner med hydrogenmassen \(m_H\). Dette antar vi til å begynne med for å gjøre regningen litt enklere. 

Vi vil vite litt om hva slags skjebne som venter Bowie. Da må vi først se på hva som skjer innvendig. For hva er det som foregår innenfor kuleskallet hvis Bowie er definert av?

Stjernen Bowie likner Solen mye:
radius, \(R_B\) \(1.17 \, R_\odot\)
masse, \(M_B\) \(0.99 \, M_\odot\)
overflatetemperatur, \(T_0\) \(0.93 \, T_\odot\)
luminositet, \(L_0\) \(1.02 \, L_\odot\)

Aller først kan vi finne et uttrykk for massen til stjernen M(r) innenfor en radius r. Vi har at tettheten er gitt ved \(\rho (r) = \rho_0\) og

\(\rho(r) = \frac{M(r)}{V(r)} = \frac{M(r)}{\frac{4}{3} \pi r^3}\).

Dette gir et uttrykk for massen som funkjson av radien

\(M(r) = \frac{4}{3}\pi \rho_0 r^3\),

altså er massen proporsjonal med radien i tredje potens hvis vi beveger oss fra innerst til ytterst i stjernen.

Vi kan også bestemme \(\rho_0\) ved tettheten som er ved overflaten (altså ved radius RB), og dermed i hele stjernen,

\(\rho_0 = \rho(R_B) = \frac{M_B}{\frac{4}{3}\pi R_B^3} \)

der MB og RB er massen og radien til Bowie. 

Litt teknisk regning kan gi oss et uttrykk for kjernetemperaturen Tc. Essensielt bruker vi ideell gasslov sammen med likningen for hydrostatisk likevekt, innsatt med utrykket for M(r). Vi får en differensiallikning vi kan løse veldig enkelt med initialbetingelsen T(RB) = T0 = 5366 K overflatetemperaturen (som vi har). Vi lar være å ta med regningen er da den kan se litt grisete ut, men legger den ved nederst i innlegget for de særs ivrige. Setter vi inn tallverdier, får vi at Tc ≈ 9.78 • 106 K. Dette er vesentlig større enn overflatetemperaturen, nærmere 1800 ganger større faktisk. Likevel er forholdet mindre enn hva det er for vår egen Sol, der kjernetemperaturen er omkring 2700 ganger større enn overflatetemperaturen! 

Bowie; stjernen i sentrum av solsystemet.

Hva kan vi si om troverdigheten til dette resultatet, mon tro? Hvorfor er temperaturen innerst såpass ulik den tilsvarende for Solen, når de ellers er så like i størrelse, masse og overflatetemperatur? 
Det er ikke så lett å gå inn å sjekke. Ergo ordet hemmeligheter. Vi kan likevel bruke det i videre utregninger for å se om det kan gi mening. Men noe blir vill gjetning her. 


Hvor kommer energien fra? 

Stjerner lyser jo, lys vet vi har energi. Energien kommer fra kjernereaksjoner inni kjernen; da begrepet kjerne i to forstander. Kjernereaksjoner er kjernefysiske prosesser på atomkjernenivå. Kjernen i stjernen er der dette gjerne skjer. Kjernen i vår stjerne kan vi anta at strekker seg fra sentrum \(r = 0\) og ut til \(r = R_c = 0.2R_B\) og at denne også har en uniform massetetthet, samt at temperaturen \(T_c\) er den samme i hele kjernen. Kjernetemperaturen er i det lavere skiktet \(T_c < 90 \cdot 10^6\) K sammen med de andre hovedseriestjernene, som impliserer at følgende antakelser kan gjøres om reaksjonene inni kjernen. Ved kjernetemperaturer over 90 millioner Kelvin (som regel ikke hovedseriestjerner), skjer andre typer reaksjoner.

Vi antar at all energiproduksjon følger av pp-kjeden og CNO-syklusen.

Kjernen har komposisjonen 74.5 % hydrogen og 25.3 % helium, mens de resterende 0.2 % dekkes av karbon, oksygen og nitrogen.

Men hva i allverden er en pp-kjede? Og CNO-syklus? La oss forsøke å ta det i korte trekk. 

Det er de nevnte to reaksjonene som i all hovedsak dekker fusjonsreaksjonene inni hovedseriestjernekjerner. Fusjon av fire H-atomer til ett He-atom er den viktigste prosessen i slike stjerner. Med fusjon menes den kjernefysiske prosessen der to lette atomkjerner slår seg sammen til én tyngre.

Proton-proton-kjeden, eller "pp-kjeden",  beskriver reaksjoner der bare hydrogen og heliumatomer (pluss noen mindre partikler, eksempelvis fotoner) inngår, og er den viktigste i vår egen Sols kjerne blant annet. Den er mest effektiv for kjernetemperaturer rundt 15 millioner Kelvin (Solens kjernetemperatur), og for temperaturer liknende denne har vi en omtrentlig reaksjonsrate \(\varepsilon_\text{pp}\) som beskriver energien produsert av pp-kjede-rekasjoner per sekund og per kilogram av gass.

I CNO-syklusen inngår grunnstoffene karbon (C), nitrogen (N) og oksygen (O). Denne syklusen har også et godt estimat \(\varepsilon _\text{CNO}\)for energiproduksjon som er mest korrekt for temperaturer rundt 20 millioner Kelvin. Syklusen "tar en omvei" fra hydrogen til helium og inkluderer alle de tre nevnte stoffene i seks steg, men du sitter igjen med samme produktet (to Helium-atomer). 

Vi slenger begge reaksjonene som likninger med nederst i innlegget, for de som er nysgjerrig.

Ved sammensetningen av de ulike grunnstoffene, en konstant knyttet til den aktuelle kjernereaksjonen, tettheten til stjernen og kjernetemperaturen, kan vi finne de to størrelsene \(\varepsilon_\text{pp}, \,\varepsilon_\text{CNO}\) slik at vi finner det totale energitapet per tid per masse \(\varepsilon = \varepsilon_\text{pp} + \varepsilon_\text{CNO}\) i reaksjonene, som gir den komplette energien produsert i stjernen. Men denne har vi jo regnet ut før! Vi kan bruke luminositeten som målestokk for hvor god modellen vår er. Vi vet at luminositet er utstrålt energi per tid (effekt), så sammenhengen

\(\frac{\text{d}L}{\text{d}m} =\sum _\text{reaksjon} ^\text{antall reaksjoner} \varepsilon_\text{reaksjon}= \varepsilon_\text{pp} + \varepsilon_\text{CNO}=\varepsilon\)

må gjelde. Man kan bruke noen fysikk-matematiske triks (se vedlegg nederst) for å komme fram til at dette også betyr

\(\frac{\text{d}L(r)}{\text{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r) \varepsilon(r)\),

der vi har antatt kulesymmetri, \(L = L(r), \varepsilon = \varepsilon (r)\).

Nederst i innlegget kan du også om du vil se hvordan vi integrerer for å komme fram til at 

\(L_B = \frac{4}{3}\pi \rho_0 \varepsilon \,(0.2R_B)^2, \quad \varepsilon = \varepsilon_\text{pp}+ \varepsilon_\text{CNO}\)

ved å prinsipielt bruke at den totale luminositeten på overflaten \(L _B= L(R_c) \) er den samme som effekten vi finner på kjerneskallet, \(r = R_c = 0.2R_B\), samt at det ikke kan være noen utstrålt effekt i helt i sentrum, \(L(0) = 0\). Regner vi ut med verdiene vi har, finner vi den totale utstrålte effekten, luminositeten, til Bowie er \(L_B \simeq 7.531 \cdot 10^{22} \text{ W} \approx 0.2 \cdot 10^{-3} \, L_\odot\), ikke en promille engang av solluminositeten. Dette er likevel veldig mye energi per tid altså. Til sammenlikning har Norges største kraftverk en installert effekt på litt over 1 GW (109 W), en svært liten brøkdel av selv 1022 W. Vi har tidligere snakket om alle de svært liknende egenskapene til Bowie og Solen, så her må noe være galt. Vi har tidligere funnet ved overflatetemperaturen at den utstrålte effekten fra Bowie er på rundt solluminositeten,\(L_0 = 1.02 \,L_\odot\). Hva skyldes det enorme avviket?

Illustrasjon av ideen om at effekten utstrålt fra kjerneskallet er den samme som effekten utstrålt fra skallet, dersom vi antar at all energi fra Bowie kommer fra fusjoner i kjernen. Det er like mange stråler totalt ved r = Rc som ved r = RB.

Vi må ta høyde for at det er gjort feil i beregningene. Hva får vi hvis vi gjør det samme for Solen for eksempel? Hvis vi setter inn verdier for Solen istedenfor, ser vi får et litt bedre resultat, men bare knappe 0.2 prosent av dens egen luminositet! Hva skal det bety? 

Vi klarer ikke finne feilen i utregningene, men regner med at den er der. Hvis ikke kan det jo være at én eller flere av antakelsene vi har gjort er helt usaklige og medfører et slikt på jordet resultat. Men er det så gæli allikevel da?

Bruker vi sammenhengen mellom luminositet og effektiv overflatetemperatur \(L = 4\pi R^2\sigma T_s^4\),\(\sigma \)Stefan-Boltzmanns konstant, kan vi regne ut overflatetemperaturen til Bowie, la oss kalle den TB, dersom vi har den estimerte utstrålte effekten LB,

\(T_B =\sqrt[4]{ \frac{L_B}{4\pi R^2 \sigma } }\).

Vi får at temperaturen skal være 633 K på overflaten av Bowie, noe som er veldig langt unna det vi har fra før av, \(T_0 = 5366 \text{ K}\). Faktisk er overflaten på 633 K ≈ 360 ºC ikke veldig mye varmere enn maks-temperaturen i en god stekeovn. Med andre ord, kan det ikke stemme at luminositeten er så lav som beregnet med kjernereaksjonene.

Hva er galt nå da...

Vi må feilsøke. Vi legger merke til et par ting som er verdt å nevne.

(1) \(\varepsilon_\text{CNO} << \varepsilon_\text{pp}\), pp-reaksjonene har mye mer å si enn CNO-reaksjonene. Det gjør ingen eller svært liten forskjell å sette \(\varepsilon = \varepsilon_\text{pp}\). Er dette rimelig, eller har det gått skeis et eller annet sted her? Det viser seg at dette er helt i orden for temperaturer under omkring 15 millioner Kelvin, og kan forklare hvorfor pp-kjeden er den definitivt viktigste reaksjonen i hovedseriestjernekjerner; den gir vesentlig større bidrag til stjernens utstrålte effekt enn hva CNO-syklusen gjør.

(2) CNO-reaksjonen er spesielt avhengig av temperaturen. Reaksjonsraten er proporsjonal med temperaturen i millioner Kelvin i tyvende potens, altså for eksempel faktoren 1520 for en kjernetemperatur på 15 millioner Kelvin. Høyere kjernetemperaturer vil vektlegge effekten fra denne reaksjonen vesentlig mer. Vi tester modellen vår for \(T_c = 20 \cdot 10^6 \text{ K}\), noe som hjelper, men vi er fortsatt ikke i nærheten av den forventede effekten. Med litt prøving og feiling, kan vi se at \(T_c = 26.2 \cdot 10^6 \text{ K}\) gir et resultat nærmere \(L_0\).

(3) Temperaturer over 20 millioner Kelvin gir et dårligere estimat for reaksjonsraten til pp-kjeden, så dette blir en ond sirkel.

Det er vanskelig å si sikkert hva som er helt feil. Det vi tror mye på, er at den beregnede kjernetemperaturen \(T_c \approx 10 \cdot 10^6 \text{ K}\) er for lav. Vi antok for eksempel at stjernen ene og alene består av protonpartikler, noe vi vet ikke stemmer helt. Kjernetemperaturen er jo avhengig av den gjennomsnittlige nukleonmassen; tyngre partikler ville gitt større \(T_c\). Det er forøvrig ikke lettere atomer enn hydrogenatomer (ser at vi har brukt hydrogenatomer og protoner litt om hverandre; de beskriver for oss her nå samme sak), så ethvert annet grunnstoff ville bidratt til høyere kjernetemperatur, og vi kan kanskje se på \(T_c\) som en nedre grense for temperaturen innerst i stjernen. 

At det er uniform massetetthet, hydrostatisk likevekt og ideell gass inni stjernen er også forenklinger vi har gjort som kan ha hatt innvirkning på resultatet. De to sistnevnte skal være forholdsvis gode for hovedseriestjerner og bør ikke gi et avvik av den ordenen vi har funnet. Om massetettheten er uniform eller ikke, bør etter intuisjon (også kalt gjett) ikke har allverdens å si heller, da vi kan regne med at den jevner seg ut. Men kanskje den burde vært mye større innerst enn ytterst? Det ville vært vanskeligere å regne på, men kanskje gitt et mer fornuftig resultat. Vi har snakket om effekten av hydrostatisk likevekt og hvordan det gjerne blir høyere lufttetthet nærmere tyngdepunktet i en atmosfære. Dette bør vel gjelde for stjerner også, da de i prinsippet er skyer av gass, eller iallfall startet som det?

Det siste vi vil nevne, er at antakelsen om at all energiproduksjon kommer fra kjerneprosessene, bør være god med tanke på at dette iallfall er den viktigste kilden og eneste vi i grunn kan noe særlig om. Likevel skal vi ikke se bortfra at det må være noe annet som står for den store mengden effekt vi mangler. Det dersom det mot formodning viser seg at alt annet stemmer helt bra.

Vi ble kanskje ikke så mye klokere på Bowie av dette, men vi har lært litt om kjerneprosessene som foregår i hovedseriestjerner.


Vedlegg: Utregninger

 

Neste og siste innlegg >>

*Symbolet og indeksen \(\odot\) betyr at det er Solen i vårt solsystem sin størrelse.

Publisert 17. des. 2020 22:33 - Sist endret 18. des. 2020 12:32