Kosmisk bordtennis

Hvordan spiller man bordtennis uten bord?

<< Forrige side

Se for deg å spille bordtennis i kjelleren hos mamma og pappa med en lommelykt som racket. Hvordan skal du være rask nok til å plukke opp lyset fra lykten til storebroren din sin serv? Det blir vanskelig.
Hva om deres foreldres hus reiser av gårde med en hastighet sammenliknbar med lysets? Da må jo dere få litt bedre tid til å rekke å reagere. Men hvilken side av bordet bør du stå på?
Vi skal forsøke å gi deg en fordel i den årlige bordtennisturneringen mellom søskenbarn og tanter og onkler hver andre juledag (dette antar jeg alle har?). 


Vi skal løse dette problemet vha. vår venn Alberts (ikke Aaberg, men han andre) andre postulat i den spesielle relativitetsteorien,

Lyset beveger seg med samme fart c* i alle referansesystemer.

to referansesystemer,

merket system (x', t'): Referansesystemet sett fra FalconL (kommer i casen), hvilesystemet.

umerket system (x, t): Referansesystemet sett fra Dødsstjernen (kommer i casen), labsystemet. 

og en case:

To romskip, FalconL og FalconR, med lik hastighet v = 0.65 beveger seg mot venstre i referansesystemet til romstasjonen Dødsstjernen. Skipene er utstyrt med hvert sitt speil sa. en laser (lysglimt) sendt fra FalconL treffer FalconR og blir reflektert tilbake til FalconL der den på ny skifter retning og treffer FalconR. Vi har fire eventer (hendelser, punkt i tid og rom):

Event A: FalconL sender ut et laserskudd ved  \(t = t' = x = x' = 0\), origoeventet.

Event B: FalconRs speils reflekterer laserskuddet første gang.

Event C: En tilfeldig eksplosjon skjer på Dødsstjernen samtidig som event B i det merkede systemet.

Event D: Laserskuddet når FalconL igjen.

Ved \(t_A = t_A' = 0\), tiden ved event A i begge systemer, er situasjonen som skissert nedenfor i de to referansesystemene.

Referansesystemene vi nå skal se på situasjonen fra. 

Så la oss bare hive oss over det.


Vi skal resonnere før vi skal kalkulere, så la oss nå legge et par prinsipper til grunn. Vi vet at tiden går saktere for det ene systemet enn for det andre (fant ut i forrige post). Målet er å til slutt kunne finne tallverdier som beskriver disse forskjellene, for hvor store avvik er det snakk om?

I hvilesystemet, det merkede systemet, systemet der romskipene står stille og FalconL er i origo, hva kan vi si om tidsintervallene \(\Delta t_{AB}'\) og \(\Delta t_{BD}'\)? Altså hvor lang tid tar det mellom event A, første skudd, og event B, første refleksjon, kontra tiden mellom event B og event D, andre refleksjon? Betrakt figuren nedenfor. Lysfarten er konstant og det er derfor ingen grunn til at lyset skal bruke lenger tid den ene eller den andre veien her. Holder man skipene i ro (som innebærer at avstanden mellom dem L' konstant), må jo lyset bare fyke fram og tilbake mellom skipenes speil. Vi sier derfor at \(\Delta t_{AB}' = \Delta t_{BD}'\). Siden event C per definisjon skjer samtidig med B i det merkede systemet, dvs. \(t_B' = t_C'\), kan jo også konkludere  \(\Delta t_{AB}' = \Delta t_{AC}' = \Delta t_{BD}' = \Delta t_{CD}' \).

Det merkede systemet / hvilesystemet / Falconenes referansesystem. Figuren viser de tre tidspunktene i hvilke eventene som har med laserskuddet å gjøre skjer. Event C skjer samtidig med B i dette referansesystemet. 

Klarer vi nå å se for oss situasjonen i det umerkede systemet? Er  \(\Delta t_{AB} \) og \(\Delta t_{BD}\) også like store? Her er det mange veier til Rom, og alle bør gi samme resultat. Det er mulig å både argumentere utifra sunn fornuft og grunnleggende forståelse av spesiell relativitetsteori (disse kan være litt kinkig å forene...), rent matematisk vha. Lorentzgeometri og bevaring av tideromsavstanden \(\Delta s\), men også ved tegning faktisk. Alle tre metodene skal gi at lyset bruker lenger tid på returen enn på turen. Vi har laget en liten figur for eventene i det umerkede systemet, labsystemet, der Dødsstjernen forblir i origo og systemet følger deretter.

Det umerkede systemet / labsystemet / Dødsstjernens referansesystem. Figuren viser de tre tidspunktene i hvilke eventene som har med laserskuddet å gjøre skjer. Event C skal vi forsøke å finne ut av om skjer før eller etter B.

Event C skal vi ta for oss om litt, aller først ser vi på B og D. Origoeventet A er det samme for de to systemene. Laserskuddet utløses og vi følger det. Men sel om lyset går fort, går FalconR også ganske fort i motsatt retning (negativ x-retning) og vil dermed ha kommet et lite stykke til venstre før lyset treffer frontspeilet. Mao. reiser ikke lyset en hel avstand før det snur. Når det først snur på den annen side, vil lyset behøve å forflytte seg i mer enn en lengde L langs x-aksen da FalconL, dets neste hinder, beveger seg i samme retning (neg. x-retning) som lyset. Speilet lyset må treffe for å kunne snu, drar stadig lenger fra det, og lyset bruker dermed lenger tid på denne strekningen (konstant hastighet: strekning = fart x tid). Altså er \(\Delta t_{AB} < \Delta t_{BD}\). Jo høyere fart skipene har, desto større vil denne ulikheten være. Det kan man se om man justerer litt på illustrasjonen ovenfor. Flytt FalconR litt lenger til venstre ved \(t_B\), det svarer til høyere fart ifht. Dødsstjernen, da har jo lyset en enda kortere strekning å bevege seg på! Og på veien tilbake er FalconL enda ivrigere på vei mot venstre og vil ha kommet seg lenger før lyset treffer frontruta.

Men stopp en hal; hvorfor skjer ikke dette i vanlig ping-pong?

Jo, nei kanskje det gjør det? Lar vi nå laserglimtet heller være en bordtennisball som spretter frem og tilbake med 80 km/h ifht. skipene, og skipene bevege seg med 50 km/h ifht. Dødsstjernen, kan vi lage samme resonnement. Så en storm trooper på Dødsstjernen vil da observere at det tar kortere tid for ballen å gå fra FalconL til FalconR enn hva det tar fra FalconR til FalconL. Mens Han Solo (sitter på FalconL) observerer ingen slik ulikhet.

Hvis du har spilt noe fotball, har du helt sikkert hver borti det å løpe fram og tilbake på banen med en ball og en medspiller på trening hvor dere sender pasninger imens dere løper. Da vil dere altså oppleve at tiden ballen bruker fra deg til medspilleren er den samme som den tiden ballen bruker fra føttene hens til dine. Treneren på sidelinjen vil ikke se dette; hen vil se at ballen bruker lengst tid mot den som rygger / løper i samme retning som ballen. Så må vi da endre reglene for fotballkamper? Kan vi ikke lenger stole på at de 90 minuttene er 90 minutter for alle?

... Eller kan det være noe feil i argumentasjonen her? 

Det er selvsagt ingen grunn til å løpe til NFF ennå, med mindre du har tenkt til å spille fotball med laser og kan løpe i mer enn 10% av lysets hastighet. Det har jeg foreløpig ikke hørt noen som kan. Resonnementet holder ikke i idretten - en balls hastighet er ikke konstant i alle referansesystemer! Det er lysets og bare lysets som er den samme hastigheten i to referansesystemer som beveger seg i forhold til hverandre. 

Okei, så nå har vi etablert at dette ikke hadde noen konsekvenser for de vanlige bordtennisturneringene i kjelleren hos mor og far på andre juledag eller fotballkampene du hadde håpet skulle kunne få vare litt kortere sett fra sidelinja (men kanskje få mer spilletid likevel?). Men hva om vi nå skulle fått oss et romskip i familien? Jeg vet at pappa iallfall har det på ønskelisten i år. Ville det da vært nødvendig med dommere både med kompetanse innen bordtennis og innen spesiell relativitet, for å ha fair play? Altså for det første er det vanskelig å oppnå så høye hastigheter at vi kan registrere tidsforskjeller, men skulle vi gjort det på andre juledag, må nok noen andre enn Svein Oddvar Moen ha stilt som dommer. Det ville også vært vanskelig å gjennomføre en sport med rekvisitter andre enn laserskudd, da vi er avhengig av noe som kan ta igjen noe annet med svært høy hastighet for å i det hele tatt kunne ha det gøy. Så la oss prøve å la dette ligge i drømmene og gå tilbake til Dødsstjernens system og ta for oss event C.


Event C er samtidig med event B i det merkede systemet og skjer dermed før Dødsstjernen har passert FalconR da den beveger seg saktere enn lyset. Albert kan fortelle at to eventer som er samtidig i ett referansesystem, ikke vil være samtidig i et annet referansesystem, hvis og bare hvis disse systemene beveger seg i forhold til hverandre. Mao. er B og C ikke samtidige i det umerkede systemet. Event C er eksplosjon på Dødsstjernen og vil sende ut lys. Setter vi en nå tenkt observatør M midt imellom Dødsstjernen og FalconR i det merkede systemet idet B og C inntreffer, har vi konstruert en situasjon som finner om en vi har hatt før. Et stillbilde av situasjonen er illustrert i figuren nedenfor. Observatør M følger altså det merkede systemet.

Det merkede systemet der B og C er samtidige hendelser.

Hvis vi følger det merkede systemet, må nødvendigvis, for at B og C skal være samtidige, lysglimtet fra eksplosjonen og laserskuddet krysse M ved samme tidspunkt tM'. Fra det vi fant i forrige innlegg, kan vi konkludere at B må skje før C i det umerkede systemet ettersom veien fra FalconR til M blir lengre. Det kan være lettere å forstå hvis en klarer å skille lysglimtene fra kildene, dvs. ser på selve glimtet etter det blir reflektert som helt uavhengig av romskipet. Lettere drodlet enn sagt:

Det umerkede systemet der \(t_B < t_C < t_M\).

Lyset må reflekteres før eksplosjonen skjer i det umerkede systemet for at eventene skal være samtidige i det merkede systemet. 

En annen måte å se det på (har jeg hørt), er å plassere observatøren midt mellom begge romskipene istedenfor. Denne fant jeg ikke helt ut av, så denne kan du få prøve deg på selv.


Eventene skjer altså i rekkefølgen A - B - C - D i det umerkede systemet og dette kan også vises matematisk. Kort fortalt kan dette gjøres med følgende metode.

  1. Sette opp tidspunkt og posisjoner for alle eventene i det merkede systemet (og husker at lysfarten er konstant lik 1) og sørge for at alt er gitt i naturlige enheter. Vi bruker tidsenheter denne ganger, millisekunder, da det viser seg hensiktsmessig. Hvis vi har  \(t_A' , x_C', t_D'\) (siste bare nødvendig for å forsikre oss om at \(\Delta t'_{AB}= \Delta t'_{BD} \) stemmer), kan vi blant annet finne at \(L' = \Delta t'_{AB}= \Delta t'_{BD} = 4/3 \text{ ms}\)
  2. Gjøre tilsvarende for det umerkede systemet, der vi vil ha flere ukjente; \(x_B, t_B, t_C, t_D\)
  3. Bruker essensielt at tideromsavstanden er en invariant størrelse, ie. \(\Delta s ^2 = (\Delta s')^2\), samt Lorentzgeometri \(\Delta s ^2= \Delta t ^2 - \Delta x^2\). Finner at \(x_B = t_B\) og tallverdier for de ukjente størrelsene i det umerkede systemet:
    \(\Delta t_{AB} \approx 0.614  \text{ ms}, \Delta t_{BD} \approx 2.90  \text{ ms}\quad \Rightarrow \quad \text{antakelsen } \, \Delta t_{AB} < \Delta t_{BD} \, \text{ stemmer}\)
    \(t_B = \Delta t_{AB} = 0.614 \text{ ms},\, t_C = 1.013 \text{ ms} \quad \Rightarrow \quad t_C > t_B \quad \Rightarrow \quad \text{stemmer at B skjer før C}\)

Nå som vi har gjort det Einstein gjorde, må vi jo kunne omsider få kalle oss selv fysikere. Hang du med på dette, synes jeg du også bør kunne kalle deg dette - spesielt hvis du er interessert i matten bak det :-) Den gies bare til de som er ivrige nok til å ta kontakt på eget initiativ.

Det vi har gjort nå er essensielt det fysikk er. Vi lager en forenklet modell av en situasjon og lager oss ulike referansesystemer. Så resonnerer vi oss fram til hva ulike egenskaper ved situasjonen vil være. Deretter backer vi de fysiske resonnementene med matematikk. Det er veldig tøft når fysikken stemmer med matematikken!


Og til deg som får romskip til jul og ønsker å spille bordtennis med lommelykt: Husk å plassere deg slik at du beveger deg i samme retning som det romskipet gjør ifht. jordkloden! Da får du mer betenkningstid i følge en observatør på jordkloden. Men du vil i grunn ikke merke noe selv, om du ikke mot formodning skulle kunne være to steder på én gang.


Neste innlegg >>

c betegner lysfarten i SI-enheter blant annet, men i naturlige enheter lar vi c = 1, og bruker den derfor aldri i utregninger.

Publisert 15. des. 2020 15:35 - Sist endret 15. des. 2020 15:41