Which coordinate system are you?? Take this quiz to find out!

Hei, bloggen!


Vi har nå kommet til vårt nest siste steg (!) i reisen vår til Froderia; 

vi skal simulere landingen vår!

Jaha, og hvorfor vil vi det? Jo, vi ønsker å finne ut hva som skal skje under landing, og når. Og da er det fint å gjøre det i en trygg og god simulering i stedet for i virkeligheten!
Hva vil vi finne ut? Jo:

Bildet kan inneholde: produkt, utklipp.

 

  • Hvor stor boost skal vi gi landingsmodulen vår for å begynne nedstigning?

  • Når skal vi utløse fallskjermen?

  • Hvor høyt over bakken skal sette i gang landings-thrusteren?

  • Og når var det juleferie igjen?...



Okei, i forrige innlegg fant vi ut at vi ikke klarer å lage en stor nok fallskjerm til å bremse ned farten nok til det vi kaller trygg hastighet. (som var 3 m/s). Vi må altså bruke en landings-thruster for å ikke krasjlande i Froderia! Men da må vi altså finne ut hvor høyt over bakken denne thrusteren skal aktiveres. Derfor mekker vi først sammen en simulering!

Som du kanskje husker (fra dette innlegget her!) gjorde vi tidligere om koordinatene våre om fra kjedelige kartesiske koordinater (de vanlige med x- og y-akse!) til litt de litt kulere ( ;) ), kulekoordinatene! (eller sfæriske koordinater, som er det mer fancy begrepet!) 

OBS! Matematikere og fysikere er veldig dårlige på kommunikasjonen dem imellom, så matematikerene skriver kulekoordinatene sine slik: \((r,\ \phi,\ \theta)\), mens fysikere sier: \((r,\ \theta,\ \phi)\).

Men, vi velger å se bort ifra den tredje dimensjonen. Det vil si at vi bare vil lande på Froderia langs vår nåværende bane, og at vi ikke drister oss lenger opp eller ned i forhold til Froderias ekvator. Bildet kan inneholde: linje, diagram, sirkel, sfære, parallell.

Vi ser altså bort i fra z-koordinaten i det kartesiske koordinatsystemet, og vi ser bort i fra \(\phi\) i det sfæriske koordinatsystemet. Dette betyr at vi egentlig bare står igjen med polarkoordinater! Disse skrives slik: \((r, \theta)\), og ser slik ut: 


Det vi ønsker å gjøre er å bruke Euler Cromer (som vi har snakket om her!) til å gjøre denne simuleringen! Og dette har vi gjort maange ganger før, så det blir jo bare piece of cake! Først og fremst må vi ha våre initialverdier! Disse finner vi ut i fra vårt speedometer på raketten og fra våre posisjonsberegninger.

Initialhasitghet  \(= v_{init} = (-1107\ m/s, \ 3800 \ m/s)\)

Initialposisjon    \(= r_{init} = (4127635 \ m, \ 1202018 \ m)\)

Initialtid         \(= t_{init} = 100000 \ s\)

Disse ønsker vi altså å gjøre om til sfæriske koordinater! Dette gjør vi lett med transformasjonene vi snakket om tidligere (her!). Altså får vi:

\((4127635 \ m, \ 1202018 \ m) \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \begin{align*} \phi &= \arctan(\frac{y}{x}) = 0.28 \ \text{rad} \\ r &= |(4127635 \ m, \ 1202018 \ m)| = 4299095 \ m \end{align*}\)

Okei, nå som vi har disse initialverdiene kan vi begynne å implementere Euler-Cromer-metoden. Lett!

...

...

...

 

Jaaaaa... Det viser seg at man som regel ikke pleier å simulere med Euler Cromer og polarkoordinater, da dette var meget vanskelig og veldig mye rot, ihvertfall for oss surrehuer! I polarkoordinater ser man jo bare på avstanden fra sentrum av sirkelen, og hvilken vinkel man har. Men denne vinkelen var ekstremt vanskelig å se for seg hvordan den burde forflytte seg. (Eller vi skjønner jo at den beveger seg i sirkelbane og at vinkelen så burde øke litt og litt, men vi fikk det ikke helt til å stemme når vi jobbet med simuleringen...)

Derfor tenker vi at vi tar en ny approach, vi simulerer i gode gamle kartesiske koordinater!

 

Vi bruker altså akkurat de samme initialbetingelsene, men nå vil vi kun gjøre det i kartesiske koordinater! Det vi ikke nevnte i stad var hvordan akselerasjonen vår blir. Denne finner vi med Newtons andre lov \(F = ma \ \ \ \Rightarrow \ \ \ a = \frac{F}{m}\). Vi må altså se på kreftene vi fant i forrige innlegg (her!).

\(\begin{align*} F_G &= m g(r) \\ \\ F_d &= \frac{1}{2} \rho A C_d v_{drag}^2 \\ \\ F_L &= \frac{1}{2} \rho_0 A C_d(v_t^2 - v_{safe}^2) = 66532 \ N\\ \end{align*}\)

Her er :
\(m \)  = massen til landingsmodulen
\(\rho\)  = atmosfæretettheten i det punktet
\(A\)  = arealet til landingsmodulen (og fallskjermen)
\(C_d\) = dragkoeffisient
\(v_t\) = terminalhastigheten
\(v_{safe}\) = 3 m/s

\(v_{drag}\) = Hastigheten vår i forhold til atmosfæren
\(g(r)\) = gravitasjonskonstanten til Froderia (Denne er avhengig av hvor nære man er tyngdefeltet!)

 

I tillegg skjer boost-kraften vår bare fra vi når en viss høyde fra overflaten, som vi senere skal finne ut av hvor er!

Denne atmosfæretettheten, \(\rho\), fant vi for noen innlegg siden (her)! Det vi har gjort er at vi har interpolert \(\rho\)! Det dette betyr at vi har brukt disse verdiene for \(\rho\) og laget den beste funkjonen som passer disse. Vi putter altså inn en spesifik høyde, \(r\), inn i funksjonen \(\rho(r)\) som gir oss en verdi for atmosfæretettheten!

 

Dermed blir vår flotte integrasjonsløkke (for å finne posisjonen vår) slik:

\(a = \frac{F_d + F_L - F_G}{m}\)

\(v_{ny} = v_{tidligere} + a\cdot dt\)

\(r_{ny} = r_{tidligere} + v_{ny} \cdot dt\)

\(t_{ny} = t_{tidligere} + dt \)

 

Ehh hva er denne \(dt\)-en?? Jo, dette er et lite tidssteg! Vi multipliserer derfor for eksempel akselerasjonen med \(dt\) for å finne hvor mye akselerasjon som inntraff på dette korte tidssteget!

 

Da gjenstår d jo bare å plotte bevegelsen vår! Vi plotter så x-kordinaten til posisjonen vår mot y-koordinaten, og får:

Bildet kan inneholde: tekst, botanikk, blad, anlegg.
          Her er enhetene på x- og y-aksen avstand oppgitt i meter.

Ehhh, det var vel ikke helt det vi ønsket. Vi zoomer inn for å undersøke litt nærmere...

Bildet kan inneholde: grønn, tekst, gressfamilien, plott, blad.
                            Igjen er avstanden oppgitt i meter.

 

Hmm dette var jo enda rarere... Noe må jo være ekstremt galt her!

 

Det vi ikke har vært så klare på enda er at alle disse kreftene virker jo i en bestemt retning! Vi vet jo som sagt at tyngdekraften trekker oss mot planeten og retningen til \(F_G\) blir derfor inn mot planeten. Når vi så på vår luftmotstand definerte vi den i motsatt retning av bevegelsesretningen... Dette blir jo feil! Vi vil jo at \(F_d\) skal gå i motsatt retning av \(v_{drag}\), altså (som vi snakket om her!) hastigheten vår i forhold til atmosfæren! Dette hadde ikke vi skjønt helt, og derfor fikk dette rare plottet! Vi gjør dermed om på dette!

Bildet kan inneholde: tekst, linje, sirkel, diagram, skrift.

Oisann, se der ja hmm dette virker jo som om vi treffer atmosfæren og så plutselig skytes vi bare ut igjen... Det må altså være en for stor kraft som påvirker veldig plutselig mellom to tidssteg! Vi må dermed minke tidssteget vår for å få en god simulering.

Bildet kan inneholde: tekst, sirkel, diagram, linje.

Ehh, hm det gjorde ikke mye... Dette var merkelig... Hm det virker rett og slett som om vi bare får en mye høyere hastighet idet vi treffer atmosfæren... Dette må jo bety at vi har regnet ut vinkelhastigheten galt! (dette snakket vi om her!) Ja se der ja... Vi har skrevet inn at denne skal være avhengig av avstanden opphøyd i to når den egentlig bare er avhengig av avstanden! Okei, vi fikser på det...

Bildet kan inneholde: tekst, sirkel, diagram.

 

 

Bildet kan inneholde: tekst, linje, skrift.
                                Her har vi zoomet inn på landingen.

Kuult! Da har vi en fungerende simulering. Det vi nå skal gjøre er å finne ut når vi burde booste og når vi burde slå ut vår fallskjerm!

Det første vi har tenkt på er at vår hastighet idet vi entrer atmosfæren er veeeldig stor! Derfor vil vi etter kort tid i atmosfæren overgå et trykk på \(10^7 \ Pa\) (Denne enheten kaller vi pascal og den er gitt ved \([\frac{N}{m^2}]\)). Dette er grensen der vi kommer til å brenne opp... Dette ønsker vi ikke... Vi vil derfor minke hastigheten FØR dette skjer!


Her kommer vår freshe fallskjerm inn i bildet! Vi kan utløse den når vi vil i løpet av reisen, og den vil hjelpe oss med å senke farten, slik at vi når den trygge landingshastigheten lettere. For å være helt på den sikre siden, velger vi å utløse fallskjermen ganske høyt over bakken, for eksempel 100 000 m! Da er vi også sikre på at vi aldri når såpass høye hastigheter at fallskjermen ødelegges underveis. Det er nemlig slik at hvis kraften fra luftmotstanden overgår 250 000 Newton, blir fallskjermen vår ødelagt... 

Etter en lang dag med simulering av prøving og feiling, prøver vi oss rett og slett også bare frem til når vi vil igangsette vår landings-thruster for å oppnå best mulig resultat! Etter mye mer prøving og feiling kom vi fram til denne høyden: 200 m over Froderias overflate!

Dermed har vi altså denne endelige planen, fra våre simuleringer, som vi etterhvert skal bruke til å faktisk lande:
 

  1. I det vi entrer atmosfæren booster vi for å minke hastigheten vår med en boost på - 75 m/s i tangensiell retning.
  2. Vi skyter så opp fallskjermen vår ved høyden 100 000 m over overflaten.
  3. Til slutt bruker vi vår landings-thruster ved høyden 200 m over overflaten.

Med denne planen i boks er vi nå klare for å endelig sette våre tentakler på Froderia!! Så følg med i neste innlegg for å se om vi faktisk klarer det!

 

Forrige innlegg                                                                       Neste innlegg 

Publisert 22. nov. 2020 20:30 - Sist endret 22. nov. 2020 20:30
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere