Klarer et sort hull å sluke lyset også?

<< Forrige innlegg

Vi nevnte i et innlegg at vi ikke behøver Newtons gravitasjonslov i generell relativitetsteori, da prinsippet om maksimal aldring i Schwarzchildrom alene kan forklare dragningen mot massive legemer. Får dette noen store konsekvenser? Eller er det bare en ny måte å forklare samme fenomen på?


Sorte hull

Når vi snakker om massive legemer i den generelle relativitetsteorien, bruker vi gjerne sorte hull. Sorte hull er rester av massive stjerner og har radius R = 2M, som en veldig liten radius i forhold til massen (i relativistiske enheter, vel å merke). Langs denne radien ligger det vi kaller eventhorisonten; innenfor denne kan vi ikke vite hva som skjer. Men hva skjer nært et sort hull?


La oss repetere Newtons gravitasjonslov,

\(F_G = - G\frac{mM}{r^2}, \quad g = \frac{F_G}{m} = -G\frac{M}{r^2}\),

der FG er kraften i radiell retning, G gravitasjonskonstanten, M massen til objektet som setter opp tyngdefeltet, r avstanden objektet har fra sentrum, m massen til objektet i tyngdefeltet og g tyngdeakselerasjonen. Vi ser bort fra luftmotstand og andre ytre krefter. Newton kunne fortelle at et objekt med masse i tyngdefeltet vil akselereres med en størrelse g inn mot sentrum av tyngdefeltet, en størrelse avhengig av M og r. Et kompakt himmellegeme, vil ha en stor masse men liten radius. 

Så hva svarer Einstein på dette?

Det går an å vise at den tidsderiverte av farten - akselerasjonen - som en skallobservatør observerer, er proporsjonal med for svake tyngdefelt (eksempelvis jordkloden) i generell relativitetsteori:

\(g_{Sh}\propto \frac{M}{r^2}, \quad r >> 2M\)

For sterkere tyngdefelt gjelder

\(g_{Sh} \propto \sqrt{\Big(1- \frac{2M}{r} \Big)} \frac{M}{r^2}\),

hvor en kan legge merke til at der massen er liten og radien er stor (svakt tyngdefelt), blir den ekstra faktoren ≈ 1. 

Det går an å tenke på generell relativitet som en generalisering av Newtonsk fysikk. I vår begrensede hverdag vil relativistiske effekter bare plage noen få, eksempelvis GPS-teknikere. For spesiell relativitet skal du opp i høye hastigheter før noen tids- eller lengdekontraksjon kan være målbar, og jordklodens bane dekkes av Keplers lover. Likevel er det ikke så altfor mange planeter du skal reise til før du møter én med en bane som Newtonsk fysikk og Keplers lover ikke kan forklare. Merkur er såpass nære Sola at baneradien ikke lenger kan sies å være mye, mye større enn to ganger massen til Sola.

At akselerasjonen ikke oppstår som følge av en kraft, er faktisk helt avgjørende i spesielle tilfeller. Newton sier den andre gangen at \(a = F/m\), noe som impliserer at et masseløst legeme vil få uendelig akselerasjon, uavhengig av kreftene som virker på det (dele på null er tull). I generell relativitet er det potensialet et legeme har som vi bruker for å finne bevegelsen. Potensialet kan i denne sammenheng sees på som et mål på grad av evne til å holde seg i bane rundt et massivt legeme. Det er for massive legemer mål i energi per masse, men for masseløse legemer gitt som spinn per energi (også kalt impaktparameter).

Det effektive potensialet, som er det vi bruker her, kan knyttes til potensiell mekanisk energi i tyngdefeltet, altså \(U = mgh\) som du sikkert kjenner igjen. 

Vi skal se på et tilfelle der vi først holder to klosser i ro på et friksjonsfritt underlag formet som en dump.

Klossene A og B på samme frisksjonsfrie underlag med høyde h(x) over nullpunktet.

Vi vet at den totale mekaniske energien begge klossene er bevart, altså er \(E = K(x)+U(x) = \frac{1}{2} mv^2(x) + mgh(x)\) den samme størrelsen for alle x, så langt det ikke virker andre fiktive krefter på dem. Vi setter nullpunktet for mekanisk energi per masse, der = 0, langs den rette delen av underlaget og lar massen bli en del av den konstante størrelsen E/m.

Hvis vi slipper kloss A (antar at B er ute av banen dens), så vil én av to ting skje: (1) Den vil stå i ro på kanten, da dette vil gi bevart energi per masse \(\frac{E}{m} = \frac{1}{2} \cdot 0^2 + g\cdot 0 = 0\). (2) Energibevaring åpner også for at høyden kan minke mens farten øker, sa. \(\frac{1}{2}v^2 = gh\), med andre ord kan klossen skli nedover (avhengig av hvor stabilt den står på kanten). Klossen vil nå helt ned og skli oppover igjen da det ikke er andre krefter tilstede for å bremse den, men den vil ikke komme lenger enn til nullpunktet, ie. den høyden den startet i. Vi vet jo at i denne høyden, høyde 0, er farten også lik 0, mao. den står i ro. Vi ser at det samme nå vil skje for bevegelsen i motsatt retning, og klossen vil skli fram og tilbake langs akkurat samme strekning i all evighet, så lenge det ikke virker noen andre krefter på den. I virkeligheten virker det nesten alltid noen friksjonskrefter fra underlaget som vil føre til tap av energi og dermed "mindre utslag" i banen. 

Slipper vi nå kloss B, vil vi se at også denne bare når opp til høyden den hadde i utgangspunktet. Siden klossen starter med v = 0, vil energibevaringen \(\frac{E}{m} = 0 + gh = gh\) gi oss at klossen må ha fart 0 i samme høyde h, uavhengig av x-posisjon. Farten 0 i en slik bevegelse forekommer enten for legemer helt i ro, eller legemer som er i ro fordi de snur og bytter bevegelsesretning (må innom 0 for å bytte fortegn på farten). 

Et legeme i fritt fall der energien er bevart vil aldri kunne komme seg høyere opp enn fra høyden den startet i. Sagt på en annen måte; du vil aldri kunne klatre høyere enn ditt utgangspunkt. Dette dukker opp flere steder i naturen, for eksempel i India. Prinsippet kan blant annet forklare sosiale hierarkier, eller at det er bortimot umulig å komme seg ut av fattigdom hvis en først er født inn i det. Men nå sporer jeg av.

Underlaget i dette tilfellet er helt likt den potensielle energien som funksjon av posisjon U(x) i fasong. Det er fordi høyden på underlaget \(h(x)\) er det eneste som varierer den potensielle energien \(U(x) = mgh(x)\).

Dette gjelder selvfølgelig også for planeters bevegelser, både i celestemekanikken og i generell relativitet. Nå er avstand fra sentrum et bedre begrep enn høyde over nullpunkt, da bevegelsene er krummede. 

Vi ser for oss et sort hull med masse M og en stjerne med masse m på vei inn mot dette hullet. Hva kan vi si om bevegelsen til stjernen?

Vi har noen kjente muligheter. (1) Stjernen blir "fanget" av gravitasjonsfeltet til det sorte hullet og får en elliptisk bane rundt det. (2) Stjernen "streifer" tyngdefeltet og kommer det ut av feltet. Hvilken skjebne stjernen har bestemmes i den generelle relativitetsteorien av dens avstand r, masse m, radialhastighet vr og spinn L.

Det er faktisk en mulighet til, (3) som er at stjernen blir "slukt" av det sorte hullet og forsvinner innenfor eventhorisonten. 

Vi kan visualisere mulighetene som energigrafer; én som viser det effektive potensialet i Schwarchildgeometri (altså ved generell relativitet) og én som tegner det effektive potensialet  (+1, for å få riktig nullpunkt) ved Newtonsk mekanikk. Det kommer tydelig fram at avviket er størst for mindre r

Plottene viser samme grafer; Det øverste viser et plott fra eventhorisonten r = 2M og til r = 50, ikke zoomet. Det nederste er zoomet, men helt tom. r = 5000.

I figuren ovenfor viser den lyseblå grafen det effektive potensialet for et legeme rundt et sort hull. Hvis stjernen entrer gravitasjonsfeltet med energi per masse større enn toppunktet på grafen, vil den jo på et eller annet tidspunkt nå \(r = r_{crit}\) og passere toppen sa. \(r < r_{crit}\) og den blir fanget av det sorte hullet. Tenk på en kloss langs denne delen av grafen og hvordan den vil falle mot \(r = 2M\). Et legeme på eventhorisonten, vil for evig forsvinne inn mot set sorte hullet, men dette skal vi ikke gå inn på akkurat nå, dessverre. 

Hvis stjernen har \(1<\frac{E}{m} < \frac{E_{crit}}{m}\), altså kommer inn i feltet med energi per masse mellom toppunktet og den rette linjen, ser vi at den vil suse inn mot hullet, men falle ned igjen før den rekker å nå \(\frac{E_{crit}}{m}\) , og deretter forsvinne avgårde mot større r; vekk fra det sorte hullet.

Dersom stjernen nå skulle treffe på feltet med \(\frac{E}{m} < 1\), vil vi få en periodisk svingning i potensialet, liknende den kloss B fikk. En slik svingning svarer faktisk til en ellipsebane! Den innerste og ytterste radien r svarer til ellipsens periapsis og apoapsis, henholdsvis. Det vil si at vi ikke trenger verken Newton eller Kepler her heller for å forklare planeters ellipsebaner! Faktisk viser det seg at denne tankegangen beskriver ennå mer enn hva Keplers lover klarer. Merkur, som vi nevnte i sted, befinner seg et sted der den rødstiplede grafen og den blå, heltrukne grafen skiller lag. Det var lenge forundring rundt Merkurs bane rundt Solen, men den kunne forklares med generell relativitet. Dette var også et resultat som underbygde teoriens troverdighet.


For lys kan man finne at potensialet som funksjon av posisjonen (avstanden fra sentrum det sorte hullet) er gitt ved

\(V(r) = \frac{1}{r}\sqrt{1-\frac{2M}{r}}\).

Denne grafen er ikke så lett å se for seg, så vi bare plotter den med det samme.

Den gule grafen er det effektive potensialet for en lyspartikkel.

Sett nå en tenkt kloss på toppunktet. Dette representerer en lyspartikkel. Klossen vil jo enten falle ned til en av sidene, eller bli på stedet, men med en spesiell sårbarhet for små vindkast eller andre krefter. Dette betyr at lys kan få en bane rundt et sort hull, men banen vil være svært ustabil! Små forandringer kan gjøre at lyset fyker avsted igjen, men kan faktisk også gjøre at lyset slukes av det sorte hullet. På venstre side av den radien som gir bane \(r_{crit} = 3M\), og skulle noe gi fotonet et lite dytt i negativ r-retning, er det stakkars fotonet fortapt. Et dytt i positiv r-retning (vekk fra hullet), er nok til at fotonet forsvinner vekk fra det sorte hullet.

Så sorte hull kan både fange og sluke lys, men kan også påvirke banen dets i form av avbøyning. 

Neste innlegg >>

Publisert 17. des. 2020 22:23 - Sist endret 17. des. 2020 22:28