Tvillingtrøbbel!

Det er snart jul og vi henger etter på julegavehandlingen. Vi skal forsøke å forklare overflaten på et interessant resultat i den spesielle relativitetsteorien, tvillingparadokset.

<< Forrige innlegg

Tvillingparadokset handler i prinsippet om at tiden går ulikt for to observatører med hastighet i forhold til hverandre. Dette kan vi jo litt om, men hva skjer når hastigheten ikke lenger er konstant? 

Vår case er som følger: Lisa reiser fra planeten Homey med farten v = 0.99. Hennes tvilling Sigrid blir igjen på Homey mens Lisa beveger seg mot planeten Destiny, før hun returnerer til Homey.

Antar symmetrisk situasjon

I spesiell relativitet kan vi alltid velge hvilket system som skal være merket og umerket. Hvis vi først lar Lisa bære merket, mens Sigrid forholder seg umerket, kan vi finne ved formel for tidsdilatasjon at det tar 28.5 år for Lisa å nå Destiny, dermed 57 år å komme hjem igjen, hvis vi antar at hun momentant bytter retning på hastigheten når hun snur. Sigrid måler hele 202 år for Lisa å nå Destiny, dermed må det gå 404 år før hun er hjemme igjen. Da er jo Sigrid mye eldre enn Lisa. 

Lar vi nå Sigrid bære merket og være hvilesystemet, kan lytte til Lisa som beskriver at Homey reiser fra henne med en fart v og Destiny mot henne med fart v, og motsatt på tilbakeveien. Hun kan finne det har gått 4 år på Homey da hun nådde Destiny, og dermed 8 år på hele reisen.

Dette er faktisk ikke paradokset. Vi har gjort noe galt! Vi sa at vi kunne velge referansesystem som vi ønsket. Dette gjelder jo bare for inertialsystemer, noe Lisa ikke er! Lisa må nødvendigvis akselerere for å kunne snu og taper dermed tregheten. Akselerasjon er derimot ikke relativt, og vi kan ikke si at planeten akselerer mot Lisa el., det er kun Lisa som akselererer.

Hvordan kan vi løse dette?

Som nevnt, skal vi ikke gå i dybden denne gangen, men bare streife overflaten av problemet. Vi bruker noen "triks" for å lære mer om situasjonen, deriblant sette inn flere observatører, bruke Lorentztransformasjoner mot invarians av tidromsavstand. En skisse av situasjonen vi ender opp med er vist i figuren nedenfor, uten særlige forklaringer, men ment som en smakebit.

Skisse av en av situasjonene vi regner på for å lærere mer om systemet.

Vi har altså innført noen eventer for å se på situasjonen.

Generaliserer

Vi lager oss et event Y og et tilhørende Y'. For eksempel kan eventet Y være at Lisa raper, og da vil event Y' være at Sigrid vet at hun raper nå. Sigrid kan ikke høre eller se det (da måtte vi tatt med tiden det tar for signalet å nå henne), men hun på en eller annen måte vet at det skjer. Event Y er i praksis en generalisering av eventet B i figuren ovenfor som forøvrig er når Lisa når Destiny. Vi tar høyde for varierende hastighet og finner en sammenheng mellom tiden ved event Y (tY) og ved event Y' (tY')

\(t_{Y'} = t_{Y} \pm x_Yv\),

og situasjonen krever at Y' skjer før Y, så

\(t_{Y'} = t_{Y} - x_Yv\).

Videre ser vi på tidspunktet for vendepunktet (når Lisa bytter vei), da Lisa er påvirket av en tyngdeakselerasjon g. Her er farten lik 0, så \(t_{Y'} = t_Y \), som gir mening siden samtidige hendelser for to observatører i samme referansesystem / med ingen innbyrdes hastighet er samtidige for begge. Vi finner så tiden det tar før Lisa når til dette punktet er 296 år for Sigrid.

Vi fant at for Sigrid har det gått 202 år når Lisa har nådd Destiny. Det betyr at akselerasjonen fra Destiny til vendepunktet må vare i 94 år! Men om vi bruker det andre resultatet vi fikk, da vi satte oss på Lisa, kunne Lisa fortelle at det bare gikk 4 år på Homey mens hun reiste med konstant hastighet én vei. Det betyr jo at 292 av de 296 årene er reservert akselerasjonen fra der Lisa begynner å snu til der hun er ved vendepunktet. Den totale reisetiden på klokka til Sigrid blir den samme for begge observatører, men de vil være uenige om når Lisa ankommer Destiny.

Å vende tilbake igjen til Destiny tar like lang tid som tiden det tok å akselerere fra Destiny til vendepunktet, dette av enkle symmetriårsaker som kan synes i figuren nedenfor. Dette gir en reisetid fra start til "klar for hjemreise med konstant hastighet" på (4 + 292 + 292) år = 588 år, dette på klokken til Sigrid, men fortsatt er det beregnet fra Lisa (dette er litt kryptisk, men jeg går ikke mer inn på det nå). Hjemreisen tar jo bare 4 år. Den totale reisetiden er derfor på 592 år!

Det gikk 586 år med til akselerasjon, med andre ord. Sigrid har blitt 592 år eldre ved tvillinggjenforeningen.

OBS! Skrivefeil. Rettelse: Skal stå 292 år der det står 296 år.
Akselerasjonen. Dette er slik Lisa ser det oppleves for Sigrid. Sigrid vil kunne måle at det er 202 år der det står 4 år, og 94 år der det står 296 (men skal stå 292...) år.

Så hva nå med alderen til Lisa? Vi vet at det tar for henne 28.5 år én vei, da uten akselerasjonen. Den totale reisetiden på Lisa sitt armbåndsur er derfor 2 x 28.5 år + [tiden det tar for henne å akselerere]. Man kan finne at tiden for akselerasjonen er gitt ved

\(\Delta t' = \sqrt{1- 2gr} \Delta T= \sqrt{1- \frac{2M}{r}} \Delta T\),

der det siste uttrykket skal finnes igjen i generell relativitetsteori! Vi kan regne ut og finne en reisetid hver vei på 74.5 år, det betyr at Lisa er (28.5 + 74.5 + 74.5 + 28.5) år = 206 år eldre enn seg selv da hun reise hjemmefra. Vesentlig yngre enn sin tvillingsøster på 592! Dette passer jo med maksimal aldringsprinsipp (som vi skal ta for oss på ordentlig om noen innlegg); Egentiden for legemer i fritt fall er den lengste mulig, noe som medfører at akselererte legemer eldes saktere enn legemer med konstant hastighet. 


Dette var altså tvillingparadokset i et nøtteskall. Det hadde vært dødskult å gå i dybden på dette også, men tiden er av betydning nå rett før jul. Håper du lærte noe iallfall!

Neste innlegg >>

Publisert 16. des. 2020 16:54 - Sist endret 18. des. 2020 15:09