ER DU USTABIL?!? HER HAR DU FEM TIPS!

    Hei, bloggen!


            Vi har faktisk nådd Froderia!!

Bildet kan inneholde: svart, astronomisk objekt, himmel, astronomi, himmelsk begivenhet.


Du husker kanskje at vi nevnte å ta det rolig i noen uker og se på TV under den knirkefrie reisen vår? Som du sikkert leste i forrige innleggble det ikke helt sånn.
Da vi hadde kommet helt til Star Trek sesong 3
, ble vi plutselig oppmerksomme på
at banen vår ville føre oss rett ut i det tomme, ytre rom dersom vi ikke handlet med
en gang!


Dette førte til et febrilsk panikk-boost i sånn ca. riktig retning - ish, som igjen førte
til enda flere boosts for å korrigere banen. Den originale planen vår ble etterhvert
pent ignorert, ettersom vi måtte gjøre nye beregninger og simuleringer underveis.


Etter mye panikk, bekymrede telefoner hjemmefra og litt heltemodig innsats,
er vi nå endelig fremme ved Froderia, skjønt med litt større hastighet enn vi planla. 



Vi tar oss et langt, kollektivt utpust, før vi begynner å tenke på å booste oss inn i bane rundt Froderia! Vi venter først til vi har nådd en viss avstand \(l\)  (som vi regnet ut i dette innlegget), og deretter kan vi gjøre et siste boost som gir oss en ellipsebane rundt planeten. 
 

Vi sier ellipsebane, men egentlig vil vi helst ha en så sirkulær bane som mulig. 
Den vil være mer stabil jo mer sirkulær den er. (Altså ønsker vi oss en ellipse 
med så lav 
eksentrisitet som mulig.)
 

Boosten vi trenger for å gå i bane er gitt ved:
 

\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_{ønsket} - \vec{v}_{ekte}\)


boosten = den ønskede hastigheten vår (i riktig retning)den nåværende hastigheten vår.

Den ønskede hastigheten er den hastigheten vi ville hatt dersom vi gikk i en ellipsebane akkurat nå. Vi finner denne ved å regne ut:
 

 \(\vec{v}_{ønsket} = \pm \ \vec{e}_{\theta} \ v_{stabil}\)

 

Her ble det kanskje litt vel gresk, men med Vanlige Ord™ betyr dette at hastigheten vi ønsker oss må ha tangensiell retning i forhold til Froderia, som vil si at vi hele tiden beveger oss rundt planeten. I tillegg sier formelen at farten \(v_{stabil}\) ikke kan være for høy eller lav, men akkurat passe, slik at vi forblir fanget av Froderias gravitasjonskraft. 

\(\pm\) - notasjonen betyr at hvis vi nærmer oss planeten fra innsiden, må vi booste i negativ retning, og hvis vi nærmer oss fra utsiden, booster vi i positiv retning. Det mest ideelle for oss er å nærme seg planeten fra utsiden, for da er vi på vei inn i en bane med samme retning som planetens rotasjon rundt seg selv. Dette gjør det mye enklere for oss når vi snart skal lande på planetens overflate. 

Denne \(v_{stabil}\) - farten kan virke litt mystisk. Vi gjorde noe liknende i dette innlegget , men vi tar en rask gjennomgang her. 


Vi kombinerer Newtons gravitasjonslov:  \(F = G\ \frac{M\ m}{r^2} \) 
(der M er massen til planeten, m er massen til raketten og r er avstanden mellom dem)


og uttrykket for sentripetalakselerasjon:   \( a = \frac{v_{stabil}^2}{r} \)

og setter dem inn i Newtons 2. lov:           \(F = m\ a\)


og får dette:                                           \(G\ \frac{M\ m}{r^2} = m \frac{v_{stabil}^2}{r}\) 

som vi kan bruke for å finne farten:       \(v_{stabil} = \sqrt{ \frac{G\ M}{r} }\)


Slik fant vi altså alt vi trengte for å regne ut vår aller siste boost! Men av grunner som du sikkert selv forstår, valgte vi å simulere denne boosten før vi prøvde den på raketten vår. 

Her har vi forresten Mørkerius i grønn, Froderia i orange og vår rakettbane i rød!
Bildet kan inneholde: tekst, linje, plott, sirkel, skrift.Bildet kan inneholde: tekst, linje, skråningen, parallell, plott.



Jepp, se der, ja... 
En forferdelig simulering. Daglig kost for alle som er involvert i astrofysikk på noen måte. Vi legger til hastigheten til Froderia i utregninga vår, sånn at vi ikke stopper opp... Og så prøver vi igjen:

Bildet kan inneholde: tekst, linje, plott, sirkel, skrift.

                     Bildet kan inneholde: tekst, linje, plott, skråningen, parallell.




               
  Sånn, ja.
 









Her følger vi en bølgete bevegelse langs banen til Froderia. Slik vil en ellipsebane rundt en planet se ut i forhold til resten av planetsystemet.

 

 


For å plotte bane rakettens bane rundt Froderia trekker vi planetens posisjon fra rakettens, og så ser vi kun på denne vektoren i forhold til origo. Vi har da altså gått fra å se på stjerna vår som origo til å se på Froderia som sentrum i universet vårt, noe som vi stiller oss veldig positive til!

Bildet kan inneholde: tekst, sirkel, diagram, linje.

Se der ja! Det ser jo nesten ut som en perfekt sirkel, og sa ikke vi at vi kom til å få en ellipsebane? Jo, men som vi nevnte over, så er en sirkelbane en mye mer stabil bane enn en ellipsebane! Så det ser ut som vi har fått til noe riktig! Men kanskje vi skal sjekke hvor <bra denne banen egentlig er før vi klapper oss selv på ryggen?


Oppfriskning av ellipser kan du lese her!


Ja, det er en god ide! Vi kan først begynne med å finne apoapsis og periapsis, altså den minste og største avstanden fra brennpunktet. Så vi bruker altså disse avstandene vi brukte i plottet til å finne apoapsis og periapsis!

Apoapsis

Periapsis

0.0001254 AU

0.0001256 AU

Se der, ja! Det var ikke store forskjellen mellom de to! Det er faktisk bare 29 Jord-kilometer som skiller disse avstandene, og med tanke på at vår avstand fra Forderia ligger på ca. 18 000 Jord-kilometer så er ikke dette mye! Så det er veldig bra.


For referanse ligger en av dere Jordboeres satellitter rundt 36 000 km unna deres Jord!


Nå som vi har disse to avstandene kan vi bruke disse til å finne vår store halvakse! Dette gjør vi simpelt med \(a = \frac{apoapsis\ + \ periapsis}{2}\) . Vi setter inn våre verdier og får: \(0.0001255 \) AU. Ja, det var jo ikke et stort sjokk.. Men fortsatt helt sykt kult at vi har fått slik en flott bane som nesten er en sirkelbane!!

Det kule vi kan finne ut nå er hvor lang tid vi bruker på en runde rundt Froderia. Men...kan dere ikke bare se på klokka? Jo, jo det kan vi, men tid er relativt og greier, og vi vil bare bruke den kule formelen til Kepler med hjelp av Newton!

Vi får da at vår periode er: \(P = 0.00197\) Jord-år, altså rundt 17 av deres Jord-timer!
Kult, ikke sant?

 

Videre kan vi sjekke ut nettop hvor elliptisk vår bane er ved å finne eksentrisiteten . Denne kan vi finne med en konstant c som er vår avstand mellom brennpunktet i ellipsen og midtpunktet i ellipsen. Vi har også at eksentrisiteten er gitt ved:

apoapsis - a = c                                 e = c / a

Dermed kan vi finne et utrykk for eksentrisiteten med våre verdier! \(e = 0.00081 \). Jaha, så det er altså ganske lite eksentrisitet, som stemmer med vår meget sirkulære bane!

 

Helt til slutt kan vi finne et utrykk for lille halvakse. Denne er gitt ved \(b = a \sqrt{1 - e²}\), som med våre verdier gir oss \(b = 0.0001255 \)AU!

En annen ting vi tenkte på når vi gjorde dette var: hva om vi kunne finne vår lille halvakse uten å bruke eksentrisiteten? Vi tror vi fant en ganske interessant metode, selv om det kanskje ikke er den enkleste. Hva om vi bruker store halvakse som en vektor som går fra midten av ellipsen til apoapsis, og så roterer vi den 90°, slik at den peker rett opp. Og så ser vi på skjæringspunktet mellom denne vektoren og vår bane. For dette må jo være vår lille halvakse!


En aller siste ting vi kan gjøre for å se hvor langt det er mellom Froderia og massesenteret i ellipsen. (Her støter vi på tolegemeproblemet igjen...) Intuisjonen sier jo at denne ikke har flyttet stort på seg, men vi kan jo sjekke uansett, for en vet aldri helt med oss... Vi bruker da:

\(\vec{r_1}^{cm} = - \frac{\mu}{M_{Froderia}} \vec{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{r_2}^{cm} = \frac{\mu}{M_{rakett}} \vec{r}\)

Der \(\vec{r_1}^{cm} \) er avstanden fra brennpunktet i ellipsen til Froderia mens \(\vec{r_2}^{cm}\) er avstanden fra brennpunktet til vår rakett!

\(\vec{r_1}^{cm} \) \(\vec{r_2}^{cm} \)
\((1.3 \cdot 10^{-25}, \ \ 1.3 \cdot 10^{-26})\) \((-1.3 \cdot 10^{-04}, -1.2 \cdot 10^{-05})\)

Dersom vi ser nermere på \(\vec{r_1}^{cm}\)så ser vi at denne er fryktelig nære null, så våre forventninger stemmer!

 

Det er så sykt mye spennede vi kan gjøre når vi er i bane rundt Froderia, og allerede i neste innlegg skal vi studere Froderia ennå litt nærmere, og det gleder vi oss selvsagt masse til!!
Men til slutt; med en gang vi havnet i bane tok et revolusjonerende flott nærbilde av Froderia, og dette skal vi selvfølgelig dele med dere! 
 

Bildet kan inneholde: verdensrommet, astronomisk objekt, atmosfærisk fenomen, astronomi, atmosfære.

 

 

 

Forrige innlegg                                                                        Neste innlegg

Publisert 30. okt. 2020 16:14 - Sist endret 21. nov. 2020 15:42
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere