Vi har fått mamma-energi!

Nei, vi har ikke blitt gravide. Hva i alle dager er momenergy?

<< Forrige innlegg

Ordet er satt sammen av momentum (bevegelsesmengde) og energy og beskriver en bevart størrelse i relativitetsteorien. Momenergien \(P_\mu\) er en firevektor i tiderommet, der tidskomponenten er den relativistiske energien \(E= \gamma m\) til et objekt med masse og den relativistiske bevegelsesmengden \(\vec{p} = \gamma m(v_x, v_y, v_z)\) utgjør de romlige komponentene i firevektoren. Ser vi nå bare på bevegelser i x-retning, får vi

\(P_\mu = (E, \vec{p}) = (\gamma m, \gamma m \vec{v}) = (\gamma m, \gamma m v, 0, 0) \)

Forskyvningsfaktoren er gitt ved \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\), der v er farten til objektet vi ser på i forhold til systemet vi er i. 


Vi skal nok en gang transformere oss fram og tilbake i referansesystemer for å undersøke relativistiske effekter ved høye hastigheter. Denne gangen ser vi på det vi kaller nøytronhenfall; et nøytron som henfaller til et proton og et elektron. Men hvilke hastigheter farer partiklene videre med? Vi skal bruke lorentztransformasjoner og bevaring av 4-bevegelsesmengde, "momenergi". Dette har vi skrevet litt om i dette innlegget. Vi har to referansesystemer, ett der vi sitter på nøytronet (nøytronet i origo til enhver tid, hvilesystemet) og ett der vi ser på situasjonen fra bakken (labsystemet). Vi har at nøytronet beveger seg med \(v_n = 0.852= v_\text{rel} \), i naturlige enheter, i forhold til labsystemet, og dermed at labsystemet beveger seg med \(v_\text{lab}=-v_\text{rel}\) i forhold til nøytronet. Oppsummert:

merket system: hvilesystemet, nøytronet i origo, beveger seg med \(v_\text{rel}\) i forhold til bakken - her er \(P'_\mu (n) = P'_\mu(p) + P'_\mu(e)\), der n, p, e betyr hhv. nøytronet, protonet og elektronet

umerket system: labsystemet, origo i et punkt langs bakken, beveger seg med 

 \(-v_\text{rel}\) i forhold til bakken - her er \(P_\mu (n) = P_\mu(p) + P_\mu(e)\)

En liten fugl har hvisket oss at det kan være lurt å bruke momenergibevaring for nøytronsystemet. I dette systemet skjer henfallet i origo og alle bevegelser langs x-aksen. Vi kan beskrive elektronets fart \(v_e'\) etter henfallet vha. momenergien dens i hvilesystemet. Vi lar \(\gamma '_e = 1/ \sqrt{1-(v_e')^2}\) og bruker at energien her er \(E_e' = \gamma'_e m_e\) og bevegelsesmengden i x'-retning \(p_e' = \gamma'_e m_e v_e'\) sa.

\(P_\mu '(e) = (E_e', p_e', 0, 0) = (\gamma_e'm_e, \gamma_e' m_e v_e', 0, 0)\).

Helt tilsvarende resonnement for protonets momenergi,

\(P_\mu '(p) = (E_p', p_p', 0, 0) = (\gamma_p'm_p, \gamma_p' m_p v_p', 0, 0)\).

De ukjente størrelsene er altså \(v_e', v_p'\)
Hva nå med nøytronets firebevegelsesmengde? Blir den bare bestående av 0'er siden nøytronet ikke har noen hastighet i forhold til seg selv? Momenergien er jo per definisjon

\(P_\mu '(n) = (E_n', p_n', 0, 0) = (\gamma_n'm_n, \gamma_n' m_n v_n', 0, 0)\),

men siden \(v_n'=0\) forsvinner \(p_n'\) og \(\gamma '_n = 1/ \sqrt{1-(v_n')^2} = 1/ \sqrt{1-0} = 1\), kan momenergien uttrykkes slik

\(P_\mu '(n) = (E_n',p_n', 0, 0) = (1\cdot m_n, 0, 0, 0) = (m_n, 0, 0, 0) \).

I tiderommet har nøytronet kun en tidskomponent, og denne tidskomponenten er nøytronmassen i naturlige enheter.

Bruker vi det vi har funnet til nå, kan vi sette opp et likningssystem som løser firevektorlikningen

\(P'_\mu (n) = P'_\mu(p) + P'_\mu(e)\)

komponentvis (to likninger; én for hver komponent ulik 0, ie. E og p), siden momenergien er en bevart størrelse (den samme før og etter henfallet). Vi tar ikke den regningen her, men får spesielt to resultater. (1) Protonet og elektronet må nødvendigvis ha fart i hver sin retning. Vi lar elektronfarten ha positivt fortegn, og protonfarten negativt, for regningens skyld, men dette spiller i grunn ingen stor fysisk rolle; det er bare å omdefinere positiv bevegelsesretning om dette skulle vist seg å være feil. (2) Farten elektronet får er mye større enn protonets. Dette er ikke så rart, siden elektronmassen er mye mindre enn protonmassen, og vi skal blant annet tilfredsstille likningen

\(\gamma_p' m_p v_p' = \gamma'_e m_e v_e' \)

og selv om \(\gamma_e' > \gamma_p'\), er \(m_p >> m_e\), så alt i alt må \(v_e' >> v_p'\).

Vi finner så energi og bevegelsesmengde i det umerkede systemet, og bruker disse til å finne farten til protonet og elektronet. Da er begge hastighetene i samme retning, som er lett å se ettersom \(v_p' << v_n\), ie. protonet har ikke nok fart i negativ x'-retning til å nærme seg den farten den får fra sin opphavspartikkel, nøytronet. 

Vi observerer at massen ikke er bevart i prosessen da \(m_n \neq m_p + m_e\). Dette er fordi selve prosessen krevde energi for å i det hele tatt skje, energi den tok fra massen. Masse og energi er to svært tett koplede størrelser, og som vi så med nøytronet, har et objekt i ro \(E = m\) (\(E = mc^2\) i SI-enheter, "hvileenergi").   


Tror du ikke på at massen ikke er bevart? Hvis nei, la meg bevise det! Hvis jo, hvordan kan du vite at alt jeg sier er sant?

Vi viser med et motbevis, som er de kuleste bevisene. Husk at du bare trenger ett tilfelle som ikke stemmer overens med en teori for å felle den. 

Vi antar at massen er bevart, altså  \(m_n = m_p + m_e\). Vi har en likning som kan finnes ved å løse likningssystemet ovenfor (utregningen sparer vi dere for) som må tilfredsstilles for at momenergien i prosessen skal være bevart,

\(\gamma_p' = \frac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_pm_e}\).

Vi setter inn at \(m_e^2 = (m_n -m_p)^2 = m_n^2 - 2m_pm_n + m_p^2\) og får 

\(\gamma_p' = \frac{m_n^2 + m_p^2 -(m_n^2 - 2m_p m_n + m_p^3)}{2m_pm_n} = \frac{2m_p m_n}{2m_p m_n} = 1\)

Dette impliserer at protonet står stille i hvilesystemet, \(v_p' = 0\). Bevegelsen til elektronet og protonet må også tilfredsstille

\(0 = \gamma_p' m_pv_p' + \gamma_e 'm_e v_e'\)

så \(v_e' = 0\). Dette betyr at verken elektronet eller protonet har noen fart i forhold til den opprinnelige partikkelen. Hmm, kan det gå?

Nei, det kan det faktisk ikke. Grunnen til det er at to partikler ikke kan være på samme sted til samme tid, noe resonnementet ovenfor medfører. Med det har vi vist at massen ikke kan være bevart i en slik prosess!


Vi kan som en test bruke formelen for addisjon av relativistiske hastigheter,

\(v' =\frac{v - v_\text{rel}}{1-vv_\text{rel}} \quad \Leftrightarrow \quad v =\frac{v' + v_\text{rel}}{1+vv_\text{rel}} \)

og sammenlikne resultatene med de vi fant ved å bruke energien og bevegelsesmengden. Disse stemte veldig godt da vi regnet dem ut! Det må jo bety at kalkulasjonene og resonnementene de bygger på er fornuftige.

Neste innlegg >>

Publisert 15. des. 2020 15:38 - Sist endret 15. des. 2020 15:43