Going to Universitas, is it really worth it???

Hei, bloggen!

Hva skjer egentlig inni en stjerne? Er det intrikate prosesser som har brukt millionervis av år på å utvikle seg, eller er det discoparty med julenissen?

Bildet kan inneholde: gul, linje, oransje, sirkel, grafikk.

Vel, dette skal vi finne ut av nå! Noe du kanskje allerede har lært at stjerner gjør er at de fusjonerer, det dette betyr er at de "smelter" sammen atomer. Den viktigste fusjoneringen skjer mellom \(_1^1\text{H}\) atomer til \(_2^4\text{He}\) atomer (her er altså det øverste tallet antallet av protonene og nøytronene til sammen, og den nederte tallet kun antall protoner!). Det finnes flere prosesser som går fra hydrogen til helium, men det er hovedsakelig to en ser på. Vi kaller de pp-kjeden og CNO-kjeden.

 

Disse prosessene er altså bare to forskjellige måter å komme seg til samme sted. Se for deg at du skal til Sverige. Du kan velge å reise øst og nå målet etter 3 timer i bil, men du kan også reise vest noen uker i båt over atlanterhavet, noen timer med bil over USA, deretter en rekke forskjellige fremkomstmiddel over variert land til du slutt går over Finnland og kommer deg til Sverige. Den ene metoden er altså litt mer komplisert enn den andre.

 

Vi ønsker å lage oss en liten modell av kjernen til Universitas, stjernen vår, slik at vi kan se enda nærmere hva som skjer! Først gjør vi noen antagelser;

  • Vi antar at tettheten i stjernen er uniform
  • Vi tilnærmer trykket i stjernen til å være lik trykket til en ideel gass
  • Vi antar innsiden av stjernen vår er i hydrostatisk likevekt
  • Vi antar at stjernen kun består av protoner med masse \(m_H = 1.673\cdot 10^{-27}\text{kg}\)
  • Vi antar at vi ikke er veldig slitne. :)

Er dette gode antagelser? Spoiler: Nei... Nei, det er det ikke... (vi skal diskutere dette senere!)

Det vi ønsker å komme fram til er kjernetemperaturen til stjernen vår!

Det første vi gjør er å finne et utrykk for massen til stjernen vår. Vi har antatt uniform fordelt massetetthet noe som betyr at vi vet at denne vil være gitt ved \(massetetthet = \frac{Masse}{Volum}\) vi kaller denne massetettheten \(\rho_0\) og ved å skrive ut formelen finner vi et utrykk for massen!

\(M(r) = \rho_0 \frac{4}{3}\pi r^3\)

Her er altså r avstanden fra sentrum!

Kult! Noen andre ting du kanskje husker at vi snakket om (om ikke så var det her!) var utrykket for trykket \(P\) til en ideell gass og tyngdeakselerasjon.

\(P = \frac{\rho_0k T(r)}{\mu m_H} \ \ \ \ \ \ \ \ \ g(r) = G \frac{M(r)}{r^2}\)

I trykket \(P\) bruker  vi massetettheten fra i stad \(\rho_0\), stefans-boltzmanns konstant \(k\), temperaturen \(T(r)\) som en funksjon av avstanden \(r\), gjennomsnittlig molekylmasse \(\mu\), og massen til et hydrogenatom \(m_H\).

Vi bruker den universielle gravitasjonskonstanten \(G\) og massen \(M(r)\).

 

Vi kan så bruke disse til å komme fram til et utrykk for temperaturen!

 

\(\) Oiiii, ja det var jo langt og litt komplisert...men vi kom dit til slutt! Utrykket ser altså slik ut:

\(\frac{\text{d}}{\text{d}r}T(r) = -\frac{4\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}r\)

Videre kan vi integrere utrykket for å finne et utrykk for kjernetemperaturen som er i \(T(0) = T_c\).

\(\begin{align*} \int_0^R\frac{\text{d}}{\text{d}r}T(r) &= \int_0^R -\frac{4\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}r \\ \\ T(R) - T(0) &= -\frac{4\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}\int_0^R r \\ \\ T_c &= T(R) + \frac{2\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}R^2 \end{align*}\)

Dermed kan vi finne Universitas kjernetemperatur! Vi regner ut og får \(T_c = 12089662 \text{K} \approx 12\cdot 10^6 \text{K}\). Hmmm... hvordan vet vi at dette er i nærheten av rett da? Jo, vi kan prøve å sammenlikne med en stjerne vi vet hva kjernetemperaturen er på! Deres jordboeres "Sol" vet vi har en kjernetemperatur på \(15.7 \cdot 10^6 \)K så med tanke på at Universitas er 0.6 ganger så stor som Sola kan vi si at dette er et sannsynelig tall!

 

Bildet kan inneholde: hvit, tekst, logo, linje, skrift.

Men hvor sterk er egentlig denne stjernen?

Med den utregnede overflatetemperaturen vår kan vi finne et estimat på luminositeten! Dette er en litt tung og rar utregning, mest på grunn av alle de fanzye greske bokstavene... Men dersom dette er din jam klikk her, om ikke kan du bare stole på at vi klarte det ;)

Utrykket vi får ser altså slik ut:

\(L = 4\pi \rho_0(\varepsilon_{pp} + \varepsilon_{CNO})\frac{(0.2R)^3}{3} \)

Og dette gir oss en luminositet på \(4.33 \cdot 10^{23} \text{W} \). Hmm... Hva var det vi fikk at metoden fra forrige innlegg (her!) igjen? Jo, \(6.49 \cdot 10^{21}\text{W} \) .... Jaaa.... Disse var jo ikke like... Okei, her er det noe galt. Hva kan dette komme av? Vel, vi tok en del antagelser som ikke var helt gode... For eksempel vet vi jo at dersom vi har pp-kjeden og CNO-kjeden så vil kjernen fusjonerer hydrogen til helium, så antagelsen om at det bare er protoner i kjernen er jo ikke sant. I tillegg så er det usannsynelig at massetettheten er helt uniformt fordelt.

Alle disse antagelsene kan godt være grunnen til sprike vi fikk i de to forskjellige utregnede luminositetene.

En annen ting vi kan tenke på var det at vi antok nå at vi hadde 74.5% Hydrogen og 0.2% karbon, oksygen og nitrogen i kjernen. Men, vi antok at det var en massetetthet på disse prosentene, men kanskje det er snakk om atomer.. Og da vil det være en større masse fra de større atomene, som kan være grunnen til at vi ikke fikk helt rett resultat!

 

Men uansett så kan vi prøve å finne overflatetemperaturen med denne estimerte luminositeten! Dette gjør vi ved å snu om på formelen fra forrige innlegg (her).

\(L = 4\pi r_{Universitas}^2 \sigma T_{overflate}^4 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ T_{overflate} = \sqrt[4]{\frac{L}{4\pi r_{Universitas}^2}}\)

Her har vi radiusen \(r\), stefan-boltsmann kontanten \(\sigma\) og temperaturen \(T\).

Jahaja....Når vi løser denne med vår estimerte luminositet får vi at temperaturen på vår stjerne, Universitas, blir 19.9 K eller -253°C.... Jaa føler nok at dette videre viser at det er nok noe galt i denne modellen ja..

 

 

Okei, blanke ark! Degeneret materie, hva er det?

Vel, degenerert materie er en veldig kul greie! Det er nemlig en spesiell konfigurasjon av gass. vi ser på partikler, fermioner, som oppfører seg etter regler i kvantemekanikken! Vi tenkte ikke å gå veldig dypt i kvantemekanikkens lover og regler, men heller forklare konseptet av det som skjer.

Tenk deg at du er Elsa fra frozen (ikke Ellen Degenerert...haha humor), og at du har en kule med vann (I frozen-verden kan vi ha kuler med vann okei, ikke ødelegg analogien med kritisk tenkning!). Når du fryser vannet, vil alle partiklene gå mot en lavere bevegelsesenergi.

For å se for oss dette bedre ser vi på noe som vi kaller bevegelsesmengde-rommet! Her forteller posisjonen til et partikkel oss hvor mye den beveger seg i x-, y-, og z-retningen. 

Når alle partiklene vil gå mot lavere bevegelsesenergi kan vi tenke oss at alle partiklene ønsker å gå mot origo i bevegelsesmengde-rommet! Men det blir så mange partikler som ønsker å komme seg mot origo at det rett og slett ikke er plass. Dersom alle disse plassene i bevegelsesmengde-rommet er fylt opp og nye partikler ikke kan komme seg inn mot origo, sier vi altså at vi har degenerert materie! Kult, ikke sant? Med dette kan vi endelig finne ut mer om hvordan en stjerne lever!

 

Så hvordan er livssyklusen til en stjerne egentlig?

Jo, først fødes stjernen, slik beskrevet her (forrige innlegg). Deretter lever den et godt, og som oftest ufattelig langt liv på hovedserien. Mens stjernen er på hovedserien fusjonerer den. Først hydrogen til helium, og etterhvert til større og større grunnstoffer! Dette skjer om vi har stoore stjerner, men vår lille stjerne Universitas har ikke varm nok kjerne til å fusjonere til større grunnstoffer som Magnesium og Neon. Men det som skjer med Universitas er at kjernen blir så tett til slutt at den blir elektron degenerert (som vi snakket om i sted!) og trykket som kommer fra denne degenerasjonen jobber mot tyngdekraften for å opprettholde hydrostatisk likevekt.

I mens stjernen trekker seg sammen blir temperaturen i de ytre delene av stjernen høyere, fordi det vil være en høyere kinetisk energi der, og hydrogenbrenningen i de ytre skallene blir mer effektiv enn heliumbrenningen i de nedre skallene. Heliumen vi kan se på tegningen "detter" ned inn i de innerste skallene, til der ingen heliumbrenning skjer.

Etter et viss punkt er da temperaturen i de indre skallene høy nok til at vi får det vi kaller et helium-skall-flash. Denne eksplosjonen "dytter" heliumen lengre ut, og stjernen trekker seg sammen helt til den er varm nok til at heliumbreningen starter på nytt og hele prosessen gjentar seg.

Bildet kan inneholde: tegnefilm, ansiktsuttrykk, oransje, illustrasjon, gul.

Når en stjerne gjør dette er den veldig ustabil og under hvert flash mister den masse. Hvert flash sender bort mer og mer masse, og tilslutt, etter et par millioner år, er det kun det degenererte materiet igjen.

Det vi ender opp med er altså bare den degenererte karbon/oksygen delen. Stjerner som kun består av dette ved slutten av livssyklusen kaller vi Hvite Dverger!

En stjerne (med liten masse vel og merke) har også en ganske kul bane rundt om kring det kule HR-diagrammet!

Den starter i hovedserien, beveger seg så opp til stjerner med lav temperatur, opp til å bli kjempestjerner, litt fram og tilbake og tilslutt ser vi at stjernene ender opp med lav luminositet og høy temperatur, altså som dvergstjerner!

 

 

Her er noen kule fakta om hvite dverger!

Vi vet massen til en hvit dverg er gitt ved \(M_{WD} = \frac{M}{8M_{sola}} M_{Chandresakar}\) , der \(M\) er Universitas nåværende masse, \(M_{sola}\) er massen til deres jord-Sol, og \(M_{Chandresakar}\) er en grense for hvor stor en hvit dverg kan være som en person ved navn Chandresakar fant ut av! Dersom vi vil se på hva en liter av hvit dverg materie veier, finner vi massetettheten med formelen fra i stad \(\rho_{WD} = \frac{M_{WD}}{V}\), og multipliserer denne med \(0.001 m^3\) . Dette gir oss altså \(\text{En liter hvit dverg} = 2841331 kg \approx 2.8 \cdot 10^6 kg \). Så dvergstjerner er tuuunge!

 

Vi kan også finne tyngdeakselerasjonen ved overflaten av en hvit dverg ved å bruke formelen for tyngdeakselerasjon vi så på i stad.


\(g = G\frac{M_{WD}}{R_{WD}^2}\)

Her er altså \(R_{WD} \approx (\frac{3}{2\pi})^{4/3} \frac{h^2}{20m_eG} (\frac{Z}{Am_H})^{5/3} M^{-1/3}\) som er et lang og komplisert utrykk, men hvis du vil se hvordan vi kom fram til det kan du trykke her!

Med denne formelen får vi altså at tyngdeakselerasjonen ved overflaten til en hvit dverg er \(g = 2230942 \ m/s^2 \approx 2.2\cdot 10^6 \). Shit, dette er veldig mye med tanke på at jordens tyngdeakselerasjon er \(9.81 \ m/s²\).

 

Er ikke stjerner helt sykt kule?? Det synes i alle fall vi! Håper du har kost deg med litt info om stjerner og Universitas!

 

Forrige innlegg                                                                                                  

Publisert 18. des. 2020 20:21 - Sist endret 18. des. 2020 20:21
Legg til kommentar

Logg inn for å kommentere

Ikke UiO- eller Feide-bruker?
Opprett en WebID-bruker for å kommentere