Relativitetsteori

Vi skal leke med relativitet!

<< Forrige innlegg

Videre skal vi forske litt på relativitet og hva som skjer når objekter får høye hastigheter. Til det er det en god del nye begreper og konsepter, så vi har laget et oppslagsverk av relevante kortfattede forklaringer.


Albert Einstein: teoretisk fysiker. Utarbeidet den spesielle og den generelle relativitetsteorien. Smart fyr.

Spesiell relativitetsteori: bygget på to prinsipper, grunnlaget for moderne fysikk. Utarbeidet av Einstein i 1905, oppfatter tid og rom i sammenheng, fikk store konsekvenser for det daværende verdensbildet. De nevnte prinsippene er

(i) det spesielle relativitetsprinsippet - naturlovene er like for alle observatører som beveger seg jevnt og rettlinjet i forhold til hverandre (to systemer i fri flyt), eller sagt på en annen måte; det er umulig å bestemme et legemes absolutte hastighet, dvs. hastighet i forhold til det tomme rom. Oppsummeres ved "all bevegelse er relativ".

(ii) lyshastighetspostulatet - lyshastigheten (strengt tatt i tomt rom, men dette skal vi ikke inn på) er den samme målt av enhver observatør, uavhengig av hastigheten lyskilden reiser med.

System i fri flyt: her: et referansesystem som ikke er under akselerasjon; ikke påvirket av andre krefter.

Relativistiske / naturlige enheter: fysiske enheter basert på universelle fysiske konstanter. I første omgang betyr det å gi avstander og tider i samme enhet, vi bruker lengdeenheter (kan også bruke tidsenheter, men dette er mindre vanlig), samt tilpasse sa. lyshastigheten c og gravitasjonskonstanten G begge er lik 1. Mao. måles tider og strekninger i meter, og dermed er fart (strekning per tid) enhetsløs. Fart er målt som deler av c og blir derfor et tall mellom 0 og 1. Masse og energi er også gitt i meter, for eksempel veier jordkloden 4 millimeter når vi bruker omregningsfaktoren \(G/c^2\).

Hvilesystem, \((x', t')\): der de aktuelle eventene skjer på samme sted. Ofte bruker vi merket ' om størrelser i dette systemet.

Labsystem, \((x, t)\): bakkesystemet, der vi observerer noe skjer et annet sted. Ofte umerket.

Event: hendelse, punkt i tid og rom

Euklidsk geometri: "vanlig" geometri. For eksempel gjelder Pytagoras' læresetning og parallellaksiomet. Skalarproduktet er det vanlige indreproduktet, prikkproduktet.

Tidrommet: firevektorrommet; firedimensjonalt, består av det tredimensjonale rommet og tiden. Her gjelder lorentzgeometri.

Lorentzgeometri: en ikke-euklidsk geometri. Her er lengden av en vektor ikke lenger roten av hver komponent kvadrert og vi skiller på tidskomponenten og de romlige komponentene vha. 4-vektorer

4-vektor: vektorer i tidrommet; 4-vektorrommet. Den første komponenten, indeks 0, er tidskomponenten t, og de tre andre, indekser 1, 2, 3, er de romlige komponentene, x, y, z. En 4-vektor må oppfylle følgende kriterier.

(i) Alle komponentene må være fysisk målbare størrelser.

(ii) Disse må kunne transformere fra et referansesystem til annet via Lorentztransformasjon, mao. er lukket under Lorentztransformasjon.

Skalarproduktet av to 4-vektorer x og y er ikke lenger det vanlige prikkproduktet, men definert som \(x^\mu y_\mu = x_0y_0 - x_iy_i\) v/ Einsteins summekonvensjon. Av dette følger blant annet at avstanden, eller linjeelementet, mellom 4-vektorene kan finnes ved \(\Delta s ^2 = \Delta z^\mu \Delta z_\mu= \Delta z_0^2 -\Delta z_i^2 \) der \(\Delta z_\mu = x_\mu - y_\mu \). I tiderommet der de to 4-vektorene er posisjons-4-vektorer, er \(\Delta z_\mu = (\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)\), se tidromsavstand.

4-posisjon, \(X_\mu\): posisjons-4-vektor, gitt i meter, peker på et event i tiderommet\(X_\mu = (t, \vec{x}) = (t, x_i) = (t, x, 0, 0)\) for eventer langs x-aksen. 

4-hastighet, \(V_\mu\)4-vektor, hastighet i tidrommet, uten enhet\(V_\mu = (\gamma, \gamma \vec{v}) = (\gamma, \gamma v) \) for bevegelser langs x-aksen. Lengden V av 4-vektoren er en invariant størrelse og alltid lik 1 i naturlige enheter.

4-bevegelsesmengde, \(P_\mu\): 4-vektor, momenergi, gitt i meter\(P_\mu = mV_\mu= (E, \vec{p}) = (\gamma m, \gamma m \vec{v}) = (\gamma m, \gamma mv) \) for bevegelser langs x-aksen. Denne størrelsen er bevart da både masse m (hvileenergien) og 4-hastighet \(V_\mu\) er invariante.

Hvileenergi: \(E = mc^2 = m\) i naturlige enheter, energi forårsaket av masse. Bevart (invariant) størrelse.

Einsteins summekonvensjon: unngå summetegn, erstatter med konvensjoner som gjelder indeksene. Greske bokstaver som \(\mu\) løper fra 0 tom. 3, mens latinske, være seg i og j, starter på 1. 

Vi skal ikke se på andre bevegelser enn de endimensjonale (langs x-aksen), og setter derfor \(y = z = 0 \) sa. en firevektor \(X_\mu = (t, x, y, z) = (t, x, 0, 0)\).

Lorentztransformasjon: tranformasjon av tidromskoordinater fra et system (x', t') til et annet (x, t), når det førstnevnte beveger seg med hastighet v ifht. det sistnevnte. Spesifikt er det for bevegelse langs x-aksen

(i) \(t = v\gamma x' +\gamma t'\)

(ii) \(x = \gamma x' +v\gamma t'\)

og for den andre veien,

(iii) \(t' = -v\gamma x +\gamma t\)

(iv) \(x' = \gamma x -v\gamma t\)

der \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) er forskyvningsfaktoren. Transformasjonene samles i en Lorentzmatrise \(c_{\mu \nu}\) og gjelder generelt for en 4-vektor \(U_\mu\) i 4-vektorrommet ved \(U'_\mu = c_{\mu \nu} U_\nu\).

Invariant størrelse: størrelser som er de samme i alle referansesystemer. For eksempel lyshastigheten og tidromsavstanden.

Tidromsavstand, \(\Delta s\): linjeelementet mellom to 4-vektorer; avstand mellom to eventer o tidrommet, invariant størrelse, lik egentid. Spesifikt er \(\Delta s ^2 = \Delta t ^2 - (\Delta x^2+\Delta y^2+ \Delta z^2) = \Delta t ^2 - \Delta x^2 \) for bevegelser langs x-aksen og \(\Delta s = \Delta s'\).

Egentid, \(\Delta \tau = \Delta t'\): tiden målt i hvilesystemet, på objektet som flytter seg. Denne er lik tidromsavstand da \(\Delta x' = 0\), så  \(\Delta s^2 = \Delta t'^2- \Delta x' ^2= \Delta t'^2= \Delta \tau^2\)

Origoevent: når \(x = x' = t = t' = 0\)

Neste innlegg >>

Publisert 7. des. 2020 17:48 - Sist endret 15. des. 2020 15:40