CONGA-TULATIONS IT'S TWINS!!!!!!!!!!

Hei, bloggen!

 

La meg fortelle eventyret om astronauten Lisa. I denne fortellingen vil det etterhvert åpenbare seg et paradoks som ofte kalles for tvillingparadokset. Følg med videre mens vi prøver å løse opp i dette! 

Lisa er en astronaut som bor på planeten Homey. Hun er en av mange som skal begi seg ut i rommet, på en reise til den store gassplaneten Destiny, som ligger 200 lysår unna Homey. Året er 4130, og menneskeheten har oppnådd svært mye. De har kolonisert store deler av galaksen, og utvinner nesten uendelig mye energi fra de nærmeste stjernene. Men i dag skal menneskene gjøre sitt kanskje aller største gjennombrudd til dags dato; de skal arrangere tidenes lengste Conga-line! 

Vår helt Lisa, skal altså sammen med veldig mange andre, danne en sykt lang rekke med romskip, som alle reiser med 99% av lysets hastighet. Når hun kommer fram til planeten Destiny, snur Lisa kjemperaskt og blir med på rekken hjemover igjen mot Homey. For at denne rekken skal kvalifiseres som en Conga-line etter intergalaktiske regler, må alle astronautene minst én gang i året si: "Datatatata-TA!" og stikke ut et ben. 

Bildet kan inneholde: tekst, hvit, rosa, linje, skrift.


Både Homey og Destiny står helt stille i forhold til hverandre, og derfor kan vi si at planetene er i samme referansesystem, nemlig det umerkede systemet \((x,t)\). Romskipene til Lisa og de andre astronautene er i et annet referansesystem, som vi kaller det merkede systemet \((x', t')\). I det merkede systemet er Lisa alltid i origo. Vi kan si at x-aksen følger etter Lisa. 

Til å begynne med ser vi på 2 eventer: 

 

  • Event A: Lisa tar av fra Homeys overflate. Dette skjer mens \(x=0, t=0\), og \(x'=0, t'=0\). Altså kan vi kalle dette for origo-eventet. 
  • Event B: Lisa kommer fram til planeten Destiny. 

Vi gjør litt rask relativitets-regning og ser at Lisa opplever at reisen fra Homey til Destiny tar 28,5 år å fullføre. På planeten Homey tar det 202 år før Lisa har nådd fram til Destiny. (Dette er ikke paradokset, dette er fremdeles helt innafor, altså! Tid er relativt, og det er greit.) Vi vet at reisen hjem igjen må ta akkurat like lang tid for begge referansesystemer, så vi kan trygt si at Lisa har opplevd 57 år når hun kommer tilbake til Homey, mens planeten (og alle som bor på den) har blitt 404 år eldre.
Bildet kan inneholde: tekst, linje, skrift, håndskrift, sirkel.
Men... Hvis vi snur om på situasjonen skjer det noe litt rart... I utgangspunktet har vi lov til å snu om på hvilket referansesystem som er merket og umerket, og vi skal kunne få akkurat samme resultat. Så hva om vi sier at det er Lisa og astronautene som står stille, og planetene Homey og Destiny som beveger seg med 99% av lyshastigheten?


Vi regner litt på dette og får at det har gått 4 år på Homey når Lisa er på Destiny. Eller, når Destiny er på Lisa... Så med samme logikk som før har vi at det kun har gått 8 år på Homey når lisa kommer hjem igjen. 


Ehhh... Så... Har det egentlig gått 8 eller 404 år på Homey når Lisa kommer tilbake?

Det er dette som er det paradoksale...
Hva har vi gjort feil her? Vi har jo antatt at vi kan snu om på referansesystemene sånn som ellers, men kan vi egentlig det?? Er det noe som gjør at de to referansesystemene vår er ulike hverandre? 

Det viser seg at noe svært viktig har blitt utelatt i denne conga-tanke-rekken... 
 

Akselerasjon.


Vi har jo bare sagt at Lisa momentant snur på Destiny og følger etter Conga-linen tilbake til Homey. Men en slik u-sving er jo en enorm akselerasjon! Og en grunnleggende regel i spesiell relativitet er at et referansesystem har konstant hastighet. Så idet Lisa svinger/akselererer når hun er på Destiny, bytter hun referansesystem! Referansesystemet hun har på vei til Destiny er ikke det samme som hun har på vei hjem igjen! For en katastrofal feilvurdering! 

Vi må altså se på hele 3 forskjellige referansesystemer! Planetenes referansesystem er det umerkede systemet \((x,t)\), Lisas referansesystem på vei mot Destiny er det merkede referansesystemet \((x', t')\) og referansesystemet på vei hjem er det dobbeltmerkede systemet \((x'', t'')\). Lisa er alltid i origo i referansesystemet sitt. 
 

Vi legger til et nytt event, slik at alle eventene våre er: 

  • Event A: Lisa tar av fra Homeys overflate. Dette skjer mens \(x=0, t=0\) og \(x'=0, t'=0\).
  • Event B: Lisa kommer fram til planeten Destiny. 
  • Event B': Den siste astronauten i Conga-rekken ved Homey sier ifra til tilskuerne på planeten at Lisa er framme ved Destiny. (Denne astronauten snakker veldig fort, for hen har allerede nådd 99% av lyshastigheten og er derfor i samme referansesystem som resten av romskipene på vei mot Destiny. Event B og B' er altså samtidige i det merkede referansesystemet \((x', t')\).

Bildet kan inneholde: tekst, hvit, rød, linje, fargerikhet.

Vi kan bruke tallene vi allerede kjenner for å finne tidspunkt og x-posisjon for de fleste av disse eventene, men ett tidspunkt er litt mer vrient å finne ut av; nemlig \(t_{B'}\). Dette er tiden som har gått på planeten Homey når de får beskjed om at Lisa er framme ved Destiny. Etter litt regning kommer vi fram til at dette er 4 år. 






Ehhhh hæ?!?? Lisa bruker jo 28,5 år på å reise til Destiny! Dette  jo være en feil!

Neida ;) Dette er faktisk helt innafor.
Husker du da vi snudde om på referansesystemene lenger oppe i innlegget? Det funket ikke for hele reisen, men fram til Lisa begynner akselerasjonen er det faktisk helt lov å late som det er planetene som beveger seg i stedet. Da fant vi jo ut at det sett fra Lisas perspektiv har gått 4 år på klokkene på Homey i det hun er fremme på Destiny. I spesiell relativitet er det jo faktisk sånn at begge referansesystemer ser at tiden går saktere i det andre referansesystemet... Så Lisa ser at tiden går sakte på planeten Homey, og Homey ser at tiden går sakte for Lisa. 


Her kan det lønne seg å puste dypt et par ganger! 
De fleste hjerner har det med å vri seg litt når det er snakk om spesiell relativitet...

Bildet kan inneholde: linje, skrift.


For å dykke litt dypere inn i akselerasjonen som Lisa foretar når hun ankommer Destiny, skal vi utvide problemstillingen vår litt. Vi skal se på en tredje planet som ligger forbi Destiny. Denne planeten heter Beyond, og er en del av planet-referansesystemet med de andre planetene. Her kommer Peter inn i bildet. Peter er en Conga-pirat, det vil si at han liker å snike seg midt inn i allerede etablerte Conga-rekker for å få æren for å ha deltatt, men uten å ha gjort en like stor innsats som de andre. Han reiser fra Beyond slik at han er på Destiny akkurat idet Lisa også er der. Heldigvis har Lisa møtt på mot Conga-pirater før, så hun vet akkurat hva hun skal gjøre. Hun lar ikke Peter snike seg inn i Conga-rekken, og derfor må han fly parallellt ved siden av Lisa hele veien tilbake til Homey.  


Mens Lisa og Peter begge er på vei mot Destiny fra hver sin retning, er de i hvert sitt referansesystem. Vi har altså at planetenes referansesystem er det umerkede systemet \((x,t)\), Lisas referansesystem er det merkede referansesystemet \((x', t')\) og Peters referansesystem er det dobbeltmerkede systemet \((x'', t'')\). Lisa og Peter er alltid i origo i sine respektive referansesystemer. 
 

Nå skal vi også se på et par nye eventer i tillegg til de forrige. Vi har: 

  • Event A: Lisa tar av fra Homeys overflate. Dette skjer mens \(x=0, t=0\) og \(x'=0, t'=0\).
  • Event B: Lisa kommer fram til planeten Destiny. 
  • Event B' : Den siste astronauten i Conga-rekken ved Homey sier ifra til tilskuerne på planeten at Lisa er framme ved Destiny. (Denne astronauten er i det merkede referansesystemet, sånn som resten av romskipene på vei mot Destiny. Event B og B' er altså samtidige i det merkede referansesystemet \((x', t')\)
  • Event D: Peter tar av fra Beyonds overflate. Dette skjer mens \(x = 2\cdot 200\ lysår\ , t = 0\) (planetenes referansesystem) og \(x''=0 , t''=0\) (Peters referansesystem). I planetenes referansesystem er event A og D samtidige. Siden Peter og Lisa reiser like fort og like lang sett fra planetene, betyr det at de kommer fram til Destiny samtidig i event B.
  • Event B'' : Den fremste astronauten i Conga-rekken sier ifra til Homey at Lisa nå har snudd rundt og er kommet inn i referansesystemet til Peter og de andre astronautene på vei hjem. Denne fremste astronauten er fortsatt i det dobbeltmerkede referansesystemet. 

Bildet kan inneholde: tekst, rosa, linje, skrift, sirkel.


Med litt mer fiks relativitets-regning kan vi finne ut hvilke tider og posisjoner alle eventene har, men vi blir sittende igjen med \(t_{B''}\) som ukjent... Dette er det tidspunktet for event B'' i planetenes referansesystem, altså når Homey får beskjed om at Lisa har snudd, møtt på Peter og er på vei hjem igjen. For å finne akkurat dette tidspunktet er vi nødt til å se på avstander i tid, rom og tiderom! Ved å regne ut tideromsavstanden \(\Delta s\), kan vi finne verdien til \(t_{B''}\). Vi regner ut, og finner at \(t_{B''} = 400\) år! 







Ehhh... Hæ??!?! 
Det betyr jo at eventene utfolder seg slik: Etter 4 år får de på Homey beskjed om at Lisa er kommet fram til planeten Destiny. De venter og venter og venter... Og så får de beskjed først etter 400 år at Lisa nå er på vei hjem igjen!? Det vil jo si at det passerer 396 år på planeten på den bittelille tiden det tar for Lisa å snu seg rundt?? 


Jepp, dette stemmer faktisk. 
Når Lisa akselererer skifter hun jo som sagt referansesystem. Dette er grunnen til at vi ikke kan bytte om på hvilket referansesystem som er merket og umerket, sånn som vi prøvde på tidligere. 

Men er det ikke bare å late som at planetene akselererer på samme måte som Lisa gjør?
Bildet kan inneholde: linje, linjekunst, sirkel, tegning.Det tenkte vi også helt i starten, men så innså vi at dette ikke gir helt mening. Det er jo faktisk mulig å finne ut av om det er Lisa eller planetene som akselererer! Hvis du hadde spurt planet-boerne om de kjente et voldsomt rykk i det Lisa var framme på Destiny, hadde de svart: "Nei." Hadde du spurt Lisa, derimot, hadde hun sagt et soleklart "JA!" Lisa vil oppleve enorme fiktive krefter i det hun akselererer ved Destiny. Dermed vet vi at det kun er Lisa som akselererer, og at referansesystemene ikke bare kan byttes om på.  

Hvis vi deler opp bevegelsen til Lisa inn i uendelig mange bittesmå tidsintervaller, kan vi si at hun bytter referansesystem i hvert eneste intervall mens hun gjør denne akselerasjonen. Da kan vi faktisk regne på dette tilfellet! 


En annen måte å regne på dette er ved å bruke generell relativitet, men det har vi
ikke rukket å lese ordentlig på ennå. Men kort sagt viser det seg at å akselerere
såpass kraftig som Lisa gjør i det hun skifter retning på Destiny, er tilsvarende som å befinne seg i et enormt tyngdefelt! Og i et stort tyngdefelt, vil tiden gå "saktere" enn utenfor, dvs at en person som er i et tyngdefelt eldes saktere enn en person utenfor. 


Det er altså dette vi skal gjøre nå; regne på akselerasjonen! 
Aller først glemmer vi de forrige eventene våre, og setter kun opp to nye, generelle eventer som kan skje når som helst under Lisas akselerasjon: 

  • Event Y: Lisa sier den kjente Conga-frasen "datatatata-TA!" på et visst tidspunkt etter at hun har begynt å akselerere ved Destiny. 
  • Event Y' :  Den siste astronauten i rekken sier ifra til planeten Homey at Lisa har oppfylt sin Conga-plikt og sagt "datatatata-TA!". Event Y og Y' er samtidige i det merkede referansesystemet, altså referansesystemet til rakettene som er på vei fra Homey mot Destiny. 

Vi kan definere punktet der Lisa har farten \(v=0\) som turning point. (Tenk på en ball som blir kastet rett opp i lufta. Når ballen når toppunktet står den et lite øyeblikk helt stille.) Hvis vi sier at event Y skjer i turning point, skjer det noe litt spesielt. For det første vil selvfølgelig event Y og Y' skje samtidig sett fra romskip-referansesystemet. Men i tillegg vil event Y og Y' skje samtidig i planetenes referansesystem! Dette skjer fordi Lisa nå har hastighet \(v=0\). Det vil si at hun står stille i forhold til planetene, og derfor er hun i samme referansesystem som planetene! 

For å se enda nøyere på hva som skjer under Lisas akselerasjon kan vi tegne en graf over tiden som går på reisen. Vi setter tiden i planetenes referansesystem \((t_Y)\) langs x-aksen, og tiden som passerer på Homey målt fra Lisas referansesystem(er) \((t_{Y'})\) langs y-aksen. Det betyr at når grafen flater ut, ser Lisa at tiden går sakte på Homey, og når grafen er bratt, ser Lisa at tiden på Homey går veldig fort. Denne grafen vil nok se ca sånn ut: 
 

Bildet kan inneholde: blå, tekst, skråningen, hvit, linje.


Mens Lisa har konstant hastighet vil tiden gå sakte på Homey sett fra hennes perspektiv. Men i det hun begynner å akselerere, begynner hun å se at tiden på Homey går veldig, veldig fort! 


PUH! Dette har vært litt av et eventyr! Og alt dette for en Conga-rekke?! Jeg håper du hang med ihvertfall et stykke! Dette er forvirrende territorier med god sjanse for voldsomme aha-opplevelser! Heng med litt til, så skal vi snart utforske den generelle relativitsteorien! 

 

 

Forrige innlegg                                                                                                      Neste innlegg

Publisert 18. des. 2020 17:08 - Sist endret 18. des. 2020 17:08
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere