OVER ANALYZING? Here's what you need to do: Part 2!!!

Hei, bloggen!


Bildet kan inneholde: tekst, linje, design, skrift.

OK. I det forrige innlegget vårt ga vi dere masse info, men hva er det vi skal fram til? Jo, vi ønsker å finne ut hva atmosfæren består av, slik at vi kan lage temperaturen og tettheten 
som funksjoner av høyden vår i atmosfæren. 
 

Okei, hva gjør vi nå?




Først og fremst begynner vi med å gjøre masse målinger, og da snakker vi masse! Dette gjør vi med vår innebygde fluks-målings-software. Det denne gjør er at den gir oss fluksen (som vi snakket om her) i hver bølgelengde. Altså mottatt lys for hver farge på spekteret. I tillegg noterer vi oss hvor nøyaktige målingene er for hvert steg. (Dette baserer seg på vårt kjærlige og familiære forhold til måleapparatene våre, da vi vet at de er akkurat slik som oss, upålitelige.) Da sitter vi altså igjen med masse verdier for fluks per     bølgelengde. Og da kan vi jo bare plotte disse mot hverandre!Bildet kan inneholde: plott, tekst, linje.

 

Eller, hmmm det var vel ikke så lett å tyde noe fra den grafen der...

Jaaa... Det vi nå må gjøre er at vi rett og slett må dele den opp i mindre deler! Vi ser da på bølgelengdene 
som er relevante kun for de spektrallinjene vi leter etter.

Fluksen er i dette tilfellet skalert, det er det vi kaller den normaliserte fluksen, og den har derfor ingen enhet.

 

Men hvilke bølgelengder er det vi skal se etter?

Gass Spektrallinje
Oksygen 632 nm,  690 nm,  760 nm
Vanndamp 730 nm,  820 nm,  940 nm
Karbondioksid 1400 nm,  1600 nm
Metan 1660 nm,  2200 nm
Karbonmonoksid 2340 nm
Lystgass 2870 nm



Jo, her er en liten tabell for en litt bedre oversikt!

Dette er altså de spektrallinjene der vi observerer en absorpsjonslinje for de gitte gassene til venstre!

Dette vet vi ut i fra tidligere gjennomførte eksperimenter rundt om hele universet!

 



Men kan vi bare se på akkurat disse bølgelendene? Vil det gi oss et godt svar?
Nei.. Det vil det ikke, fordi som vi tidligere har snakket om (her), vil det være en dopplerforskyvning. Dette vil føre til at vi må se på et område rundt denne antatte spektrallinja. Men, hvordan finner vi denne forskyvningen? Jo vi ser på endringen i frekvens, altså dopplerforskyvningen, som vi vet er gitt ved:

\(\Delta \lambda_{max} = \frac{v_r}{c}\lambda_0\)

Vi vet at den øvre hastigheten vårt romskip kan ha når vi observerer disse bølgelengdene er 10 km/s. Dermed kan vi regne ut maks forskyvning for alle bølgelengdene våre! Vi har da \(v_r = 10\) km/s, c som er lyshastigheten og \(\lambda_0\) blir den forventede bølgelengden. La oss ta for oss fire av bølgelengdene og se hva forskyvningen blir:

Gass: Oksygen: 632nm Vanndamp: 720nm Metan: 1660nm Lystgass: 2870nm
\(\Delta \lambda_{max} =\) \(6.3 \cdot 10^{-7}\) nm \(7.2 \cdot 10^{-7}\)nm \(1.6 \cdot 10^{-6}\)nm \(2.9 \cdot 10^{-6}\)nm

Se der ja, desto lengre bølgelenden er, for eksempel lystgass, desto større blir \(\Delta \lambda_{max}\) .
Dette ser vi fra formelen for maks forskyving: \(\Delta \lambda_{max} = \frac{v_r}{c}\lambda_0\) . Her øker \(\Delta\lambda_{max}\) hvis \(\lambda_0\) øker.

Okei, nå har vi området vi ønsker å se på, altså bølgelengden vår \(\pm \Delta \lambda_{max}\). Det vi nå kan forsøke er å plotte ett av områdene for å se om vi er på nogenlunde rett spor, la oss se på oksygen ved bølgelengden 632nm.

Bildet kan inneholde: tekst, plott, linje, skrift.


Ja, se der, ja! Dette var jo litt lettere å tolke enn det første! Nydelig!! Da kan vi sette i gang å prøve å lage en modell for å finne våre spektrallinjer. Dette husker du kanskje at vi snakket om i forrige innlegg? (trykk her for en illustrasjon) Vi har altså denne gaussiske linje-profilen (modellen som vi fant i forrige innlegg!) som så slik ut:

\(F = 1 + (F_{min} - 1)e^{-\frac{1}{2} (\frac{\lambda - \lambda_0}{\sigma})^2}\)

Her er \(F\) = fluksen, \(F_{min}\) = minste mulige fluks, \(\lambda\) = målt bølgelengde, \(\lambda_0\) = bølgelengden til den forskjøvede spektrallinja og \(\sigma\) = standardavviket til "duppen" i modellen vår. 


Dersom du er som oss og har lurt lenge på hvordan disse rare greske bokstavene sies så er \(\lambda\) = "lambda" mens \(\sigma\)= "sigma" :)

Vi ønsker altså å finne de verdiene for \(F_{min}\)\(\lambda_0\) og \(\sigma\) som er den beste tilpasningen av den gaussiske linje-profilen!

 

Men hvordan gjør vi dette?

Jo, først og fremst sier vi at \(\lambda_0\) kan være alle verdier mellom denne \(\pm \Delta \lambda_{max}\) grensen vår, og vi lager derfor en rekke verdier som ligger mellom der. \(\lambda_0\) vil være x-koordinaten til bunnpunktet på grafen vår. Når vi løper igjennom alle \(\lambda_0\) -verdiene vil modellen i praksis flytte seg bortover langs x-aksen. 

Deretter ser vi på \(\sigma \), denne finner vi ved en flott liten utledning (dersom du vil se denne finner du den her!). Og formelen blir slik:

\(\sigma \ = \ \frac{\lambda_0}{c} \sqrt{\frac{kT}{m}} \)

 

Her er en liste over hva de forskjellige konstantene og greiene betyr!:

  • \(\lambda_0\) er (bare i dette tilfellet!) den forventede bølgelengden som du kan se i den første tabellen i dette innlegget. 
  • \(c\) er lyshastigheten som vi vet er 299 792 458 m/s
  • \(k\) er Boltzmann-konstanten (1.38064852 × 10-23)
  • \(m\) er massen til partiklene i gassen
  • \(T\) er temperaturen

Temperaturen vil her være mellom 150K-450K, som er fra -123°C til 176°C,
en av grunnene er nettop det at dersom man går under 150k så vil for eksempel oksygen bytte form og gå over til å være væske. Men hovedgrunnen er at verdier for temperaturen utenfor dette området er veldig lite realistiske, da for eksempel vår overflatetemperatur på Froderia er 215K!

Okei, så da har vi alle verdiene vi trenger for \(\sigma\) og vi setter denne, slik som vi gjorde \(\lambda_0\), til å være en rekke verdier, regnet ut med temperaturer fra 150K til 450K.

 

Sist, og også minst, vil vi se på \(F_{min}\). Denne variabelen gir oss y-verdien til bunnpunktet i spektrallinje-"duppen" på modellen vår. Vi vet at de fleste spektrallinjer i universet holder seg på \(F_{min}\) -verdier fra 0,7 til 1. Derfor setter vi \(F_{min}\) lik en mengde tall fra 0,7 til 1. 
 

Det vi skal gjøre nå er å løpe gjennom alle verdiene vi av \(F_{min}\)\(\lambda_0\) og \(\sigma\) , og finne de tre som gir oss en modell som likner mest mulig på en spektrallinje. Den metoden vi skal bruke kalles \(\chi\)-kvadrat metoden! (Her kom altså den "kji"-en inn...)

Vi har også en modell som gir oss det som likner mest på en spektrallinje på grafen vår. Dette betyr at den kommer til å modellere en spektrallinje i hvert eneste tilfelle, men det betyr IKKE at det egentlig er en ekte spektrallinje vi ser på! Dette må vi selv finne ut av etterpå, når vi har alle plottene og kan sammenlikne dem med utregnede temperaturer og sånn.
 

Men... hva i alle dager er denne \(\chi\)-kvadrat metoden?!?
Vel, den er ikke så ulik en metode vi har brukt før, nemlig minste kvadraters metode! (som vi har snakket om her!) Det vi til syvende og sist ønsker å finne ut av er hvilken tilnærming (modell) av fluksen som er mest lik den observerte fluksen! Så vi kan da skrive dette inn i formelen for \(\chi\)-kvadrat:

\(\chi^2 = \sum_{i=1}^N \Big( \frac{Fluks_{observert} - Fluks_{modell}}{\sigma_i} \Big)^2 \)

Her er \(\sum\) et tegn for at vi summerer alle disse!

Okei, hva er \(\sigma_i\) for noe i dette tilfellet? Jo, den er støyen på grafen vår, som du kanskje husker at vi snakket om i forrige innlegg? (her!) Derfor kan vi omtale denne som \(\sigma_{støy}\). Denne har vi jo fra før, fordi som sagt kjenner vi til hvor upålitelige måleapparatene våre er! Nå som vi har den observerte fluksen og støyen gjenstår det jo bare å kjøre alle modellene for fluksen gjennom \(\chi\)-kvadrat-metoden. Den modellen som gir oss aller minste verdi for \(\chi^2\), er den aller beste tilnærmingen. 

 

SÅÅÅ hva er det vi gjør sånn virkelig liksom??

Vi kan forestille oss det slik:  \(F_{min}\)\(\lambda_0\) og \(\sigma\) har alle tre verdier hver, for eksempel 1, 2 og 3. Vi sjekker da først med

\(F_{min} = 1\)\(\lambda_0 = 1\) og \(\sigma = 1\)

Og ser hva \(\chi\)-kvadrat gir oss. Deretter prøver vi

\(F_{min} = 1\)\(\lambda_0 = 1\) og \(\sigma = 2\)

Okei, dersom vi ga oss en mindre verdi, vet vi at for verdiene \(F_{min} = 1\)\(\lambda_0 = 1\) og \(\sigma = 2\), har vi en bedre modell enn for vi \(F_{min} = 1\)\(\lambda_0 = 1\) og \(\sigma = 1\)! Dette gjør vi videre for alle verdiene av  \(F_{min}\)\(\lambda_0\) og \(\sigma\) til vi til slutt finner det som gir minst verdi i \(\chi\)-kvadrat!

(Når en datamaskin gjør dette bruker den selvsagt flere verdier enn i dette eksempelet, da!)

Hvis vi bruker dette eksempelet er det 27 mulige kombinasjoner av  \(F_{min}\)\(\lambda_0\) og \(\sigma\)!  (\(3 \cdot 3 \cdot 3\)), så desto flere verdier vi har for hver enkelt variabel, desto flere beregninger må til!

 

Da kan vi jo bare sette maskinen vår igang og se hva som skjer.

Molekyl Bølgelengde Temperatur Fluks
Oksygen 632 nm 187 K 0.79
Oksygen 690 nm 450 K 0.86
Oksygen 760 nm 450 K 0.87

Vanndamp

720 nm 450 K 0.95
Vanndamp 820 nm 450 K 0.89
Vanndamp 940 nm 213 K 0.90
Karbondioksid 1400 nm 450 K 0.81
Karbondioksid 1600 nm 150 K 0.84
Metan 1660nm 150 K 0.92
Metan 2200 nm 450 K 0.93
Karbonmonoksid 2340 nm 450 K 0.98
Lystgass 2870 nm 373 K 0.95

Jaha, ja.... så da fikk vi denne tabellen her ja... Det var jo noen flotte tall.... Men hva i alle dager betyr dette?  La oss ta den litt fra hverandre, ved å se på en ting om gangen. Først og fremst, hvordan fikk vi temperaturen? Sa ikke vi at den var i mellom 150K til 450K? Jo, husker du vi hadde et utrykk for \(\sigma\) ? (Vi skrev om det her) Dersom vi bare flipper om på denne får vi et utrykk for temperaturen! Og vi har jo funnet en verdi for standardavviket \(\sigma\) for alle tolv bølgelengder!

\(\sigma \ = \ \frac{\lambda_0}{c} \sqrt{\frac{kT}{m}} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ T \ = \ \frac{m\sigma^2c^2}{k\lambda_0^2} \)

Tilbake til tabellen:
Vi ser med en gang at vi har fått flere ulike temperaturer i målingene våre. Dette er et rødt flagg; vi vet at alle gassene i atmosfæren skal ha ca samme temperatur! Da må vi begynne elimineringsprosessen! 

Vi ser først på alle de 12 plottene våre, og finner de som ser mest ut som ekte spektrallinjer... kanskje ikke den beste fremgangsmåten, men vi tror nok at den kan være pålitelig i noen tilfeller. Dette plottet utmerket seg:

Bildet kan inneholde: tekst, plott, linje, skråningen, skrift.



Her ser vi at vi får en tydelig dypp i både den observerte fluksen og den modellerte fluksen! Det er et veldig godt tegn på at vi har denne gassen i atmosfæren vår, så denne spektrallinja antar vi altså er riktig. Vi ser at den gir oss en temperatur på 450 K. Derfor eliminerer vi alle spektrallinjene i tabellen som har temperaturer langt unna denne. 

PS! Som en flott liten ettertanke, etter en god natts søvn (med faktisk 8 timers søvn!), er det jo litt rart at Froderias overflatetemperatur er 215K og vi har konkludert med at alle gassene som befinner seg utenfor denne overflateten plutselig hadde mye høyere temperaturer (på 450K)... Så det blir varmere desto lenger bort fra planeten man kommer.... Dette gir ikke helt mening, og har fått oss til å tenke at kanskje vi har tenkt litt feil...

Ja, jaa vi tenkte feil.. Vi faktisk bare rett og slett feil.. Det viser seg jo hvis man faktisk ser på tabellen at den aller første gassen, oksygen, ved bølgelengde 632 nm ikke hadde en temperatur på 450 K, men heller en temperatur på 187 K. Dette gir jo mye mer mening med vår overflatetemperatur!! Vi bestemmer oss da for at vi ser bort i fra alle gassene ved temperaturer rundt 450 K i stedet!

Da sitter vi igjen med disse: 

Molekyl Bølgelengde Temperatur Fluks
Oksygen 632 nm 187 K 0.86

Vanndamp

940 nm 213 K 0.90
Karbondioksid 1600 nm 150 K 0.84
Metan 1660nm 150 K 0.92

For en liten referanse kan vi vise dere et av de litt mer shady plottene vi fikk! Dette er plottet vårt for karbonmonoksid:

Bildet kan inneholde: tekst, plott, linje, diagram.

Her ser vi at modellen vår er en veeeldig liten "dupp" med en fluks på 0.98, som er veeeldig nære 1 (og derfor nære ingen fluksendring).. Vi ser heller ingen andre tydelige signaler i plottet på at denne gassen finnes i atmosfæren vår og vi kan derfor tydelig avskrive karbonmonoksid!

Med de verdiene på de gassene vi har igjen ser vi ikke store grunner til at de ikke er i atmosfæren... Fluksen er innenfor det vi tenker er gode verdier (mellom 0.7 og 1) og temperaturene har rundt 60 K forskjell noe som virker helt innenfor med tanke på at på deres jorklodes Mount Everest er temperaturen rundt -25°C, og om gjennomsnittstemperaturen er 10°C så er jo det en differanse på 35°C! Så vi tenker, med våre gjennomsnittlige beslutningsferdigheter at dette må være nogenlunde rett svar!

Vi kan derfor konkludere, uten å være i nærheten av bombesikre, med at vi sitter igjen med disse gassene i atmosfæren vår:

Gasser: Bølgelengder de er observert på:
Oksygen  \((O_2)\) 632 nm
Vanndamp \((H_2O)\) 940 nm
Karbondioksid  \((CO_2)\) 1600 nm
Metan  \((CH_4)\) 1660 nm

Her ser det lovende ut for å finne jord-liknende liv! Metan er
en gass som dannes av geologisk aktivitet eller biologiske
prosesser, og vann er jo som vi vet et godt grunnlag for liv. 

 

Med disse antagelsene kan vi så bestemme gjennomsnittlig molekylmasse!

Den gjennomsnittlige molekylmassen er massen til partikler i en gass målt i hydrogenmasser! Og når vi nå har antatt at Froderia har gassene i tabellen over, i sin atmosfære, kan vi regne ut dette.

 \(\mu = 0.25 \frac{m_{O_2}} {m_H} + 0.25 \frac{m_{H_2O}} {m_H} + 0.25 \frac{m_{CO_2}} {m_H} + 0.25 \frac{m_{CH_4}} {m_H} \approx 33,962\)

Her er \(\mu\) den gjennomsnittlige molekylmassen oppgitt i hydrogenmasser, \(m_H\) er hydrogenmassen, og alle ganges med 0,25, siden atmosfæren består av 25% av hver av de ulike gassene.  

 

Men... kunne vi ha gjort noe som hadde ført til bedre, og mindre "ehh vi tror dette" resultater?

Ja, ja det kunne vi... Først og fremst kunne vi ha tatt flere målinger! Dette hadde ført til at vi hadde fått flere plott for alle de 12 bølgelengdene, og dermed kunne ha sagt med større sikkerhet om gassene finnes i atmosfæren vår. I tillegg kunne vi ha tatt med oss noen bedre måleapparater som ikke hadde så mye støy. Men, det har seg jo sånn at vi har ikke allverdens med tid, vi ønsker jo å komme oss hjem igjen før jul! Derfor kan vi ikke bare ta en masse målinger i laang tid. Vi hadde heller ikke muligheten til å skaffe oss noe bedre utstyr da dette koster penger, og er vanskelig å få tak i!

En annen ting er jo at det finnes veldig mange flere gasser enn de få vi så på! Det kan jo godt hende at Froderias atmosfære inneholder 90% nitrogen, uten at vi har funnet ut av det. Dersom vi skulle ha sjekket for alle gasser hadde det tatt lang tid, veldig lang tid. Og vi er litt utålmodige av oss... Dette hadde rett og slett vært for tidkrevende til at resultatene hadde vært verdt det!

Bildet kan inneholde: rosa, linjekunst, ansiktsuttrykk, hode, tegnefilm.

Så hvorfor trenger vi alt dette med gasser i atmosfæren og greier?? Vel, dette kommer til å være nyttig i neste innlegg! Fordi nå som vi vet (sånn ish hvertfall) hvilke gasser som finnes i atmosfæren vår, blir vårt neste steg å modellere atmosfæren! Dette kan bli en spennende affære...hehe. Dårlig ordrim aside, følg med i neste innlegg for mer spennede info om den ufattelig kule planeten vi snart skal lande på!!



 

Forrige innlegg                                                                                                 Neste innlegg

Publisert 13. nov. 2020 14:11 - Sist endret 15. nov. 2020 13:01
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere