THIS IS WHY YOUR RELATIVITY IS SOOO GENERAL!!!!!!

Hei, bloggen!

 

Nå har vi snakket en del om spesiell relativitetsteori, men nå ønsker vi å gå litt bort i fra det og heller se på generell relativitetsteori!

 

En stoooor ting en burde vite når en jobber med relativitetsteori, er at rom-tidsavstanden alltid er det samme! Hmmm, men hva betyr dette og hva er rom-tidsavstanden? Vel, tenk deg at du har et plan, et koordinatsystem med to akser. Så legger du til en akse til, men denne aksen er ikke z-aksen... det er tiden! Oi... hmm dette var rart å tenke på...

 

Men du har nok sett noe liknende før! Tenk på når man kaster en ball i tyngdefeltet til jorden. Vi ser ballen gå opp og så ned. Vi kan plotte tiden mot posisjonen i x-retning (dersom vi definerer x oppover) slik som på bildet. Og dette er jeg meget sikker på at du har sett før!

 

Okei, så når vi snakker om rom-tid så mener vi altså enhver model som smelter inn tiden i rommet. Som for eksempel grafen over!

 

Men, hva skal vi med denne rom-tids avstanden?

Jo, rom tids avstanden er helt nydelig fordi vi vet at romtidsavstanden er det samme uansett hvor man ser på et event fra! Selv om man er nærme eller langt unna sentrum!

Vent, hvorfor snakker vi om sentrum? Sentrum av hva? Jo, du husker kanskje (om ikke så var det her!) vi sa at i generell relativitetsteori så tar vi hensyn til tyngdefeltet. Her kan vi tenke oss for eksempel Jorden, eller Solen, det er derfor nyttig å se på sfæreriske koordinater, istenden for et kartesisk koordinatsystem! (Dersom du ikke husker dette med at vi kan ha andre typer koordinatsystemer klikk her!). Derfor ser vi, når vi ser på generell ralativitet, sfærer.

 

Det har seg slik at når vi ser på tiderommet så kan vi se på forskjellige geometrier! Ehhh... hva er det...? Jo, i den generelle relativiteten ser vi for eksempel på Schwarzschild geometrien, dette er en sfærisk geometri! Altså at en ser på koodinatene \(t, r, \text{og}\ \phi\).

 

Tideromsavstanden mellom to eventer kaller vi \(\Delta s\). Vi definerer den på forskjellige måter i forskjellige geometrier. De to vi kommer til å bruke, Lorentz- og Schwarzschild-geometrien, definerer vi slik:

Schwarzschild:

\(\Delta s^2 = (1- \frac{2M}{r})\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1 - \frac{2M}{r}} - r^2\Delta \phi^2 \)

Lorentz:

\(\Delta s^2 = \Delta t^2 -\Delta r^2- r^2\Delta \phi^2\)

(Vi kan altså se på lorentsgeometrien ved eventer som skjer innenfor en kort tid fra hverandre og i nærheten av hverandre!)

 

La oss ta for oss et eksempel, og bruke disse til å regne litt!

Julenissen sitter ved en avstand \(r_{sh}\) fra sentrum av en masse og peker en laserstråle radielt utover. Laserstrålen har en bølgelengde \(\lambda_{sh}\), vi vet at frekvensen sendt ut fra laserpennen er gitt ved \(\nu_{sh} = \frac{1}{\Delta t_{sh}}\) og at frekvensen vi mottar er gitt ved \(\nu = \frac{1}{\Delta t}\). Det vi ønsker å finne ut av er hvilken bølgelengde vi, som er langt vekk, observerer!

 

 

Først vet vi siden tideromsavstanden er det samme at \(\Delta s^2 = \Delta s_{sh}^2\) , vi vet at vi ikke har noen avhengighet i phi-retning og at ingen av observatørene, oss eller julenissen, beveger seg. Derfor får vi utrykket:

\(\begin{align*} \Delta s^2 &= \Delta s_{sh}^2\\ (1- \frac{2M}{r})\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1 - \frac{2M}{r}} - r^2\Delta \phi^2 &= \Delta t_{sh}^2 -\Delta r_{sh}^2- r^2\Delta \phi^2\\ (1- \frac{2M}{r})\Delta t^2 &= \Delta t_{sh}^2\\ \Rightarrow \ \ \ \Delta t &= \frac{\Delta t_{sh}}{\sqrt{1- \frac{2M}{r}}}\\ \end{align*}\)

Her bruker vi altså Schwarzschild geometri for oss, langt vekk observatørene, og Lorentzgeometri for Julenissen. Dette kan vi gjøre fordi vi vet Julenissen er nært eventet i tid og rom, det er jo han som sender ut laserstrålen.

Kult!! Med dette utryket kan vi finne et utrykk for \(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_{sh}}\) , vi vet at bølgelengden er omvent proposjonal med frekvensen, derfor kan vi finne \(\lambda_{sh} = \frac{1}{\nu_{sh}} = \frac{1}{\frac{1}{\Delta t_{sh}}} = \Delta t_{sh}\), her har vi altså brukt definisjonene vi skrev i stad! Derfor får vi:

\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_{sh}} = \frac{\lambda - \lambda_{sh}}{\lambda_{sh}} = \frac{\Delta t - \Delta t_{sh}}{\Delta t_{sh}} = \frac{\frac{\Delta t_{sh}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}}}{\Delta t_{sh}} - 1 = \sqrt{1 - \frac{2M}{r}} - 1\)

Shit, pommes frites vi synes dette er kule greier!

 

 

En annen ting vi kan se på er:

maksimal aldrings prinsippet!

Dette prinsippet gjelder legemer som er i det vi kaller fri flyt, altså legemer det ikke virker noen krefter på!  Prinsippet innebærer at en alltid vil ta den veien som gjør at en opplever den lengste tiden! Vi sier at vi opplever den største egentiden \(\tau\)!

Vi kan forklare dette ved å se på et objektets verdenslinje! En verdenslinje er en graf i tiderommet med posisjonen på x-aksen og tiden på y-aksen. Slik som figuren til høyre. Dette er en generell verdenslinje vi ser at den aldri oppnår en mindre helning enn 45° da vi vet at \(\frac{\Delta x}{\Delta t} = v\) og dersom vi har en hastighet høyere enn en har vi en hastighet større enn lyshastigheten!

Vent hvorfor er \(c = 1\) jo fordi i relativitetsteorien ser vi på harstigheter i forhold til lyshastigheten, altså vi deler de på \(c\), dermed vil jo hastigheten vår \(c\) når vi deler den på \(c\) bli 1.

Vi vet at dersom et legeme er i fri flyt så må det ha konstant hastighet, da det ikke er noen krefter som virker! Og har legemet en konstant hastighet vil legemets verdenslinje være en rett strek mellom to eventer!

(her tegnet mellom ettellerannet event A og ettellerannet event B)

 

 

Denne rette streken er altså den lengste veien et legeme kan ta i tiderommet! Oiiii, dette var jo stikk motsatt av det vi er vant med! Men slik er det altså! Vil du lære enda mer kule ting om den generelle relativitetsteorien? Følg med i neste innlegg for mer forvirrende informasjon som får en til å tvile på alt en kan!

 

Forrige innlegg                                                                                                     Neste innlegg

Publisert 18. des. 2020 20:17 - Sist endret 18. des. 2020 20:17
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere