HOW TO KNOW IF YOUR MAN IS A HO(E)H!!!

Hei, bloggen!

En romreise består av periodevis ukontrollert sveving gjennom universet,
kun brutt opp av regelmessige boosts for å korrigere rakettens kurs.
Vi skal snart la oss selv drive gjennom det store, skumle vakuumet, med kun
et bekymringsverdig tynt lag aluminium som beskyttelse...


Bildet kan inneholde: himmel, atmosfære, gul, natt, rom.Men før vi gjør noe som helst mer, må vi finne ut hvilken vei vi skal reise! Så lenge vi har en plan som vi kan justere oss etter underveis på reisen, finnes det vel en grense for hvor galt det kan gå... ...?

Det går ingen motorvei direkte til Froderia, dessverre, og derfor må vi sette oss ned og finne den beste veien sjæl! Selv om vi i praksis sikkert kommer til å havne ut av kurs, og måtte revurdere reiseplanen vår, kan det ikke skade å ha en plan på forhånd. 


Vi har lest litt om noe som kalles en Hohmann transfer orbit. Denne fiffige teknikken (som er den mest økonomiske måten å reise i rommet på) ble offentliggjort av den tyske jordboeren Walter Hohmann i 1925, og baserer seg løst på å late som man er en planet.

Bildet kan inneholde: tekst, oransje, illustrasjon, frukt, himmel.


Med dette mener vi at man må lage seg sin egen ellipsebane mellom hjemplaneten og mål-planeten. Gjør man dette på en tilfredsstillende nok måte, vil man (utenom to boosts fra raketten sin) kunne flyte på gravitasjonskrafta helt fram til målplaneten! Spenstig! 


              Okay, men hvordan?

Bildet kan inneholde: sirkel, smil, uttrykksikon.


Vi ønsker at perihelion av ellipsebanen
til raketten skal tangere Mørkerius sin planetbane, mens aphelion skal tangere Froderia sin planetbane. Altså at vi lager denne halve ellipsen ved planetenes største avstandspunkt.


Dersom du trenger en oppfriskning på hvordan i alle dager en ellipse var igjen, anbefaler vi å sjekke ut dette tidligere innlegget!


Bildet kan inneholde: tekst, linje, sirkel, diagram, skrift.
Jaha!
Da kan vi jo først finne store halvakse, ved å ta denne avstanden, som er avstanden mellom Mørkerius og stjera pluss avstanden mellom Froderia og stjerna delt på to, da dette vil gi oss midtpunktet!
 



Med store halvaksen til vår transfer orbit, eller banen vi vil Bildet kan inneholde: tekst, blå, skrift, azure, linje.bruke til å reise, kan vi bruke keplers tredje lov (modifisert av Newton selvsagt!) til å finne ca. hvor lang tid vi bruker på å reise! Vår reisetid blir da P/2 som i deres Jord-år blir rundt 0.29 år, eller ca. 108 Jord-dager! Så vi må smøre oss med tolmodighet på denne reisen!
 

Men denne reisetiden... er den så lang i forhold til andre romreiser?
Vel, dersom dere jordboere reiser fra Jorden til Mars tar det ca. syv
måneder, og dersom dere ønsker å reise til Jupiter så tar det 1.65
Jord-år...så vår reisetid er i det store og det hele ikke særlig lang i
det hele tatt! Men vi Mørkerianere er litt utålmodige vesner, og vi vil
bare komme oss avgårde!...

 

Videre vet vi at hastigheten til Mørkerius og hastigheten til Froderia er gitt ved;

\(v_1 = \sqrt{\frac{GM_{stjerne}}{r_1}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v_2 = \sqrt{\frac{GM_{stjerne}}{r_2}} \)

Ehhhhh, hvor fikk fikk dette fra? Jo, dersom vi har Newtons gravitasjonslov og Newtons andre lov, ooog vet at sentripetalakselerasjonen er \(\frac{v²}{r}\), kan vi sette opp likningen som gav oss hastighetene:

\(G\frac{Mm}{r²} = m \frac{v²}{r}\)

Hvorfor trenger vi denne hastigheten, spør du? Jo, så fint at du spør! Vi trenger denne fordi vi ønsker å regne ut de to endringene i hastighet vi trenger i løpet av reisen! Den ene for å komme oss inn på vår transfer orbit fra banen til Mørkerius, og den andre for å komme ut fra vår transfer orbit og inn i bane rundt Froderia! Disse hastighetsendringene, \(\Delta v\), blir slik:

Bildet kan inneholde: hvit, tekst, linjekunst, hode, skrift.

     (Dersom du ønsker å se mer på utregningen vi gjorde for å komme oss hit, trykk her!)

 

Så når vi har alt dette, hvordan finner vi et godt tidspunkt for oppskytning?

Jo, vi ønsker nå å finne tidspunktet der Mørkerius og Froderia er med en vinkel theta fra hverandre. Denne definerer vi slik vi ser på tegningen. (Denne P-en er ikke den vi har for vår Hohmann transfer orbit, men heller Forderias omløpsperiode! Vi regner ut denne med akkurat samme formel som over bare med verdiene til Froderia!)

Vi får da altså:

\(\begin{align*} \theta &= 180 ^\circ- \frac{T \cdot 360^\circ}{P_{Froderia}} \\ \\ &= 180^\circ - \frac{0.29 \ \text{Jord-år}\cdot 360^\circ}{0.97 \ \text{Jord-år}} \\ \\ &= 72^\circ \end{align*}\)

 

 

 

Det vi ønsker å gjøre er å kjøre gjennom hele vår simulering for planetbanene våre og se hvilket tidspunkt er det denne vinkelen er \(72^\circ\). Men, hvordan i alle dager gjør vi dette? Vel du stiller gode spørsmål, og det har seg slik at vi brukte timesvis på å skjønne hvordan vi skulle få til dette... Det viser seg at vi bare rettt og slett ikke hadde fulgt godt nok med under timene på videregående... Husker du en fin liten formel som går slik?

\(\cos{\theta} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\)

Du vet den som gir oss vinkelen mellom to vektorer...

Vel... det gjorde ikke vi... så vi er litt redde for å skyte oss selv inn i det store verdensrom med alle dets utfordringer når dette ikke sitter en gang... Men, men. Alle må jo få prøve her i verden!

Vi brukte altså denne (uhuskbare) formelen til å finne vinkelen ved å bruke \(\arccos \theta = cos^{-1} \theta\), deretter bruker vi minste kvadraters metode for å finne vinkelen som er mest lik vår vinkel, \(72^\circ\). Hmm, dette hørtes jo overkommelig ut! Vel... Kjenner du oss rett, vet du at dette ikke var rett frem... Vi surret.. og vi surret.. og vi surret.. Det viser seg at denne vinkelen er sann flere forskjellige punkter i planetbanene men det er bare noen vi vil ha..

Derfor bestemte vi oss for å gjøre den drastiske beslutningen av at vi printet ut tidspunktene der disse vinklene inntraff, og sjekket banene vi fikk for hver verdi, med metoden vi beskrev i forrige innlegg. En tidkrevende, men sjokkerende nok, fungerende metode!

Vi kjørte da på med denne metoden for å finne vinkelen som til slutt gav oss åtte tidspunkter. Vi forsøkte oss da på de første fire tidspunktene, for en av dem måtte jo passe!

0.33 Jord-år 0.55 Jord-år 1.09 Jord-år 1.85 Jord-år

Husker du simulerings-funksjonen vi lagde i forrige innlegg? Vel, nå er den perfekte tiden å bruke den, fordi vi kan plotte bevegelsen for disse tidspunktene og se når vi er nærmest! Og kanskje muligens justere dersom det er nødvendig, som det mest sannsynlig er når vi gjør slike ting...hehe

En liten side-info for å tolke disse plottene er at våre planeter roterer mot klokken! :)

 

 

 

 

0.33 Jord-år

Bildet kan inneholde: tekst, sirkel, diagram, linje, plott.

 

 

 

 

0.55 Jord-år

Bildet kan inneholde: tekst, diagram, sirkel, plott, linje.

 

 

 

 

1.09 Jord-år

Bildet kan inneholde: tekst, sirkel, diagram, linje, plott.

 

 

 

 

1.85 Jord-år

Bildet kan inneholde: tekst, sirkel, diagram, linje, plott.

 

En liten side-info til: Disse plottene sier ikke "AU" fordi de har vondt! Det er bare måleenheten vår (Astronomical Unit) som er like lang som avstanden fra Sola til Jorda. ;)
 

Det vi ønsker er det plottet der vår rakett kommer nærmest planetbanen til Froderia, og dette ser vi tydelig at er i det andre plottet, altså for en starttid på 0.55 Jord-år! Men den er ikke helt der vi ønsker den skal være, og derfor øker vi tidssteget en smule og ser hva som skjer!

Etter en par forsøk prøvde vi på starttidspunktet 0.558 Jord-år og fikk dette plottet:

Bildet kan inneholde: tekst, sirkel, diagram, linje, plott.

Hallooooo!!! Se der, vi er jo helt oppi planeten vår!!!! Dette må jo være et veldig godt steg i riktig retning! Men... hvordan vet vi hvor nærme vi skal være? Jo, Husker du fra et tidligere innlegg at vi regnet ut en avstand \(l\) fra planeten vi ønsker å være for at vi skal kunne havne i bane rundt planeten? Vel denne formelen går slik: \(l = |\vec{r}| \sqrt{\frac{M_p}{10M_s}}\), vi ønsker da at vår avstand fra planeten skal være mindre enn \(l \). Vi regner ut og får:

\(l\): vår avstand:
0.030 AU 0.028 AU

Jaa!! Avstanden vår er mindre enn \(l\), og vi kan dermed fastslå at vår plan er en ihvertfall tålelig god en!

 

Med det har vi altså et tidspunkt som passer meget godt i følge vår simulering!!! Kult, ikke sant? Da er det å vente til planetene er der vi ønsker at de skal være og så, mine damer, herrer og intergalatiske vesner, skal vi starte vår romreise!!!

Bildet kan inneholde: blå, fiolett, lilla, grafisk design, illustrasjon.



Forrige innlegg                                                                        Neste innlegg

Publisert 30. okt. 2020 16:13 - Sist endret 30. okt. 2020 16:13
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere