WHY ALL MODELS ARE SO DENSE!!

Hei, bloggen!


Nå som vi vet hva Froderias atmosfære er bygd opp av (sånn sirkum-sarum i hvertfall), kan vi lage en modell av atmosfæren! Vent hæ, gjorde vi ikke det i forrige innlegg? Nei, når vi sier at vi ønsker å lage en modell av atmosfæren, mener vi at vi vil se hvor stort lufttrykket og temperaturen er på forskjellige høyder over Froderia! Vi ønsker da altså å modellere atmosfæretettheten og temperaturen som funksjoner av høyden!


Bildet kan inneholde: tekst, skrift, tegnefilm, rosa, grafisk design.Dette høres vanskelig ut.. Hva er egentlig vitsen med dette? 

Dette er veldig viktig for oss! Vi skal jo etterhvert lande på denne planeten, og da vil vi helst ha en så trygg landingsprossess som mulig. Å vite sånn ca. temperaturen og tettheten i atmosfæren vil hjelpe oss med å simulere landingen nøyaktig, og lage en god landingsplan som (forhåpentligvis) setter oss mykt og behagelig ned på en lang, åpen slette. 


Bildet kan inneholde: tekst, linje.
Det blir ikke helt nøyaktig når man skal modellere såpass store ting på en såpass liten datamaskin, men uansett vil det være bedre enn å ikke prøve. 

 


Vi tar oss friheten til å gjøre en hel haug med antagelser og simplifikasjoner! Så mange at vi har laget en liste for å holde styr på alt!

  • Vi antar at atmosfæren er uniformt fordelt. Altså at siden vi har funnet at vi har 25% oksygen i atmosfæren så vil det være 25% oksygen uansett hvor i atmosfæren man er!
  • Vi antar at atmosfæren er i hydrostatisk likevekt.
  • Vi antar at atmosfæren er sfærisk symmetrisk, altså kuleformet.
  • Vi antar at atmosfæren er en ideell gass (som du kanskje husker at vi har snakket om tidligere?)
  • Vi antar at atmosfæren er adiabatisk helt opp til et punkt der temperaturen er halvparten av overflatetemperaturen, og isotermisk over dette punktet.
  • Vi antar at atmosfæren er trygg og god slik som den vi håper USA kommer til å få!

Ehhh, dersom dette var mange ord, og lite som ga mening... Frykt ikke, vi kommer til å forklare det straks! 


Så hva er alle disse greiene, og kan vi si at disse antagelsene er gode?

Vel, vår første antagelse, handler om at atmosfæren er uniformt fordelt. I virkeligheten vil nok de ulike gassene samle seg i forskjellige lag (sånn som i Jord-atmosfæren), men det blir veldig mye lettere å regne hvis vi antar at alle gassene er jevnt fordelt. Det finnes allerede veldig mange usikkerhetsmomenter når vi skal modellere atmosfæren vår, og for å få et nøyaktig resultat bør vi egentlig gjøre flere målinger. Så denne antagelsen vil gjøre at utregningene våre er litt unøyaktige, men veldig mye enklere. 
 

Med ganske stor sikkerhet kan vi si at antagelsen vår om hydrostatisk likevekt ikke bare er en en antagelse, men også et faktum. Dette fordi for at selve definisjonen av at en planet er en planet, er at den har nok tyngdekraft til at den kan være i hydrostatisk likevekt!

(Vi kommer til å forklare hva hydrostatisk likevekt er litt lenger ned i innlegget!)
 

Når vi sier at atmosfæren er sfærisk symmetrisk ,mener vi bare at den er en perfekt kule. Dette er jo ikke helt sant, med tanke på at vi har sett at Froderia har både fjell og daler. Dermed er den mer som en "ruglete" kule, men med tanke på de store avstandene vi snakker om når vi ser på planeten, så kan vi si at dette er en grei antagelse.

Du husker kanskje at vi har nevnt at de fleste gasser oppfører seg som en ideell gass dersom de er under høy temperatur og lavt trykk? Vel, dersom vi ser på Jordas atmosfære ser vi at oksygen har en temperatur på rundt 20°C, og denne temperaturen er laangt over dens kritiske temperatur (altså temperaturen der den endrer tilstand). Selv om Froderia er ganske kald i forhold til Jorda, er den ikke sååå kald. Ettersom alle gassene i atmosfæren er i gass-tilstand, kan vi dermed si at antagelsen om at atmosfæren er en ideell gass er god nok for oss!

Den lange greia om adiabatisk og isotermisk gass, handler egentlig om hvordan temperaturen endrer seg med høyden. Helt nederst langs bakken vil lufta være varmest, og så vil den gradvis bli kaldere ettersom man beveger seg oppover. I vårt tilfelle er det en tydelig grense for hvor temperaturen slutter å synke og begynner å holde seg konstant. Denne grensa er der hvor \(temperatur = \frac{1}{2} \cdot overflatetemperatur \) . 
Adiabatisk gass betyr at en gass ikke avgir eller får tilført varme. For oss betyr det i praksis at temperaturen vil synke med høyden. Isotermisk gass betyr at gassen holder en konstant temperatur.  


Okei, med alt dette i boks.. Hva skal vi liksom gjøre?

Bildet kan inneholde: tekst, linje, design, skrift.Jo! Vi ønsker å bruke vår flotte datamaskin til å regne ut hva temperaturen i atmosfæren er og hva tettheten til atmosfæren er.
Vi kan først starte med en fantastisk ting kalt hydrostastisk likevekt! Dette er det som fører til at vår flotte planet holder seg sammen og ikke knuser seg selv med all sin tyngdekraft. Det er altså gasstrykk som virker mot tyngdekraften, dette fordi gasspartiklene beveger seg med høye hastigheter og
sier noe sånt som: "Nei, vi vil være gass! Vi vil ikke være i sentrum av planeten".
 

For å ha hydrostatisk likevekt må dette være oppfylt:

\(\frac{\partial P}{\partial r} \ = \ - \rho(r) \cdot g(r)\)

Altså; endringen i trykk (P), med hensyn på avstand, er det samme som minus \(\rho\) (som er atmosfæretettheten) multiplisert med tyngdekraften g.
Her er både tettheten og gravitasjonskraften avhengig av \(r\) som er avstanden til overflaten. Når vi tenker nærmere på dette gir det veldig mening, fordi desto lengre unna man er planetoverflaten, desto mindre vil tettheten være, og det samme gjelder for tyngdekraften! Vi sier at \(g(r) \ =\ G \frac{M(r)}{r^2}\) (her er G den universielle gravitasjonskonstanten som du kanskje kjenner som \(\gamma\), avstanden er gitt ved r og M(r) er massen til alt innenfor den avstanden vi ser fra!)

Vi gjør en forenkling og antar at M(r) bare konstant er lik massen til planeten. Er denne antagelsen god, spør du? Vel, hvis vi tar deres jordklode som eksempel ser vi at atmosfæren veier rundt 5.5 kvadrillion tonn... Men dersom man ser dette i forhold til Jorda så er det bare en milliondel av jordmassen. Derfor er det ikke så ille å anta at massen er konstant lik planetmassen!

 

En annen lov vi skal bruke når vi finner denne modellen for atmosfæren, er loven for ideell gass, uttrykt ved atmosfæretettheten \(\rho(r)\) (uttalt "rho"). Denne snur vi om på slik at vi får et utrykk for  \(\rho(r)\).

\(P \ = \ \frac{\rho(r)kT}{\mu m_H} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \rho(r) \ = \ \frac{P \mu m_H}{kT}\)

Her ser vi trykket \(P\) og atmosfæretettheten \(\rho(r)\) uttrykt  ved hverandre, og noen andre konstanter. \(k\) er det vi kaller Boltzmannkonstanten, som er \(1.38 \cdot 10^{-23} m^2 kg \ s^{-2} K^{-1}\) .Bildet kan inneholde: rosa, linjekunst, magenta.



\(\mu\) (uttalt "my") er det vi kaller den gjennomsnittlige molekylmassen, som du kanskje husker at vi regnet ut på slutten av forrige innlegg (her!) ? \(m_H\) er massen til et hydrogenatom.





Sist har vi temperaturen \(T\). Men denne forandrer seg jo etter hvor langt unna overflaten man er, gjør den ikke det? Jo! Derfor kommer denne antagelsen om adiabatisk og isotermisk temperatur inn! Vi sier altså at temperaturen blir mindre og mindre helt til vi kommer til en temperatur som er halvparten av overflatetemperaturen. Deretter holder temperaturen seg konstant.

I vårt tilfelle blir det at temperaturen starter på 215K og minker litt og litt helt til den når 215K/2 som er 107.5K. Fra det punktet og utover holder temperaturen seg konstant ved 107.5K!

 

Da har vi altså disse to formlene, den ene for trykket \(P\), og den andre for atmosfæretettheten\(\rho(r)\). Det vi nå skal gjøre er å bruke Euler Cromer (dersom du ikke husker hva denne gikk ut på kan du lese her!), altså en måte å løse differensiallikninger på datamaskin! Vi ønsker først å få et uttrykk for trykket, og så putte det trykket vi får inn i formelen for atmosfæretettheten! Dette kan vi gjøre slik:

\(P_{ny} \ = \ P_{tidligere} + \frac{\partial P}{\partial r}\Delta r \)

Da trenger vi altså noen initialbetingelser!

Vel noen av disse har vi jo fått fra våre fantastiske innebygde måleredskaper i romskipet vårt! Vi vet derfor at:

  • Radiusen til Froderia er: \(r = \) 3892.9225283 km
  • Atmofæretettheten ved overflaten er: \(\rho_0 =\) 1.202448389 kg/m^3
  • Temperaturen ved overflaten er: \(T_0\) = 215 K
  • Inbyggertallet er: 2 (snart)

Det kan hende at du husker det (vi dømmer deg ikke om du ikke husker det), men vi fant denne overflatetemperaturen i et innlegg for leenge siden! (dette!)

 

Når vi har overflatetemperaturen kan vi bruke vår kunnskap om adiabatiske gasser! Det har seg nemlig slik at temperaturen til en adiabatisk gass kan forandre seg uten at den mister varme til omgivelsene! Adiabatiske gasser har denne formelen:

\(P^{(1-\gamma)}T^\gamma = C\)

Ehhhh...jaaaaa...denne ga jo masse mening... hehe... Okei, først kan vi ta for oss \(C\), denne er bare en konstant, altså at det er et tall som er konstant uansett hvor i atmosfæren man er! Videre så har vi \(P\), dette er trykket på et viss punkt, og \(\gamma\) er noe såpass fancy som den adiabatiske indeksen, dette er så fancy at til og med vi ikke har satt oss helt inn i det. Men uansett kan vi fordi vi har antatt ideell gass si at \(\gamma = 1.4\) . Tilslutt er det \(T\) , dette er temperaturen.

Siden vi har initialbetingelsene for temperaturen og trykket, kan vi regne ut konstanten \(C\)!

\(C =\ P_0^{(1-\gamma)}T_0^\gamma\ =\ 22.15 \)

Nå som vi har \(C\) kan vi finne et generelt uttrykk for \(T\) ved å snu om på utrykket over!

\(T = C^\frac{1}{\gamma}P^{(1 - \frac{1}{\gamma})}\)

Okei, med alle disse likningene, initialverdiene, og utrykket for \(T\), er vi klare til å lage en modell av atmosfæren vår! Vi setter inn i datamaskinen vår slik:

\(P_{ny} \ = \ P_{tidligere} - \rho(r)_{tidligere} \cdot g(r) \cdot \Delta r \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ T_{ny} = C^\frac{1}{\gamma} \cdot P_{ny}^{(1-\frac{1}{\gamma})} \ \ \ \ \ \text{dersom} \ \ \ T_{tidligere} > \frac{T_{overflate}}{2} \ \ \ \ \text{ellers} \ \ T_{ny} = \frac{T_{overflate}}{2}\\ \\ \rho(r)_{ny} \ = \ \frac{P_{ny} \ \mu m_H}{kT_{ny}}\)

KULT IKKE SANT!!!!!!!

Dette førte førte til de kuleste resultatene: feilmeldinger og plott slik som dette:

Bildet kan inneholde: tekst, linje, skrift.Bildet kan inneholde: linje, tekst, parallell, skråningen, plott.

 

Her skulle enhetene på aksene vært:

- Til venstre: Tetthet [kg/\(m^3\)] på x-aksen og Høyde [m] på y-aksen

- Til høyre: Temperatur [K] på x-aksen og Høyde [m] på y-aksen

 

Tjaaaa... dette var jo ikke helt det vi forventet.
 

Men hva var det egentlig vi forventet kom til å skje?

Vel, vi tenkte vi kom til å få en temperatur som sakte avtar med avstanden fra overflaten, og etter temperaturen har nådd halvparten av overflatetemperaturen forventet vi at den skulle være konstant. Dette på grunn av vår antagelse av denne adiabatiske og isotermiske temperaturen! Atmosfæretettheten forventer vi at minker desto lenger unna overflaten vi kommer, nettopp fordi at flere partikler vil være nærmere tyngdefeltet.

 

Vi brukte litt (mye) tid til å se på simuleringen vår for å finne ut av det og prøvde så på nytt!

Bildet kan inneholde: tekst, linje, skrift.

 

Bildet kan inneholde: tekst, linje, plott, skrift.

Hallooo, se der da! Det var jo akkurat det vi forventet! Temperaturen avtar lineært helt til den er konstant, og atmosfæretettheten minker sakte men sikkert til den når null!
 

Bildet kan inneholde: tegnefilm, himmel, illustrasjon.



Nå som vi har denne modellen av vår atmostfære, er vi et stort skritt nærmere å lande på Froderia! Men det store som gjenstår er å finne ut hvor det er vi skal lande. Burde vi lande i væske som dere jordboere ofte gjør? Burde vi lande høyt oppe på et fjell? Hvem vet? Ihvertfall ikke vi, så det blir spennende å finne ut i neste innlegg!


 

Forrige innlegg                                                                        Neste innlegg

Publisert 13. nov. 2020 14:43 - Sist endret 13. nov. 2020 14:43
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere