Romskip på kollisjonskurs

Litt mer om bevaring av momenergi. Hva gjelder for masseløse partikler?

<< Forrige innlegg

Fotoner, eller lyspartikler, er masseløse og er å betraktes både som kvantitative partikler og kontinuerlige bølger. Rettere sagt har fotoner både partikkelliknende egenskaper og bølgeegenskaper. Vi må derfor bruke en litt annen sammenheng enn for for eksempel protoner når vi skal finne energien til en lyspartikkel. Tidligere har vi latt energien til en partikkel være \(E = m\gamma\), men m = 0 for fotoner, så dette faller jo sammen. Fotoner må jo ha energi, ellers hvordan kunne vi brukt solenergi for eksempel? Vi trenger en annen sammenheng.

Vi lar \(E_f\) være energien til et foton, \(\lambda_f\) dets bølgelengde og \(h\) Plancks konstant, alt i relativistiske enheter. Da gjelder

\(E_f = \frac{h}{\lambda_f} = h\nu_f\)

når \(\nu_f = \frac{1}{\lambda_f}\) er frekvensen til fotonet, naturligvis i naturlige enheter. Vi har da et uttrykk for tidskomponenten til momergien knyttet til et foton. Momenergien er vanligvis avhengig av farten til en partikkel, i den forstand at bevegelsesmengden er \(p = \gamma m v\) for endimensjonale bevegelser. Igjen blir denne 0 når vi setter inn for massen. Hvordan går vi fram for å bestemme bevegelsesmengden til et foton? 

Vi tar for oss 4-bevegelsesmengdevektoren \(P_\mu = (E, \vec{p}) = (E, p, 0, 0)\). Lengden av denne er gitt ved

\(P = \sqrt{P_\mu P^\mu} = \sqrt{E^2-p^2}\)

som følger av regneregler for 4-vektorer (for en vanlig vektor hadde det vært + istedenfor -). Setter vi inn for E og p, hvis vi antar at disse er gitt ved de vanlige uttrykkene, får vi som følger.

\(P = \sqrt{\gamma^2 m^2 - \gamma^2 m^2 v^2} = \gamma m\sqrt{1-v^2} = m \)

fordi \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) for et objekt med fart v. Det gir for et foton

\(\sqrt{E_f^2-p_f^2} = m\)

\(E_f^2 -p_f^2 = 0\)

\(p_f =\pm \sqrt{E_f^2} = \pm E_f\)

Fortegnet til pf bestemmes av retningen det aktuelle fotonet er på vei. For en lyspartikkel med hastighet i positiv x-retning, kan vi derfor finne momenergien som

\(P_\mu (f) =(E_f, p_f, 0, 0)= (E_f, E_f, 0, 0) = (h\nu_f, h\nu_f, 0,0)\)

Vi kunne også sett at P = 0 fordi \(P_\mu = mV_\mu\), og fått samme resultat. Det kan være nyttig å merke seg at \(E_f = h\nu_f \geq 0\) er en positiv størrelse, da frekvensen og konstanten er positive tall. Forøvrig er energien gitt i meter.

Så nå vet du det!


Neida, vi skal jo selvsagt sette dette i kontekst. Vi har denne gangen også en case og den lyder som følger.

Vi har to romskip A og B, A med respektive hastigheter \(v_A\) og \(v_B = -v_A\) langs x-aksen i et bakkesystem. Det ene skipet er det andre skipets anti-materie, slik at når de omsider kolliderer, vil de umiddelbart annihilere. Det betyr at begge romskipene blir omgjort til fotoner. Fotonenes energi bestemmes av energien de kolliderende romskipene har, det samme med bevegelsesmengden. Momenergien er jo bevart, dvs. komponentene og p er også bevart. Vi ser selvsagt på situasjonen fra to ulike perspektiver:

Referansesystem 1: Umerket system (x, t), bakkesystem, observatør Bertil på bakken.

Referansesystem 2: Merket system (x', t'), observatør Rasmus med hastighet \(v_A\) på et lite romskip hakk i hel med A.


La oss et øyeblikk se for oss at romskipene A og B kræsjer og annihilerer (= tilintetgjøres, skjer når partikkel møter sin antipartikkel) til bare to fotoner f1 og f2, med retninger i positiv og negativ x-retning, henholdsvis. 

Bertil har funnet momenergien til hvert romskip \(P_\mu(A), P_\mu (B)\). De to fotonenes momenergi-vektorer må tilfredsstille

\(P_\mu(f_1) + P_\mu(f_2) = P_\mu(A) + P_\mu(B)\)

Vi har at 

\(P_\mu (f_1) = (E_{f_1}, E_{f_1}, 0,0), \quad P_\mu (f_2) = (E_{f_2},- E_{f_2}, 0,0)\),

\(\)\(P_\mu (A) = (E_A,p_A, 0,0), \quad P_\mu (B) = (E_B,p_B, 0,0),\)

der \(E_A = \gamma_A m, p_A = \gamma_A m v_A\) og \(E_B = E_A, p_B = -p_A\). Dette gir likningssystemet

\(E_{f_1} + E_{f_2} = 2E_A \)

\(E_{f_1} - E_{f_2} = 0\)

hvor vi ser at \(E_f = E_{f_1} = E_{f_2} \)\(E_f = E_A\) er energien til hvert foton, de har altså samme energi.

Hvis vi nå antar at fotonene får hastigheter med en vinkel \(\theta\) ifra x-aksen, vil vi kunne finne at fotonene må ha samme energi, men motsatt retning. En kan se for seg at en bevegelsesmengdevektor må ha like stor komponent langs x-aksen i den ene retningen som i den andre, da vi vet at de til sammen må bli 0 (følger av likningsettet ovenfor). Av dette følger det at hvis vi nå antar at mange fotoner blir sendt ut, må det for et hvert foton med bevegelsesmengde \(p\) i x-retning dannes et annet med \(-p\). Den samme argumentasjonen gjelder for alle retninger; se for det at du bare tilter referansesystemet. Energien til ethvert foton forblir den samme, da vi antar at alle fotonene har samme bølgelengde. 

Bertil gjorde disse beregningene og talte fotoner. Ved sammenhengen \(E_f = \frac{E_{tot}}{N} = \frac{2E_A}{N}\) der N er antall fotoner, og \(\lambda_f = \frac{h}{E_f}\), fant han at bølgelengden til et foton var 628 nm, som svarer til bølgelengden for synlig lys, nærmere sagt rødt lys. Den samme fargen så han da eksperimentet ble gjort, så han sa seg veldig fornøyd med det. 


Huff, jeg vet ikke for deg, for jeg kjenner ikke hastigheten din i forhold til meg, men tiden har gått fryktelig fort i mitt referansesystem iallfall. Vi hadde lyst til å komme frem til en utledning av relativistisk dopplereffekt, men det rakk vi rett og slett ikke. Fargen Rasmus så var nemlig ikke rød, men gul, som jo er lys med en helt forskjellige bølgelengder.

Neste innlegg >>

Publisert 15. des. 2020 15:38 - Sist endret 18. des. 2020 14:04