YOU GOT (two) BODY ISSUES?!? THIS IS HOW NOT TO FIX IT!!!

Hei, bloggen!


I forrige innlegg fikk vi en numerisk framstilling av planetbanene våre, og lett var det!...

Men nå må vi jo sjekke om de virkelig stemmer. Hvordan gjør vi det? Jo, det er mange muligheter, først og fremst kan vi jo plotte den analytiske løsningen oppå den numeriske for å se om de er like:

Bildet kan inneholde: målbue, sirkel, linje, diagram, fargerikhet.

 

Jaha, ja, hmm, er dette riktig da? Nei, det tror vi nok ikke, for her er forskjellene alt for store til at det kan stemme! Okei, men vi finner ingen feil i vår numeriske beregning, så kanskje kan det jo hende at det er feil i vår analytiske beregning...?

 

 

Bildet kan inneholde: linje, diagram.

Ja! Det var det, vettu.
Vi har jo helt glemt at alle ellipsebanene ikke nødvendigvis er vendt samme vei! Dette kan vi lett fikse opp i ved at vi tar med denne vinkelen i når vi beregner f i definisjonen for en ellipse i polarkoordinater:
 

\(r(f) = \frac{a(1-e^2)}{1+e\ cosf}\)

 

Dette gir oss det litt bedre plottet:

Bildet kan inneholde: målbue, sirkel, diagram, fargerikhet.

Men vi hadde jo til og med feil i det analytiske plottet vårt, så hvordan i alle dager kan vi vite om de numeriske planetbanene våre er korrekte?? Jo, dersom du husker keplers andre lov er dette en fabelaktig måte å sjekke om banene våre er korrekte! Vi ønsker altså å se på et areal som planeten vår utspenner mellom seg og stjerna. Men hvordan gjør vi dette?

Bildet kan inneholde: linje, produkt, sirkel, diagram, fiolett.

Jo, vi bruker vår posisjonsvektor, og lager veldig veldig veldig små og spisse trekanter... Når vi gjør dette vil vi få to vinkler i trekanten som er tilnærmet 90 grader.

Hæ??
Det hørtes jo veldig rart ut! JA, det skjønner vi, men vi lager altså disse trekantene såpass spisse at de nesten bare er en strek (men ikke helt flate, slik at vi kan fortsatt kan regne med dem!).

Deretter bruker vi den meget kompliserte formelen for arealet til en trekant \(A = \frac{l\cdot h}{2}\), og summerer maaange av disse trekantene slik at vi kan  få et stort og flott areal!


Her blir lengden vår posisjonsvektoren til planeten, mens vår høyde blir \(h = \frac{2\pi r}{P} \Delta t\), dette på grunn av at buelengden er: \(\frac{omkretsen}{omløpstiden}tiden\). Når vi beregner dette for to forskjellige tidsperioder i banene til planetene våre får vi disse verdiene:

Differansen mellom to arealer i banen til Mørkerius:  0.002222

Differansen mellom to arealer i banen til Görgenum: 0.000727

Differansen mellom to arealer i banen til   Froderia:   0.017085

Differansen mellom to arealer i banen til     Larf:        0.070817

Differansen mellom to arealer i banen til   Ho-Le14:  0.000775

Differansen mellom to arealer i banen til   Gretika:    0.010086

Differansen mellom to arealer i banen til   Tom.:        0.058584

 

 

Her ser vi at differansen i de to arealene er ganske små, men dette er egentlig bare tall ut av en hatt. Vi burde heller se på den relative feilen! Denne kan fortelle oss mye mer om akkurat hvor stor feilen er!

Den relative feilen i differansen til arealene til Mørkerius:  0.04923

Den relative feilen i differansen til arealene til Görgenum: 0.00806

Den relative feilen i differansen til arealene til  Froderia:    0.06370

Den relative feilen i differansen til arealene til      Larf:       0.01347

Den relative feilen i differansen til arealene til   Ho-Le14:  0.00052

Den relative feilen i differansen til arealene til    Gretika:   0.00397

Den relative feilen i differansen til arealene til   Tom.:        0.01124

 

Her ser vi at feilen ikke er stor i det hele tatt! Dette er veldig betryggende for oss simulerende Mørkerianere, for vi kan dermed, med ganske stor sikkerhet, si at våre planetbaner er korrekte og tilfredsstillende! 

            Nå vil vi snakke om noe som er veldig vanskelig for oss...            


Se for deg at du sitter i en formel-1-
racerbil i verdensrommet, og du ser på Bildet kan inneholde: tekst, lilla, fiolett, grafisk design, rosa.en annen som kjører rundt deg. Selv om din bil egentlig også kjører rundt, vil du fra ditt eget perspektiv stå helt stille, og den andre bilen vil være den eneste som beveger seg. Derfor er det ikke så vanskelig for deg å holde styr på bevegelsen til den andre bilen, selv om den begynner å ta doughnuts og greier. 

Men, med en gang du går ut av bilen din og lar den kjøre videre uten deg, blir det mye vanskeligere å holde styr på. Plutselig er det vanskelig å forutse bilenes bevegelse i forhold til
hverandre. 


Okei, nå har disse analogiene gått veldig langt...

Uansett om dette var forståelig eller ikke, så er dette egentlig essensen av det som kalles tolegemeproblemet. (Bortsett fra at vi da ser på gigantiske masser i verdensrommet istedenfor racerbiler...)

La oss tenke oss at vi ser på vår hjemplanet, Mørkerius, og vår stjerne, Universitas. Mørkerius vil jo gå i bane rundt Universitas, slik som vi så i forrige innlegg. Men stjerna vil faktisk også bevege seg, fordi Mørkerius vil (kjekk som den er) også ha en tilltrekingskraft på stjerna! Denne kan vi regne ut med Newtons gravitasjonslov. (som vi nevnte her!)

Når vi skal se på en stjerne og en planet, vil vi helst se dem fra massesenteret deres, sånn at vi ser hvordan de beveger seg i forhold til hverandre. Men som nevnt over, er dette litt komplisert... Det vil jo for eksempel være to posisjoner og to hastigheter å ta hensyn til!

Bildet kan inneholde: tekst, linje, skrift.


Det enkleste vil nok være å regne ut dette tolegemeproblemet numerisk. Det vil si, også her kan vi simulere oss frem til et svar.

Så hvordan skal vi simulere alt dette?

Jo! Vi tenkte å bruke Leapfrog, på akkurat samme måte som i forrige innlegg, bare at vi nå må gjøre dette for både Universitas og Mørkerius! Vi må også legge inn r-vektoren (posisjonen) til begge to. Vi prøver oss fram litt og ender opp med:

Bildet kan inneholde: tekst, linje, skrift, rektangel.

Det er iallefall et problem, det skal det ha....

Selv om dette plottet nok ikke går under kategorien "HÆ-hva-søren-plott", er det jo fortsatt tydelig at noe har gått galt. Helst skulle vi jo sett to ellipsebaner som harmoniserer vakkert med hverandre. I stedet ender vi opp med en... rett strek...? 

Når vi tar en nærmere titt på verdiene vi får i simuleringen vår, ser vi at stjerna vår Universitas (den blå linja) har en enorm akselerasjon. Planeten vår (blå), derimot, har en liten, negativ akselerasjon. Hmmm... Vi regner med at en realistisk planet-stjerne interaksjon antakeligvis ikke vil se sånn her ut..: 

Bildet kan inneholde: tekst, gul, linje, skrift, logo.

Etter enda nærmere kikking, ser vi at vi har regnet akselerasjonen feil. I stedet for å regne med avstanden mellom stjerna og planeten, har vi brukt avstandene deres fra massesenteret. Når vi retter opp i dette får vi et plott som gir liiiittegrann mer mening... kanskje. 

Bildet kan inneholde: tekst, linje, rektangel, skrift.

 

Vi ser at dette er et mye mer realistisk plott, men kanskje ikke helt i mål. Derfor sender vi ut beskjeder om hjelp til hele vårt solsystem i håp om at noen, spesifikt de ufattelige gode forskerne på Larf, kommer til å hjelpe oss i framtiden. Dette er som sagt veldig vanskelig for oss å snakke om, og vi setter pris på om dere respekterer dette. 

Med det tenker vi å ta oss en liten pause fra kranglete simuleringer, og heller se litt på mye fjernere himmellegemer! 

 

Forrige innlegg                                                                        Neste innlegg

Publisert 23. sep. 2020 12:17 - Sist endret 9. okt. 2020 16:22
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere