WHAT TO PACK ON A JOURNEY YOU NEVER PLANNED FOR!!!

Hei, bloggen!

 

I dag er dagen vi bestemmer oss for vårt kosmiske reisemål, og vi er veldig spente! Skal vi liksom pakke slalåmski og raske briller, eller er det litt mer sånn geigerteller- og strålingsdrakt-stemning? 

 

Vi har egentlig allerede bestemt oss for hvor vi skal dra, men vi venter liiiittt til med å avsløre dette for dere. Smør dere med tålmodighet, kjære lesere! (I det minste et par avsnitt til...)

Aller først vil vi nemlig fokusere litt på vår fremtidige landingsmodul! Denne lille saken skal bli vårt interplanetariske hjem om en kort stund, så den fortjener litt kjærlig matematikk i forkant. 


Bildet kan inneholde: illustrasjon, tegnefilm, kunst, grafisk design.Landingsmodulen vår får energi fra stjerna Universitas ved hjelp av solcellepaneler. Det er idiotsikkert! Det eneste vi må tenke på er hvor store disse panelene må være for at vi skal kunne unngå å få kosmisk motorstopp. (Det er nemlig ganske kleint, for taue-romskipene bruker evigheter på å komme fram...)

Landingsmodulen vår trenger energi tilsvarende 40 Watt for å gjøre alle oppgavene sine, og solcellene våre har en effektivitet på 12%

 

Ved å ta utgangspunkt i Stefan-Boltzmanns lov (forrige innlegg), kan vi regne ut hvor stort areal solcellepanelet vårt må ha. Stefan-Boltzmanns lov sier at fluksen ut fra et sort legeme er:

\(F = \sigma T^4\).


For å finne fluksen vi mottar fra stjerna når vi har en avstand r, kunne vi bruke at:

\(F = \sigma T_{stjerne}^4 \cdot \Big( \frac{R_{stjerne}}{r} \Big)^2\), der \(R_{stjerne}\) og  \(T_{stjerne} \) er radiusen og temperaturen til stjerna. 
I forrige innlegg fant vi også ut at luminositeten til en stjerne kan uttrykkes ved:

\(L = F \cdot \Delta A\)

Her er F fluksen som blir sendt ut fra stjerna, og \(\Delta A\) er arealet på solcellepanelene våre. Luminositeten L setter vi til å være lik energien vi trenger til landingsmodulen vår: 

\(L = \frac{40\ Watt}{12\%\ effektivitet} = \frac{40}{0.12}\).

Setter vi inn denne verdien for L, får vi at:

\(\Delta A = \frac{L}{F} = \frac{ \frac{40}{0.12}}{\sigma T_{stjerne}^4 \big(\frac{R_{stjerne}}{r}\big)^2 }\)

Her setter vi inn temperaturen og radiusen til stjerna, Stefan-Boltzmann-konstanten, og en tilnærming på avstanden mellom det hemmelige planet-reisemålet vårt og stjerna Universitas. Arealet vi får da er: \(0.69\ m^2\)  ;) 
Det vil si at solcellepanelene våre helst skal være litt større enn 0.69 kvadratmeter til sammen. Det skal vi få til. 


Dette tallet var litt vanskelig å forholde seg til. Det høres jo nesten ut
som det er litt for godt til å være sant? For å være helt sikre på at dette
er riktig, regna vi oss fort fram til hvordan dette tallet ville vært på deres
Jord. Vi kom fram til at arealet på et solcellepanel på jorda må være større
enn \(A = 0.24\ m^2 \) for å kunne produsere 40 Watt. Vi sammenliknet dette
med diverse reklamer for jordlige solceller, der et panel med 15% effektivitet
og størrelse på litt over én kvadratmeter kan produsere 200 Watt. Det virker
altså ikke så usannsynlig at et panel på 0.24 kvadratmeter kan produsere
40 Watt. 


Det neste vi vil tenke på før vi begynner å pakke er kameraet på raketten vår. Vi er nemlig ekstremt ivrige etter å ta et ekte bilde av planeten vi skal reise til, og derfor har vi ingen tid å miste! Vi kommer til å sitte klare med tentaklene på avtrekkeren med én gang planeten synes som mer enn to piksler på kameraet vårt. (Dette er astrofysikk-definisjonen for at et himmellegeme kan kalles oppløselig på et bilde.) 

Som de første i universet som noen sinne fotograferer denne planeten, er vi forberedt på å gjøre jobben grundig.

Men, øhhh... Det er jo litt slitsomt å sitte i mange dager i strekk og speide etter en liten prikk i det fjerne... Så vi tenker vi heller tyr til litt spenstig matematikk for å spare stilkøynene våre litt. Vi vil altså regne ut hvor nærme vi må være planeten vi reiser til før vi kan begynne å ta bilder av den.  

Vi har et kamera med piksel-dimensjon \(P \times P\) og synsfelt (field of view) \(F \times F\). Dette kan vi illustrere slik:   

Bildet kan inneholde: linje, rosa, parallell, skrift.

Vi setter at lengden på den ene siden av én piksel er en bitteliten vinkel \(\theta\). Som vi (forhåpentligvis) vet, er tangens til en vinkel: \(tan\theta = \frac{motstående\ katet}{hosliggende\ katet}\) .

Når vinkelen er biiiitteliten, sånn som nå, kan mBildet kan inneholde: tekst, linje, skrift, parallell, skråningen.an bruke en frekk tilnærming. (Dette kan man gjøre fordi man driver med fysikk, som kanskje får noen matematikere til å gråte noen tårer)
Denne approksimasjonen kalles for liten-vinkel-formelen og ser sånn her ut: \(tan\ \theta \approx \theta\). (Den kan faktisk også brukes for cosinus: \(cos\ \theta \approx \theta\).)
Spenstig liten sak, ikke sant? Denne er selvsagt bare innafor å bruke dersom vinkelen er nesten null! 

Hvis vi kombinerer at \(tan\ \theta = \frac{R}{L}\) og \(tan\ \theta \approx \theta\), får vi: \(\theta \approx \frac{R}{L}\)
I tillegg har vi at \(cos\ \theta = \frac{F}{P} \approx \theta\). Fra denne kan vi få at: \(F \approx P \frac{R}{L} \).
Vi flytte-bytter for å finne L: 

\(L \approx \frac{PR}{F}\)

Nå har vi funnet et uttrykk for hvor nærme vi må være planeten for å kunne ta et bilde av den. Helst vil vi jo ha et bilde der den synes på flere enn to piksler, så vi setter:

\(L \gtrsim \frac{PR}{F}\)

 

Hæ to innlegg uten simulering dette kan ikke stemme?! Frykt ikke...

Bildet kan inneholde: produkt, lilla, fiolett, linje.Vi har nå brukt mye av vår tid på å simulere denne oppskytningen vår (som er rett rundt hjørnet nå!!), men vi har sagt at vi kun tar av fra et spesifikt sted fra planeten vår, nemlig x-aksen i vår system (slik som på bildet <--). Det vi heller ønsker er å ha muligheten til å ta av fra hvor som helst fra planeten vår, og på hvilketsomhelst tidspunkt vi ønsker, slik at vi kan velge det beste for vår reise gjennom rommet!

 

Men hvordan gjør vi dette?

Jo, vi bruker vår rakettmotor (der vi tilslutt, heldigvis, fikk hjelp av de fantastiske forskerne i Larserium!) og våre planetbaner som vi har simulert tidligere! Men vi må justere slik at vår startposisjon nå ikke er der vi ha hatt den før! La oss først ta for oss at vi begynner et annet sted på planeten vår. Vi tenker å bruke polarkoordinater (husker du vi snakket om andre former for koordinatsystem?), det som i 2D vil bli enhetsikerlen, som du kanskje er kjent med! Derfor vil vår x og y verdi på planeten vår bli: \(x = r_{planet} \cos{\theta} \ \ og \ \ y = r_{planet} \sin{\theta}\)!

Denne vinkelen \(\theta\), vil være en variabel som vi selv kan bestemme ut i fra hvor på vår planet vi vil reise fra!

Bildet kan inneholde: linje, tekst, parallell, skrift.

Når dette er i boks, kan vi prøve å finne hva vår posisjon er i et gitt tidspunkt! Vår posisjon må jo være der vår planet er pluss hvor raketten er på planeten vår. Dette er grunnleggende vektorregning som du sikkert husker! Vår posisjon på jorden blir \((r_{planet} \cos{\theta}, \ r_{planet} \sin{\theta})\) og posisjonen, fra planeten vår, har vi jo fra vår utregning av planetbaner fra tidligere. Men!  Disse er ikke helt up to speed eller mer korrekt up to tid!

Husker du når vi snakket om leapfrog at denne metoden ikke synker opp tiden og posisjonen? Dette betyr at vi må gjøre noe veldig fanzy noe som kalles interpolasjon.  Dette betyr rett og slett at vi tilnærmer oss en funksjon (i vårt tilfelle en posisjonsfunksjon) i hvert  punkt ved hjelp av kjente nærliggende punkter. Ja, dette hørtes jo litt mystifistisk ut, men det vi gjør er dette: Vi har disse punktene (0, 0), (1, 1), (2, -2) og (3,  1), interpolasjon er bare det at vi finner en tilnærming for hvordan vår funkjson kan være. Vi kan gjøre interpolajsnonen lineært med å trekke linjer gjennom punktene, eller kansje med polynomer!

Dette er veldig kult! Fordi nå har vi en posisjon som er en funksjon av tiden! Når vi simulerer dette bruker vi en slik forutbygd metode som interpolerer uten mye stress for oss! Da kan vi jo bare sette i gang!

Etter mye feiling (enheter er no herk for å si det sånn!...hehe...neida.....joda..), med at vi har mange forskjellige former for tid, men det er jo bare en tid??, og litt halveksistensielle spørsmål... Fikk vi endelig løst opp i vår problemstilling!!!

Funksjonen vår gir oss disse verdiene:

Brukt drivstoff: Brukt tid: Posisjon: Hastighet:
140 kg 5 år (-0.14,  0.36) AU (-11.2,  -3.46)AU/år

(Her er tiden 5 år fordi vi har satt vår starttid til å være fem år, så fem år pluss oppskytning på rundt fem minutter blir forstatt fem år!)

Jahaja... vi bruker 140kg drivstoff på en rakettoppskytning... Dette er jo litt rart... hvertfall med tanke på at en bil ville ha brukt rundt 400kg drivstoff på den avstanden.. Så 100% realistisk er ikke simuleringen vår helt nei, men dette må vi jobbe med til vår virkelige oppskytining! Men uansett så får dette bli et problem til en annen gang!

Men hvor mye har tyngdekraften i næreheten av en planet egentlig å si?

La oss si at vi faktisk får til denne oppskytningen vår (vi krysser alle tentaklene våre for det!), hvor langt unna reisemålet vårt må vi være før vi er nærme nok? Jo, i astrofysikken bruker vi en konstant k til å si at gravitasjonskraften fra planeten vi vil lande på må være k ganger større enn gravitasjonskraften fra stjerna vår! Og ca. rundt \(k = 10\), altså når kraften fra planeten er ti ganger større enn kraften fra solen, kan vi si at vi er tilstrekkelig nærme!

\(F_{planet} = F_{stjerne} \cdot k\) Vi kan videre bruke Newtons gravitasjonslov til å finne et utrykk for hvor langt unna vi må være!

\(G\frac{M_{planet}M_{rakett}}{l²} = G\frac{M_{stjerne}M_{rakett}}{r²} \cdot k\)

Snur vi om på denne får vi at avstanden \(l\) fra planeten er:

\(l = r \sqrt{\frac{M_{planet}}{k\ M_{stjerne}}} = |\vec{r}|\sqrt{\frac{M_{planet}}{k\ M_{stjerne}}}\)

Vi ser her at dersom k blir større så vil, hele utrykket for \(l\) bli større! Dette passer veldig godt, da konstanten k er proposjonaliteten mellom de to tyngdekraftene! Okei nå har vi mange, interessante og nyttige ting som alle forbereder oss til vår oppskytning!

Så nå, kjære blogglesere, er vi nesten kommet til den delen hvor vi avslører vårt fantastiske reisemål! Planeten vi reiser til blir....

...

 

...

 

...

 

...

avslørt i neste innlegg!

 

 

 

Forrige innlegg                                                                                                      Neste innlegg

Publisert 30. sep. 2020 22:00 - Sist endret 1. okt. 2020 11:40
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere