ALT ER EN SIMULERING??!! 3 ting du bør vite før du drar til Verdensrommet....

Hei, bloggen!

Før vi hopper inn i vår splitter nye rakett og vender nesa oppover, er vi nødt til å finne ut av et par ting...

Bildet kan inneholde: tekst, produkt, skrift, linje.

 


Hvor mye drivstoff trenger vi?

Hvor lang tid tar det før vi er ute av atmosfæren?

Og hvor i all verden havner vi til slutt???

 

 

 

 


For å unngå ubehagelige overraskelser, må vi rett og slett simulere rakettoppskytningen. Dette er en stor oppgave, men vi begynner i det små; med den lille boksen vår. 

I forrige innlegg snakket vi om hvordan en boks med molekyler kan gi oss en fart oppover. Når vi skal simulere denne boksen, må vi se på hvordan hver og et av molekylene beveger seg til enhver tid. Et H2(hydrogengass)-molekyl har en radius på 120 picometer (0,000000012 cm), og det er plass til veldig mange av dem inne i en vanlig pappeske. Hvis vi skal holde styr på alle disse molekylene til enhver tid, trenger vi en veldig sterk datamaskin!

Bildet kan inneholde: hvit, linjekunst, tekst, tegnefilm, nese.
                                  En veldig sterk datamaskin.

En sånn datamaskin får vi aldri plass til i raketten vår… Heldigvis kan vi bruke vår kunnskap om sannsynlighet og Gauss-kurver fra forrige innlegg til å ta en snarvei i simuleringene! 

Vi lager oss en boks som er veldig liten, så liten at én sidelengde er \(10^{-6}\)meter, og har        10 000 molekyler. Disse kan vi, med litt innsats, holde styr på. 


Når vi skal simulere molekylenes bevegelser, må vi se på hastigheten, retningen og posisjonen i hvert eneste tidssteg. Vi husker at hvis vi deriverer posisjonen til et objekt, så finner vi hastigheten. Deriverer vi hastigheten igjen, finner vi akselerasjonen.


\(\vec{s(t)}'' = \vec{v(t)}' = \vec{a(t)}\)   

Den deriverte av hastigheten kan vi skrive som  \(\frac{d\vec{v}}{dt}\). Derfor har vi at :

\(\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}(t)\)

Vi kan bruke Euler Cromer-metoden for å regne ut hastighet og posisjon i hvert tidssteg. 

 

 

Her sier vi at den neste hastigheten vår, \(\vec{v_2}\) , vil være den gamle hastigheten, \(\vec{v_1}\), pluss akselerasjonen ganget med tiden, \(\vec{a} \cdot \Delta t\) . Fordi akselerasjonen multiplisert med tiden vil jo bli hastighetsforandringen!

Med denne metoden finner vi hastigheten i det neste tidssteget vårt kun ved å bruke informasjon fra forrige tidssteg. Altså har vi funnet en måte å simulere bevegelsen til molekylene våre.

Nå som vi vet hvordan vi skal simulere bevegelsen til molekylene inne i boksen, må vi også ta hensyn til hva som skjer når de krasjer med hverandre, og når de treffer sidene i boksen.

Siden hydrogengassen vår er en ideell gass, betyr det at de eneste kollisjonene vi trenger å tenke på er molekylenes kollisjon med veggene inne i boksen. Våre ideelle molekyler treffer alltid veggen med et elastisk støt. Når vi skal simulere et elastisk støt, kan vi bare endre fortegnet til molekylets hastighet langs x-aksen i det det treffer veggen: 

Bildet kan inneholde: tekst, linje, skrift, parallell, design.

 

 

Og dette kan vi gjøre for alle sidene i boksen vår! Nå har vi alt vi trenger for å simulere molekylene. Men for at denne boksen skal kunne bli vår rakettmotor, må vi dra frem saksa! 

Vi klipper opp et firkantet hull i bunnen av den bitte-bitte-lille boksen vår. (Størrelsen på hullet må vi prøve oss litt fram med - her er det store konsekvenser av små justeringer!) Etterhvert vil hydrogenmolekylene finne veien ut, og av samme prinsipp som Wall-e i verdensrommet vil boksen vår bevege seg oppover. Ved å telle hvor mange partikler som rømmer, og hvilken bevegelsesmengde de har, kan vi finne ut hvor mye drivstoff vi trenger for å oppnå en hvilken som helst hastighet. For som enhver ordentlig rakettmotor, trenger den lille boksen vår påfyll av drivstoff. Vi må holde styr på hvor mange molekyler som rømmer, og fylle på med like mange. På denne måten opprettholder vi et konstant trykk inne i boksen. 


Dette kunne vi kanskje 400 år fram i tid gjort med en Star-Trek warp pad, som automatisk ville transportert molekylene tilbake akkurat der de startet inne i boksen. Dessverre er dette noe urealistisk i dag, selv om det hadde gjort mange ting mye enklere! 


For å fylle på med drivstoff, velger vi å lage en åpning i toppen av boksen, som er like stor som åpningen i bunnen. Her plasserer vi et fantastisk enveis-filter som slipper molekyler inn i boksen, men ikke ut igjen! Altså, hvert eneste molekyl som rømmer ut av boksen, erstatter vi med et nytt molekyl som har lik hastighet og retning som sin forsvunnede motpart.

Nå er vi nesten helt i boks!

Vi har fått orden på den bitte-bitte-lille rakettmotoren vår, og den fungerer som en kule! Nå trenger vi bare omtrent en billiard slike bittesmå bokser, så er raketten vår good to go!

Men før vi overarbeider vår stakkars laptop med mange tusen billiarder molekyler, må vi kanskje ta et lite steg tilbake. Det er jo ikke nødvendig at vi holder styr på tusen billiarder molekyler når vi kjenner noen som kan gjøre det for oss! Her snakker vi selvfølgelig om vår gode venn Gauss

Fordi vi har å gjøre med en ideell gass, vet vi at molekylene i boksen vår alltid gir oss hastighetsverdier som danner en Gaussisk kurve. Så lenge vi bruker mange nok molekyler i simuleringene våre, vil det si at de oppfører seg nesten helt likt hver eneste gang. Dette betyr i grunn at vi bare trenger å simulere én boks, for vi vet at alle de andre boksene vil gi oss de samme resultatene. 

Vår fantastiske løsning på dataproblemet er altså:
 

\(alle\ verdiene\ fra\ boksen\ vår\ \cdot\ en\ billiard\ =\ alle\ verdiene\ fra\ hele\ rakettmotoren\ vår\)


Vi er nok ikke de eneste som kjedet oss gjennom statistikk-kapitlene på skolen, men med litt (kanskje ufortjent) hjelp fra statistikkens verden, har vi nå laget en simulering som selv vår gjennomsnittlige laptop klarer å kjøre! 

Bildet kan inneholde: design, teknologi.

Forrige innlegg                                                                        Neste innlegg

Publisert 8. sep. 2020 18:04 - Sist endret 9. sep. 2020 16:39
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere