Mer planlegging...

Vi trer nå inn i siste fase av planleggingen. Vi må forsikre oss om at landingen er trygg!

<< Forrige innlegg

Ruth og Jessica er per nå 4117 km unna Utopias sentrum som svarer til omtrent 764 km unna drømmeverdenen. Alt lover godt for dem; klimaet skal være varmt og godt, det er mange bademuligheter og er ikke planeten ufattelig vakker?

Liten smakebit av paradis.

 

Luftettheten vet vi er høyere enn hva som er behagelig når vi nå skal gjøre en kraftanalyse. En gammel kjenning takker for seg,

Vi ser bortifra luftmotstanden.

for vi har ikke neglisjerbar luftmotstand! Hvorfor ikke? Har det bare med lufttettheten å gjøre? 

... og hva var luftmotstand igjen?

Nok engang fraskriver vi oss ansvaret for symbolforklaring i teksten med noen definisjoner.

Symboler og størrelser

  • \(G\): gravitasjonskonstanten
  • \(M_U = 8.64 \cdot 10^{23} \text{ kg}\): massen til Utopia
  • \( R_U = 3353 \text{ km}\): radien til Utopia
  • \(\rho \, (\rho_0= 9.22 \text{ kg/m}^3)\): lufttetthet i atmosfæren  (lufttetthet på overflaten av Utopia)
  • \(\omega_0 = \frac{2\pi}{\text{periode}}, \, \text{periode} = 1.39 \text{ d}\): vinkelfarten hvis Utopia roterer om z-aksen (sin egen akse) med
  • \(A\): tverrsnittareal av et objekt
  • \(\vec{w}\): hastigheten atmosfæren har i forhold til Utopias sentrum, \(w= |\vec{w}|\) farten
  • \(\vec{v}\): hastigheten Vaksinen har i forhold til Utopias sentrum, \(v= |\vec{v}|\) farten
  • \(\vec{v}_\text{d}\): hastigheten Vaksinen har i forhold til luften som omgir det, \(v_\text{d} = |\vec{v}_\text{d}|\) farten
  • \(\vec{F}_\text{g}\): tyngdekraften på Vaksinen fra Utopia, \(F_\text{g} = |\vec{F}_\text{g}|\) størrelsen
  • \(\vec{F}_\text{d}\): luftmotstanden på Vaksinen fra atmosfæren, \(F_\text{d} = |\vec{F}_\text{d}|\) størrelsen

Sfærisk koordinatsystem

  • \(\varphi\): azimut (tangentiell) vinkel, ie. vinkel i xy-planet, \(\hat{\varphi}\): dens enhetsvektor 
  • \(\theta\): inklinasjonsvinkel, ie. vinkel med z-aksen,  \(\hat{\theta}\): dens enhetsvektor 
  • \(\theta_0 = \pi/2\): konstant inklinasjonsvinkel når vi er i xy-planet
  • \(r\): avstand fra origo (Utopias indre),  \(\hat{r}\): dens enhetsvektor 
  • \(\vec{r}_s = (r, \theta, \varphi)\): posisjonsvektor i sfæriske koordinater
  • \(\vec{r}_c = (x, y, z) \): posisjonsvektor i kartesiske koordinater

Luftmotstanden er en friksjonskraft som, som alle friksjonskrefter, alltid virker mot bevegelsesretningen (derav "motstand") og oppstår som følge av friksjon mellom partiklene i en gass (gjerne luft) og et objekt i bevegelse. Det det betyr er at denne kraften aldri (fy-ord i naturvitenskapen, men la gå) vil bidra til økt fart. Effekten av en luftmotstanden vil være bremsende, eventuelt neglisjerende. Luftmotstand oppstår alltid der det ikke er vakuum (ingen gasspartikler) og et objekt med utstrekning beveger seg gjennom dette mediet. Utslaget er ikke alltid så stort - for eksempel har luftmotstanden lite å si for en murstein som slippes fra et tak, hvor tyngdekraften er mye større enn luftmotstanden. Kraften er ikke alltid helt triviell i den forstand at den er avhengig av en del faktorer som tettheten av partikler i luftgassen, arealet som trer gjennom luften og ikke minst hastigheten et objekt har. Men hastigheten vil jo påvirkes av kreftene som virker på den igjen, så her lukter det av numeriske metoder*. Vi skal bruke følgende empiriske modell for luftmotstanden i atmosfæren til Utopia:

\(F_d=\frac{1}{2} C_D\rho Av_\text{d}^2\)

Men vi lar drakoeffisienten \(C_D = 1\), så denne forsvinner. På vektorform blir det:

\(\vec{F_d} = -F_d \frac{\vec{v}_\text{d}}{v_\text{d}} = -\frac{1}{2} \rho A v_\text{d} \vec{v}_\text{d}\)

siden den virker mot bevegelsesretningen. Vi må ta hensyn til at atmosfæren beveger seg, og antar at denne bare flytter seg rundt z-aksen i Utopiasystemet med egenrotasjonen til planeten. Farten til luften i en avstand r fra sentrum er da i sfæriske koordinater

\(\vec{w}(r) = \omega _0 r \hat{\varphi}\)

i forhold til Utopias sentrum (= origo), ettersom planeten roterer mot klokka om z-aksen, som per definisjon er den positive omløpsretningen. Og det er hastigheten i forhold til denne som vil spille rollen som \(\vec{v}_\text{d}\). Siden vi alltids kan be Ruth og Jessica om deres posisjon og hastighet i forhold til Utopias sentrum, kan vi nå finne den sistnevnte ved en enkel koordinattransformasjon:

\(\vec{v}_{\text{d}} = \vec{v}- \vec{w}\)

Hvilken betydning dette har, avhenger spesielt av rakettbanens retning; en bevegelse mot egenrotasjonen til Utopia vil gi større \(v_{\text{d}} \) og vice versa. Antar vi først en sirkelbane, kan vi vise dette ganske lett,

\(\vec{v} = +v_\varphi \hat{\varphi} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{v}_\text{d} = (v_\varphi - \omega_0r)\hat{\varphi} \quad \Rightarrow \quad v_\text{d} = v_\varphi - \omega_0r\)

\(\vec{v} = -v_\varphi \hat{\varphi} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{v}_\text{d} = -(v_\varphi +\omega_0r)\hat{\varphi} \quad \Rightarrow \quad v_\text{d} = v_\varphi + \omega_0r\)

men nå var det jo ikke dette vi skulle gjøre. Forøvrig beveger Vaksinen seg i samme omløpsretning, mot klokka, som atmosfæren og planeten, som alt i alt gir mindre luftmotstand (se formel!) enn det motsatte tilfellet ville gitt. Så nå vet vi litt om hva som skal til for å maksimere eller minimere friksjonen fra atmosfæren!

Hvorfor er dette interessant, da? Jo for som vi har nevnt, så har vi tilgang på en motor i landingsenheten som også virker mot bevegelsesretningen, altså bremsende. Vi vet at landingsenheten ikke tåler større radielle hastigheter enn 3 m/s. Hvordan kan vi sørge for at dette taket er sikret? Vi innfører et konsept som kalles terminalhastighet.


Terminalhastighet for deg som er spesielt nysgjerrig

Vi antar at et objekt - Vaksinen - er påvirket at to krefter \(\vec{F}_g\) og \(\vec{F}_d\) og befinner seg i xy-planet  (inklinasjonsvinkel \(\theta\) konstant lik \(\theta_0 = \frac{\pi}{2}\)) og har en hastighet \(\vec{v}\) i samme referansesystem - Utopia sitt. Vaksinen befinner seg i den roterende atmosfæren, som har fortsatt en hastighet \(\vec{w} (r) = \omega_0 r \hat {\varphi}\) i avstanden Vaksinen har fra origo, og har en hastighet \(\vec{v}_\text{d} = v_{\text{d}r}\hat{r} +v_{\text{d}\varphi }\hat{\varphi}\) i forhold til denne, der 

\(\vec{v}_\text{d} = \vec{v} -\vec{w}\)

\(\vec{v}_\text{d} = v_{\text{d}r}\hat{r} +v_{\text{d}\varphi }\hat{\varphi} = v_{r}\hat{r} +(v_{\varphi} -\omega_0 r)\hat{\varphi}\)

\(v_{\text{d}r} = v_r , \quad v_{\text{d}\varphi} = v_\varphi - \omega_0 r\)

Vi vet at gravitasjonskraften bare virker i radiell retning og kan derfor ikke påvirke \(v_\varphi\), ei heller \(v_{\text{d}\varphi}\). Den eneste kraften som påvirker farten i tangentiell retning er altså luftmotstanden. Siden luftmotstanden til enhver tid virker mot bevegelsen og dermed ha en bremsende effekt så lenge farten er større enn 0, vil farten \(v_{\text{d}\varphi}\) omsider bli 0 og det vil ikke virke noen kraft i tangentiell retning. Farten \(v_\varphi\) vil da bli \(\omega_0 r\); raketten og atmosfæren har samme tangentialfart i forhold til Utopias sentrum. 

Oppnår vi nå dette, \(v_\varphi = \omega_0 r\) , virker det altså bare krefter i radiell retning (inn mot eller ut fra sentrum av planeten).

Men stopp en hal, hvordan forholder vi oss nå til denne varierende r-størrelsen? For å forenkle situasjonen litt, antar vi nå at \(r \approx R_U\) da tykkelsen av atmosfæren en mye mindre enn (litt under to prosent av) radien til planeten. 

Vi har nå at \(v_{\text{d}r} = v_r \) og  \(v_\varphi = \omega_0 R_U\). Vi antar at vi har kommet oss nærme nok planeten til å si at lufttettheten \(\rho \approx \rho_0\). Av antakelsene følger at gravitasjonskraften \(\vec{F_g} = -G \frac{mM_U}{r^2} \hat{r} \approx -G \frac{mM_U}{R_U^2} \hat{r}\) har en konstant størrelse i radiell retning, og at \(\vec{F}_d = -1/2 \rho_0 A v_r^2 (-\hat{r})\) øker med radialhastigheten om arealet til raketten ikke endrer seg. Vi merker oss at \(v_r\) vil ha negativt fortegn vi beveger oss inn mot origo; dette løser vi ved å endre retningen på enhetsvektoren. Så lenge gravitasjonen er større en luftmotstanden, vil Vaksinen ha en akselerasjon i negativ r-retning, ergo øker \(v_r\). Idet luftmotstanden er blitt like stor som gravitasjonskraften, vil (Newtons 1. lov) Vaksinen ha konstant hastighet, som igjen vil gi konstant luftmotstand. Fra dette tidspunktet vil det ikke skje noe med kreftene på Vaksinen, og vi kaller den oppnådde hastigheten terminalhastigheten. Vi kan regne den ut på følgende vis.


Siden vi nå har et uttrykk for terminalhastigheten, kan vi jo manipulere situasjonen slik at vi faktisk oppnår den ønskede hastigheten før vi når bakken (forhåpentligvis). Det eneste vi har en viss kontroll over, er jo massen m og arealet A. Vi har jo en fallskjerm med den superkule egenskapen at vi kan velge arealet på den! Men slipper vi ut den, har vi en annen masse enn rakettens. For vi slipper nemlig denne ut fra landingsenheten. Landingsenheten har også en sprø egenskap som er at de som sitter på den, ikke lenger veier noe. Så vi har bare vekten av landingsenheten som er 90 kg. Lar vi \(v_r = 3 \text{ m/s}\) og setter inn for relevante størrelser, får vi følgende:

\(A = \frac{2mGM_U}{\rho_0 v_r^2R_U^2} \approx 11.2 \text{ m}^2\)

Altså kan vi sørge for at en fallskjerm med areal 11.1 kvadratmeter er klar til å benyttes slik at vi kan oppnå ønsket hastighet ved landing. 

Vi merker oss at det ikke er noe vits i å slippe ut noen fallskjerm før damene entrer atmosfæren. Det andre verdt å merke seg, er at massen raketten har når bare tyngden virker på den, er irrelevant siden (Newtons andre lov) akselerasjonen er \(a = \frac{F_g}{m} = G\frac{M_U}{r^2}\). Dette betyr at vi fra vi starter landingen trygt kan sende ut landingsenheten fra hvilken vi på et tidspunkt skal utløse en fallskjerm. Det var én færre ting å tenke på. Fra nå av bruker vi Vaksinen generelt om det som beveger seg i landingen; enten da romskipet eller landingsenheten.


Plan B

Om fallskjermen mot formodning ikke skulle klare å gi oss den luftmotstanden vi trenger, kan vi konstruere en falsk luftmotstand. Vi har utstyrt landingsenheten med en liten motor som kan gi en ekstra kraft mot bevegelsen (med luftmotstanden) slik at vi tidligere kan oppnå konstant hastighet. Dette kan bli nyttig hvis vi ser at vi får en hastighet på 3 m/s allerede før terminalhastigheten er oppnådd (som forhåpentligvis ikke skjer når vi bruker fallskjermen) og følgende matematikk vil redde oss:

Vi kan ved det tidspunktet plugge inn det vi vet er terminalhastigheten (altså i et annet tilfellet enn med en fallskjerm med areal 33 kvadratmeter) og de andre relevante størrelsene, og få en konstant kraftstørrelse vi ber motoren utføre mot bevegelsen. Vi har solcellepanel som driver denne motoren, det har vi snakket litt om tidligere (LINK!!!!).


Så tenker jeg at det passer seg med en pause her. Nå har det vært mye tenkning og lite handling, men teorien er veldig viktig for at vi kan forsvare det vi nå skal gjøre. Som alltid skal vi forsøke og mislykkes med en egen simulering først som forhåpentligvis kan sørge for en trygg fjernmanøvrering av Vaksinen og dens landingsenhet. Fortsettelse følger i neste innlegg!

Neste innlegg >>


*Ofte mulig å løse et problem med luftmotstand analytisk, men det kan bli veldig komplisert om ikke forholdene er helt ideelle (vakuum...).

Publisert 17. nov. 2020 21:57 - Sist endret 18. nov. 2020 11:05