Don't land without these 2 essentials!!!!

Hei, bloggen!

Bildet kan inneholde: tekst, skrift, tegnefilm, rosa, grafisk design.


Nå som vi i hvertfall har en litt bedre forståelse av Froderia, kan vi starte med den virkelig spennende delen, landingsforberedning! Det vi ønsker å gjøre er å simulere først, gjennomføre etterpå!
Først og fremst tenkte vi da å se litt nærmere på hastigheten vi kommer til å få når vi entrer Froderias atmosfære!


 


Først skal vi se på noe som vi kaller \(\vec{v}_{drag}\)! Dette er hastigheten til landingsmodulen vår i forhold til Froderias atmosfære. Atmosfæren har nemlig også en hastighet \(\vec{w}\) i forhold til planeten! Og denne er avhengig av Froderias rotasjonshastighet.

 

Bildet kan inneholde: diagram, linje.Vi antar at hele atmosfæren på Froderia roterer med samme vinkelhastighet. Altså tar det like lang tid for den opptegnede \(\vec{w_1}\) til å bevege seg med vinkelen \(\theta\), som det tar den opptegnede \(\vec{w_2}\) å bevege seg med vinkelen \(\theta\)! Men \(\vec{w_2}\) beveger seg jo egentlig over en lengre strekning og den tangensielle hasitgheten er derfor mye større for \(\vec{w_2}\) enn \(\vec{w_1}\)
Altså, atmosfæren har en hastighet \(\vec{w}\) som varierer med høyden. 

Men er denne antagelsen om at atmosfæren har samme vinkelhastighet dum? Vel, vi vet at dersom partiklene ikke hadde forflyttet seg noe, slik at vi kunne sett på atmosfæren som et sykkelhjul så ville ikke avstanden fra midten av sykkelhjulet ha noe å si for vinkelhastigheten. Men partiklene beveger seg jo rundt omkring, og litt opp og ned og greier (det er dette som skaper kulheten kalt vær!). Og vil dærfor, teknisk sett, ikke være i en konstant hastighet. Så antagelsen gir ikke en helt god modell, men været vi ikke påvirke oss såpass mye som for eksempel atmosfæren vil, så vi velger å ta for oss dette først!


Okei, men hva vil denne \(\vec{v}_{drag}\) være?

Jo, hastigheten vår i forhold til atmosfæren vil jo selvsagt være vår hastighet minus hastigheten til atmosfæren ( i forhold til planeten). Vi definerer vår hastighet i forhold til planeten som \(\vec{v}\) og hastigheten til atmosfæren i forhold til planeten som \(\vec{w}\). Vår hastighet i forhold til Froderia har vi, men hva er hastigheten \(\vec{w}\) ? Vel, den vil jo være avhengig av hvor langt unna overflaten til Froderia vi er. Den vil være gitt som:

\(\vec{w} = vinkelhastighet_{Froderia} \cdot avstand\)

Denne avstanden har vi, men hva er vinkelhastigheten til Froderia? Vel, Vi har observert at froderia bruker rundt 2.8 Jord-dager, som er ca. 67 jord-timer, som er 241920 jord-sekunder. Vi vet derfor at antall radianer Froderia roterer per sekund er

\(vinkelhastighet = \frac{2\pi}{\text{Rotasjonsperiode}} = \frac{2\pi}{241920 \ s} = 0.000026 \ \text{rad/s}\)

Dermed får vi vår hastighet i forhold til atmosfæren:

\(\vec{v}_{drag} = \vec{v} - \vec{w}\)

Med denne kan vi faktisk definere kraften på oss fra luftmotstanden!! Dette vil være en kraft som virker i motsatt retning av vår bevegelsesretning. Vi definerer luftmotstanden slik:

\(\vec{F}_d = \frac{1}{2}\ \rho(r)\ C_d\ A\ v_{drag}^2\)

Oiiiii, her var det mange konstanter og greier... Vi vet jo (siden vi akkurat snakket om dette) at \(v_{drag}\) er lengden av  \(\vec{v}_{drag}\). Så har vi det vi kaller drag-koeffisienten \(C_d\). Dette er en dimensjonsløs koeffisient som bestemmer hvor mye drag, eller motstand et objekt får når det beveger seg igjennom luften. Landingsmodulen vår har en drag-koeffisient \(C_d = 1\)! Vi har også atmosfæretettheten \(\rho(r)\), som er avhengig av hvor nære vi er planeten, altså vår avstand \(r\). Tilslutt har vi arealet til landingsmodBildet kan inneholde: linje, rosa, design, linjekunst, skrift.ulen vår \(A\).


Når vi har denne luftmotsanden, og i tillegg er i fritt fall, oppnår vi etterhvert det som kalles terminalhastighet. Dette skjer fordi luftmotstanden og gravitasjonskraften til slutt blir like store og motsatt rettet. Og som vi vet fra Newtons andre lov så vil hastigheten være konstant dersom summen av kreftene er null. Dersom vi ser på tilfellet der disse kreftene er like store, og snur litt om på ting kan vi finne et utrykk for terminalhastigheten!

 

\(\begin{align*} F_d - F_G &= 0 \\ \\ F_d &= F_G \\ \\ \frac{1}{2} \rho C_d A v_{t}^2 &= mg\\ \Rightarrow v_{t} &= \sqrt{ \frac{2mg}{\rho_0 C_d A} } \\ \\ &= 47.091 \ m/s\end{align*}\)

 

Hvis vi ser for oss at vi står på overflaten, kan vi altså regne ut denne med overflatetettheten! Derfor får vi \(v_t = 47.091 \ m/s\). Denne terminalhastigheten blir altså idet vi oppnår den, en konstant hastighet. Vi akselererer rett og slett ikke mer, fordi som sagt vet vi fra Newtons andre lov at om summen av kreftene er null, vil hastigheten være konstant!

Et objekt som har nådd den konstante terminalhastigheten, vil falle rett ned. Sånn er det fordi tyngdekraften alltid vil gjøre et arbeid nedover. For at objektet skal kunne ha en konstant hastighet som ikke øker i noen retning, må det rett og slett bevege seg samme vei som tyngdekraften peker. (Med mindre objektet har et sett kraftige motorer som hele tiden motvirker tyngdekraften, da.)

 

Hvordan beveger vi oss?

Dersom du husker fra en stund tilbake (dersom ikke, trykk her!) så gjorde vi om koordinatene våre fra kartesiske koordinater til todimensjonale sfæriske koordinater, eller polarkoordinater som det da også blir.


Bildet kan inneholde: tekst, linje, rosa, skrift, skråningen.Det vi kan gjøre er å se på vår hastighet som en kombinasjon av hastighet i radiell retning og hastighet i tangensiell retning (vi kan kalle den tangensielle \(v_{\theta}\) og den radielle \(v_r\)).
Den tangensielle hastigheten vil da, som navnet antyder, bevege seg tangensielt i forhold til banen vår. Den radielle vil peke inn mot sentrum
av Froderia!


Dersom vi antar at vi oppnår terminalhastighet før vi lander/krasjer, hva skjer med \(v_r\) og \(v_{\theta}\)?

Jo, når vi oppnår denne terminalhastigheten, så er vår tyngdekraft og luftmotstand like store, og motsatt rettet. For at dette skal ha skjedd så må jo vår tangensielle hastighet \(v_{\theta}\) ha minket litt og litt, til den til slutt går mot null. Dette fordi vi vet at dersom vi oppnår terminalhastighet så må vi kun gå med en hastighet i radiell retning, altså "rett ned" mot planeten! Vi vet derfor også at hastigheten i radiell retning \(v_r\), vil stabilisere seg til å være terminalhastigheten. (\(v_r \rightarrow v_t\)). Altså en konstant hastighet.

 

Hva skal vi gjøre for å ikke krasje?

Bildet kan inneholde: hvit, linjekunst, hode, illustrasjon, barnekunst.
En  ting vi må gjøre er å dra frem de gode gamle syferdighetene våre! Vi skal nemlig sy en fallskjerm, og denne skal forhindre oss i å ta en ukoselig krasj i overflaten til Froderia... Så vi håper heimkunnskapstimene har gjort susen!


Men hvordan vet vi hvor stor denne burde være?



Jo, denne fallskjermen vil jo øke vårt overflateareal som vi brukte blant annet i likningen for terminalhastighet. Er det en ting vi vet så er det det at når vi skal til å lande på Froderia så vil vi ikke ha en hastighet høyere enn 3 m/s, denne hastigheten kaller vi \(v_{safe}\). Dersom dette skjer vil vår stakkarslige landingsmodul ikke håndtere landingen og vi vil være meget moste Mørkerianere... Det vil vi ikke!

Men det dette betyr er at vi kan finne arealet vi må ha på fallskjermen vår for at dette ikke skal skje! For å gjøre dette snur vi rett og slett bare om på likningen for terminalhastighet.

\(\)\(v_{t} = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho C_d A} } \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ A = \frac{2mg}{\rho_0 \ C_d\ v_{safe}^2}\)

En annen ting vi gjør er å sette inn litt annerledes verdier inn i \(A\). Her har vi satt inn vår hastighet \(v_{safe}\) , dette har vi gjort fordi det er jo nettop denne hastigheten vi vil ha for å lande trygt. Vi har i tillegg satt inn \(\rho_0\) som er overflatetettheten i atmosfæren vår. Dette gjør vi fordi vi vet jo at vi ser på tilfellet der vi lander, som selvfølgelig er på overflaten til Froderia.

Når vi setter inn i formelen får vi at arealet vår fallskjerm trenger å ha er \(A = 74 \ m^3\). Jaha, ja... Vel, vi har egentlig ikke med sååå mye fallskjerm-stoff... Men hvem trenger vel mer enn én underbukse?? Vi får ta det vi har! 

Men siden vi allikevel har en landings-thruster, kan vi jo like gjerne legge inn en boost fra landings-thrusteren rett før vi lander! Da er vi jo sikre på at vi oppnår en trygg og god landing.

 

Okei, men hvordan burde vi booste? Hvordan finner vi ut av det liksom?

Jo, vi ønsker jo at den landingsboosten skal hjelpe å motvirke kraften vi får fra tyngdefeltet. Hvis vi ser på alle kreftene i systemet da ser vi at vi har tyngdekraften \(F_G\), luftmostanden \(F_d\) og det vi kaller landingsboost-kraften \(F_L\).
Vi vet at vi ønsker at boosten skal gå i motsatt retning av tyngdekraften og at luftmotstanden også gjør dette, dermed kan vi sette opp en likning for kreftene.

\(F_d + F_L = F_G \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ F_L = F_G - F_d\)

Vi har altså et utrykk for vår landings-boost-kraft! Denne kan vi sette inn utrykket vi har for \(F_d\) og vi kan snu om på utrykket for terminalhastigheten , for å finne et utykk for \(F_G \).

Dette gjør vi fordi vi vet jo at dersom vi ikke gjør noe, vil vi ende opp med å krasje rett i bakken med terminalhastighet.

\(v_{t} = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho C_d A} } \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ mg = \frac{1}{2} A\rho_0 C_d v_t^2\)

Dermed finner vi kraften \(F_L\), som vi skal booste med!

\(\begin{align*} F_L &= mg - \frac{1}{2} \rho_0 A C_d v_{safe}^2 \\ \\ &= \frac{1}{2} \rho_0 A C_d v_t^2 - \frac{1}{2} \rho_0 A C_d v_{safe}^2\\ \\ &= \frac{1}{2} \rho_0 A C_d(v_t^2 - v_{safe}^2) \\ \end{align*} \)

 

Med all denne kule infoen kan vi sette igang med neste steg i landingsforberedningen, nemlig simuleringen av landingen vår! Så følg med i neste innlegg for å se de siste stegene våre før vi kommer til å LANDE PÅ EN ANNEN PLANET!!!

 

Forrige innlegg                                                                        Neste innlegg

 

Publisert 22. nov. 2020 20:29 - Sist endret 22. nov. 2020 20:29
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere