Jack er i fare!

Jack Spurv har kontaktet oss etter hans motorhavari midt uti ingenting. Er det håp? Og kan vi redde ham?

<< Forrige innlegg

Vi har fått litt informasjon fra Den sorte perle. Vi vet at romrøverskipet var i en avstand R = 20M fra et sort hull og at papegøyen Polly ble igjen på denne radien. Polly kan gjenfortelle at han hadde en hastighet \(v_{Sh} = 0.993\) i forhold til seg (som vi vet er veldig, veldig fort - over 99% av lyshastigheten), med en vinkel \(\theta = 167 ^{\circ}\) i forhold til vinkelen de hadde med linjen radielt ut fra det sorte hullet, og nå er i fritt fall. Vi får vite at Den sorte perle har angulærmoment L og masse m.

 


Skisse av en fortvilende situasjon. 

Hva trenger vi for å vite om hans skjebne ligger i det sorte hullet eller om han kommer seg ut? Og når er det for sent? Og er det isåfall en rask død?

Vi har sett på Schwarzchildpotensialer og blitt enige om at energien man starter med er avgjørende for et objekts bevegelse i tyngdefeltet. Potensialet bør ha en form som på figuren under (merk at denne er overdrevet for å understreke poeng).

Skisse av det forventede effektive potensialet rund DSH.

Hvis \(E/m \) er energi per masse for Den sorte perle og \(E_\text{crit} /m\) er den kritiske energien per masse som vi diskuterte i forrige innlegg, gjelder

  • \(\frac{E}{m} < 1:\) DSP ("Den sorte perle") får bane rundt DSH ("Det sorte hullet")
  • \(1 < \frac{E}{m} < \frac{E_\text{crit}}{m}:\) DSP kan forsvinne ut i det uendelige
  • \( \frac{E}{m} >\frac{E_\text{crit}}{m}:\) DSP fanges og slukes av DSH ...

Vi må altså finne disse to størrelsene. Vi kan ganske enkelt finne et uttrykk for \(E/m\) hvis vi antar at Polly (som nå er skallobservatøren) er i et lokalt inertialsystem i korte tidsperioder. Vi husker at denne størrelsen er bevart. Får å finne den kritiske energien per masse, kan vi først finne det effektive potensialet og for eksempel bare plotte det for å se. Vi kan også finne for hvilken avstand r vi finner dette ekstremalpunktet ved å sette den posisjonsderiverte av potensialet lik 0, og deretter sette inn for denne radien i uttrykket for potensialet. 

Men oisann! Var det så enkelt da? La oss se på uttrykket for det effektive Schwarzchild-potensialet V(r),

\(V(r) = \sqrt{\Big( 1 - \frac{2M}{r} \Big) \Big[ 1 + \frac{(L/m)^2}{r^2} \Big]}\).

Vi trenger et uttrykk for spinn per masse L/m før vi kan fortsette! Dette kan vi også finne ganske greit med litt kunnskap om vinkler, også husker vi at denne størrelsen også er invariant. Da har vi altså både energi og spinn per masse uttrykt med kjente størrelser, samt massen til DSH M som vi foreløpig lar være 1, da stort sett alt avhenger av denne.

Da skal alt være i orden!

Effektivt potensial i avstander r = 2M til r = 20M fra DSH. Vi kan forvente at den dumpen der \(V_{eff}(r) < 1\) ligger et godt stykke lenger fra DSH. 

Ånei! Jack ligger jo godt over humpen med E/m = 8.03 (oransje) :( Er han rett og slett fortapt?

Se igjen for den denne klossen. Hvis Jack fortsetter innover mot DSH, vil han omsider passere \(r_\text{crit} = 3M\) og deretter eventhorisonten \(r = 2M\). Vi har kanskje ikke vært tydelige nok på dette, men man kan vise at objekter på og innenfor denne radien ikke kommer seg ut til større radier og det er helt uunngåelig å få fart innover. Man er fortapt med andre ord. 

Gå et øyeblikk tilbake til skråplanet i forrige innlegg. Vi sier at den mekaniske energien er bevart, så når den potensielle energien, aka. underlaget i dette tilfellet (høyden h(x)), er liten må den kinetiske gjøre opp for denne med å være større. Hadde vi plottet den mekaniske energien, ville det vært en rett strek langs underlaget i det tilfellet. 

Med den heltrukne oransje streken i plottet, er det ikke helt det samme, men veldig likt. Denne er konstant, og vi har i generell relativitetsteori sammenhengen

\(\big(\frac{E}{m}\big)^2 = v_r^2(r) + V_{eff}^2(r)\),

der \(v_r\) er hastigheten inn mot eller ut fra sentrum i det sorte hullet. Den tilsvarende for skråplanet er jo \(E/m = 1/2 v^2(x) + gh(x) = 1/2 v^2(x) + V_{eff}(x)\), mens den i celestemekanikk (stjerner, planeter osv., pre Einstein) vil være litt annerledes igjen. Poenget er at når det effektive potensialet blir svært lite, vil den radielle hastigheten øke. Og tenker vi på klossene igjen, ser vi at den øker betraktelig dersom den har passert det kritiske punktet. mens med energi under den kritiske energien, men over massen sa. E = m (E/m = 1), vil ikke klossen nå opp til toppunktet og dermed snu mot høyre og få økt radialhastighet i den retningen (hvis vi lar x-retning spille rollen som r-retning, vel å merke).

Vi presiserer at bevegelsen til DSP ikke vil se ut som klossens, da DSP vil ha en bevegelse i \(\varphi\)-retning (spiralbevegelse her altså), men bevegelsen i r-retning er rimelig å betrakte på samme måte som klossens bevegelse i x-retning.

Hvis Jack skulle fått liv i motoren igjen, er ikke lenger energien bevart, og han kan sette kursen radielt utover. Hvis dette ikke skjer før \(r = 2M\), så det ikke noe håp. Han blir sugd inn i DSH fortere enn han vet ordet av det. Hvor fort er det?

Innenfor eventhorisonten, i sentrum av det sorte hullet, har vi det vi kaller en koordinatsingularitet, og inne engang generell relativitetsteori gjelder her. Man kan regne ut unnslipningshastigheten ved denne horisonten og se at denne er på lysets hastighet sa. ikke engang lys slipper ut herfra! Jack vil oppleve rare ting de siste øyeblikkene av sitt liv. La oss si han trer ut av romrøverskipet sitt rett før horisonten og innretter seg slik at han er parallell med radien og at tærne treffer kanten først og hodet sist.

Jack aner fred og ingen fare.

Da vil tærne bli trukket på kraftigere enn hva hodet blir og Jack blir strukket ut som en strikk. Antakeligvis vil strikken ryke og kroppen til Jack blir revet i fillebiter.  

Den er lei.

Vi kan regne ut hvor lang tiden oppleves fra Jack når r = 2M og \(M = 4 \cdot 10^6 M_\odot\) til han er en del av singulariteten r = 0. Vi kom selv først ikke helt i mål med utregningen, da den ikke var helt triviell (måtte dele på null, som var litt uheldig), men essensielt bruker vi at energien er bevart og noe fysikkmatte, og blant annet finner at han når en fart som er mye høyere enn lysets... Verken skallobservatører, som Polly, eller langt-vekk-observatører, oss om du vil, kan måle noe som helst innenfor horisonten da det ikke er mulig å være i ro der, så den farten er det ingen som kan gå god for! Vi kan likevel regne ut egentiden - tiden på armbåndsuret til Jack - i perioden inni DSH. Dette viste seg å ikke være helt trivielt å regne ut...  Men! Vi ga oss ikke og litt profesjonell hjelp satte oss på riktig spor igjen. Husk forskjellen på kjerneregel og substitusjon, folkens! Det kan spare dere for en del tid...

Jack bruker etter våre beregninger 5 sekunder på denne uunngåelige undergangen. Det er ikke lenge nok til å kalle det en pinefull død, men lenge nok til at nervecellene rekker å si ifra om smerte. Da har vi antatt at han dør på denne reisen, enten om det er å bli revet i fillebiter, bli utsatt for for høy akselerasjon eller kræsje i singulariteten (hvor vi antar man ikke overlever). Uansett er det dessverre en ganske sikker død. 

Den hadde dog vært raskere i et mildere tyngdefelt, for eksempel når \(M= M_\odot\) der tilsvarende tid ville vært rett over et mikrosekund. Dette må ha noe å gjøre med at radien er mindre i slike felt, så veien til sentrum er kortere. 

En annen vinkling er å se på situasjonen dersom Den sorte perle hadde startet i ro langt unna hullet. Da kan man vise at tiden det tar enda lengre tid, rundt 26 s, å komme seg fra \(r = 2\cdot 4 \cdot 10^6 \, M_\odot\) til \(r = 0\), så det kan jo kjennes på kroppen (egentlig ikke, i praksis er du nok død eller bevisstløs lenge for dette er i det hele tatt relevant).

Vi tenner et lys for Jack og lar fred være med ham. Og hopper elegant videre til nytt tema i neste innlegg; stjerners utvikling!

Neste innlegg >>

Publisert 17. des. 2020 22:25 - Sist endret 18. des. 2020 15:32