Prinsippet om maksimal aldring

Du er ifølge den spesielle relativitetsteorien dømt til å eldes så mye som mulig, så fort som mulig, så lenge du er i fritt fall.  Dette kan brukes til å vise at energi per masse er invariant, men hva nå med spinn per masse?

<< Forrige innlegg

Vi husker først at tidromsavstanden er avstand i tid kvadrert minus avstand i de romlige dimensjonene.
Vi har som utgangspunkt at tidromsavstanden er bevart og at denne er lik egentiden. Dette er enkelt og greit fordi egentiden - tiden i hvilesystemet - kan tolkes som tiden målt på en klokke fastlåst på objektet som flytter seg og kan derfor også kalles armbåndsurtid. En observatør med dette armbåndsuret rundt håndleddet må derfor nødvendigvis til enhver tid være i origo i hvilesystemet og har derfor ingen endring i romlige dimensjoner. Tidromsavstanden er derfor bare bestemt av egentiden for dette systemet. Som følge av bevaring av denne, er også tidromsavstanden mellom de aktuelle eventene (må naturligvis være snakk om de samme to eventene i begge systemer) lik egentiden, tiden i hvilesystemet.

Hva betyr dette? Jo, som vi vet så er avstand i tid det eneste positive bidraget til avstanden i tidrommet. Avstand i rom trekkes fra avstand i tid, ergo bidrar det negativt. I ethvert annet system enn hvilesystemet, vil objektet som beveger seg, hvis hvilesystemet er bestemt av, bidra med endring i avstand - negativt til tidromsavstanden. Med andre ord, må må en observatør i et labsystem måle en lengre avstand i tid mellom to eventer enn hva observatøren i hvilesystemet gjør, rett og slett for å gjøre opp for det "tapte" tidrommet forandringen i romlig posisjon gjør. En større avstand i tid, betyr faktisk at tiden går fortere. Det kan være litt klønete å se for seg av og til, men det kan hjelpe å tenke på avstand i tid som antall tikk på en klokke. Flere tikk mellom to eventer betyr at tiden går fortere. Det kan også lønne seg å alltid tenke på egentiden som tiden mellom to tikk, og se at den lokale klokken alltid vil ha registrert det andre tikket før armbåndsuret.

Prinsippet om makismal aldring sier at

egentiden svarer til den maksimale endringen i tidromsavstand

og gjelder for objekter i fri flyt (= fritt fallende objekt, ingen krefter som virker på objektet (eller??)). Denne igjen svarer til en rett verdenslinje i Lorentzgeometri. Vi pleier å forstå en rett linje i rommet som den korteste veien å gå fra ett punkt til annet, men dette gjelder for euklidsk geometri og ikke Lorentzgeometri. Dette er faktisk bare en generalisering av Newtons første lov; en rett verdenslinje betyr konstant hastighet som igjen (per Newtons første lov) betyr fritt fall!

Men hva gjelder for Schwarzchildgeometri? Den tilsvarende linjen er faktisk ikke rett her, men andre interessante resultater følger av maksimal aldring i Schwarzchildrom.

Det kan vises at et fritt fallende objekt rundt et svart hull alltid vil akselerere inn mot sentrum. Hvis det er på vei fra hullet, vil hastigheten minke. Styrer det mot hullet, vil hastigheten øke. Dette høres ut som gravitasjonskraft. 

Men det finnes ingen gravitasjonskraft!

Ifølge relativitetsteorien, vel å merke. Rettere sagt anser man ikke gravitasjonskraften som en kraft som bidrar til akselerasjon av et legeme. Derfor er objektet fortsatt i fritt fall - det virker ingen krefter på det. Årsaken til bevegelsen ligger i krumningen av tid og rom, som igjen er forårsaket av det massive hullet. Dette betyr at vi i generell relativitetsteori ikke behøver å se på tiltrekningskreftene fra en masse, prinsippet om maksimal aldring "dekker" gravitasjonsakselerasjonen på et legeme. 


I korte trekk

Om geometrier

Lorentzgeometri brukte vi mye i spesiell relativitetsteori. Denne kan man bruke for inertialsystemer, ev. kortvarige inertialsystemer; lokale inertialsystemer.

Schwarzchildgeometri er en kulegeometri som man i generell relativitetsteori mener beskriver tidrommet rundt omkring sorte hull best.

Tidromsavstanden er bevart i begge geometrier, uansett.

Om observatører

I generell relativitetsteori, bruker vi ofte tre typer observatører, og vi snakker stort sett om et gravitasjonsfelt som kan beskrives som et sort hull. 

Langt-vekk-observatøren står langt nok unna til å ikke bli påvirket krefter fra hullet vi ser på. Bruker Schwarzchildgeometri, som er en kulegeometri. Han bruker sjokkerende nok Schwarzchildkoordinater \((r, \varphi, t)\).

Skall-observatøren sitter på et tenkt kuleskall i en radius r som er målt av langt-vekk-observatøren. Skall-observarøren bruker, tro det eller ei, skall-koordinater \((r_{Sh}, \varphi_{Sh}, t_{Sh})\).

Den fritt fallende observatøren har alltid med seg armbåndsuret som viser egentiden mellom eventer, dvs. han i praksis alltid er objektet vi ser på og setter opp et lokalt inertialsystem som er å betraktes som hvilesystemet. Her kan han altså bruke Lorentzgeometri. Noen ganger er den fritt fallende observatøren også skall-observatøren, hvis vi lar skall-observatøren i et kort tidsrom være et lokalt inertialsystem.


I dette innlegget skal vi se på bevegelse i Schwarzchildgeometri. Det kan vises at energi per masse er bevart også i slike bevegelser ved å se på en en radiell bevegelse, men hva kan vi si om spinnet? Spinnet, eller angulærmomentet, er å anses som en bevart størrelse i mekanikken. Implisitt i ordet angulærmoment foreligger det en vinkelendring, en rotasjon. Spinnet sier nemlig noe om rotasjonen til et legeme. Bevaring av spinn er blant annet det som gir deg muligheten til å sykle uten henda på rattet!

På generell relativitets-nivå, må vi finne en ny definisjon av spinn, og vi er ofte interessert i spinn per masseenhet, \(L/m\), og denne bør gjelde generelt for objekter i universet, men spesielt for "vanlige" tilfeller, inkludert steiling på sykkel. Vi skal utlede at relativistisk angulærmoment også er bevart ved å se på en rotasjonell, men også radiell, bevegelse. 

Skjematisk beskrivelse av bevegelsen til objektet (gul flekk) med oransje bane.

Vi skal se på bevegelsen til et objekt som passerer tre sjekkpunkter 1, 2, 3 i hvilke vi har deres koordinater radielt og tangentielt i planet der det sorte hullets sentrum definerer origo, med unntak av den tangentielle posisjonen i punkt 2 - denne holder vi som en fri variabel. Objektet passerer ved tre kjente tidspunkter for en observatør et godt stykke unna situasjonen. Vi antar at det flytter seg lite i radiell retning mellom hvert sjekkpunkt, så vi lar radien i banen (oransje ovenfor) være konstant mellom punktene 1 og 2 og også mellom 2 og 3. 

Man kan finne et langt og stygt uttrykk for egentiden, tiden en klokke fastlåst på objektet måler, fra 1 til 3, men vi må huske at vi skal innom 2. Hvis vi bruker bevaring av tideromsavstand på et Schwarzchild linjeelement fra 1 til 2 og 2 til 3, har vi to svære røtter med variable av sorten \(\Delta\) ("endring"), samt de konstante radiene og massen til det sorte hullet.

Om denne egentiden, så vet vi spesielt én ting: den er så lang som mulig. Det følger av maksimal aldringsprinsippet. Vi kan se på egentiden som en funksjon av den ukjente vinkelen \(\varphi_2\), og vi trenger den vinkelen som gir maksimal egentid. Som du kanskje husker, er den deriverte av en funksjon lik null der samme funksjon har et ekstremalpunkt. 

Holder vi tunga rett i munn og deriverer den totale egentiden med hensyn på denne vinkelen, setter den deriverte lik 0 og forenkler, får vi et interessant resultat. Et resultat som sier at et spesielt forhold mellom radien i banen, egentiden og vinkelendringen i ett punkt, er konservert, det er det samme som tilsvarende forhold på neste strekning. En konsekvens av dette er for eksempel at økning i radius vil gi lavere vinkelhastighet, som jo stemmer med det klassiske eksempelet på spinnbevaring: Hvis du snurrer rundt på en kontorstol med armene horisontalt til hver side, for så å trekke dem innover, vil du merke at du snurrer flere ganger i sekundet. Vinkelfarten økte som følge av at radien minket.

Dette forholdet som vi snakker om, kan dekrypteres til å bestå av følgende faktorer, dersom vi nå ser på bevegelsen fra et punkt til et annet i dette tyngdefeltet.

  • Radien i banen: Gjennomsnittlig avstand fra hullets indre til objektet, målt av en observatør langt vekk.
  • Tangentialfarten til objektet: Farten i tangentiell retning; hvor mye objektet flytter seg rundt (ikke mot), målt av en skall-observatør.
  • Lorentzfaktoren: Lorentzfaktoren som bestemmes av farten ovenfor.

Det interessante her, er at uttrykket vi får gir for små hastigheter, hastigheter mye mindre enn lysets, det som per definisjon er klassisk spinn per masse. Spinn i celestemekanikken er jo konservert, så det gir mening å bruke uttrykket i en definisjon av relativistisk spinn per masse. 

Dermed har vi med ord utledet formelen for konservering av relativistisk spinn per masse!


Sluttnote: Dersom du ønsker å være ung litt lengre, lønner det seg med fysisk aktivitet. Ikke med årsak i helse, men rett og slett fordi akselerasjon sakker din biologiske klokke (av maksimal aldringsprinsipp). Hvis du stort sett beveger deg med konstant hastighet, vil egentiden (og dermed aldringen) maksimeres. Om det ikke er helt virkeligheten, er det iallfall min huskeregel for maksimal aldringsprinsipp!

Neste innlegg >>

Publisert 17. des. 2020 13:44 - Sist endret 18. des. 2020 14:07