MAT-INF 1100 - høsten 2007 

Forelesningsrapport 

Her vil vi legge ut en kort rapport om hva vi har gjort på hver forelesning.

Tirsdag 27/11. Foreleser: Knut Vi begynte med å se på inhomogene differensligninger der høyresiden består av en sum av ledd av ulik type. I slike situasjoner kan en finne en partikulærløsning for hver ligning med et ledd på høyre side og så vil summen av partikulærløsningene bli en partikulærløsning for den fullstendige ligningen. Etter dette så vi på systemer av differensialligninger og hvordan de numeriske metodene vi har for skalare ligninger enkelt kan utvides til systemer. Til slutt repeterte vi ideen bak aritmetisk koding. Og dermed var forelesningene for MAT-INF 1100 høsten 2007 over!

Mandag 26/11. Foreleser: Knut I dag var det repetisjon som sto på programmet. Vi begynte med induksjonsprinsippet og løste oppgave 4 fra prøveeksamen høsten 2003 (merk en litt finurlig detalj når du skal vise at xn<=3, du må sjekke både x0 og x1 manuelt). Deretter Så vi på oppgave 4 fra konteeksamen høsten 2005 om induksjon og Taylorpolynomer og oppgave 1 fra prøveeksamen høsten 2003 om Taylorpolynomer og restledd.

Tirsdag 20/11. Foreleser: Knut Vi begynte med å demonstrere noen beregninger på bilder som vi pga. tekniske problemer ikke fikk vist igår. Deretter generaliserte vi metoder for derivasjon av funksjoner av en variabel til metoder for derivasjon av funksjoner av to variable. Som eksempel deriverte vi bilder. Til slutt diskuterte og illustrerte vi forskjellen på rastergrafikk og videografikk.

Mandag 19/11. Foreleser: Knut Vi har fått beskjed om at en del synes det er vanskelig å få taket på MAT-INF 1100 fordi kurset inneholder så mye forskjellig. Vi brukte de første 15 minuttene til å se litt på de ulike ingrediensene og hvorfor de er der. Deretter repeterte vi et eksempel på numerisk derivasjon og utledning av feilestimat. I andre time så vi hva som skjer med feilleddet hvis vi tar med feil antall ledd i Taylorpolynomet. Til slutt så vi på litt på hva digitale bilder er. Dessverre sviktet det tekniske anlegget slik at vi ikke fikk vist eksempler på bilder. Forhåpentligvis blir det bedre i morgen.

Tirsdag 13/11. Foreleser: Knut I dag avsluttet vi stoffet om aritmetisk koding ved å vise denne metoden er optimal (korollar 5.19). Deretter gikk vi over til å se på kapittel 10 i det norske kompendiet om såkalt toleransekompresjon. Vi gjennomgikk seksjon 10.2 i detalj og viste et eksempel på slutten.

Mandag 12/11. Foreleser: Knut Vi fortsatte med tapsfri kompresjon, i dag med aritmetisk koding, seksjon 5.4 i det engelske kompendiet. Vi rakk ikke å ta seksjon 5.4.3 i detalj - noe av det tar vi med i morgen. Seksjon 5.4.4 må dere nok lese på egen hånd.

Tirsdag 6/11. Foreleser: Knut I dag var tema Huffman koding av informasjon og informasjonsentropi. Vi gjennomgikk seksjone 5.2 og 5.3 i det engelske kompendiet i detalj.

Mandag 5/11. Foreleser: Knut Hovedtema i dag var representasjon av tekst på datamaskin. Vi så på ASCII og ISO Latin standardene og Unicode ved UTF-8. Dessuten så vi også litt på hvordan mer generell informasjon kan representeres. Alt dette er beskrevet i seksjonene 4.3-4.5 i det engelske kompendiet. Vi så også på hvorfor det er nyttig å kunne komprimere informasjon, og et enkelt eksempel. Dette finner du i seksjon 5.1 og 5.2 i det engelske kompendiet. Vi fortsetter med kompresjon i morgen, fra seksjon 5.2.1.

Tirsdag 30/10. Foreleser: Geir Variasjon av parameteren(e) ble gjennomgått. Deretter ble det gitt et sammendrag av differensiallikninger i mat-inf 1100. Lysark fra mandag og tirsdag er lagt ut (eksempler fra mandag er ikke inkludert).

Mandag 29/10. Foreleser: Geir Vi tok for inhomogene differensiallikninger av andre orden og gikk igjennom ubestemte koeffisienters metode. Eksempler ble gitt på alle de tre reglene. Spesielt ble regel 3 utbrodert i form av eksternt pådrag på et svingesystem. I dette tilfellet har "unntaket" fra regelen (pådrag har samme periodisitet som egensvingningen) tolkning som resonans.

Mandag 22/10. Foreleser: Knut I dag var tema separable differensialligninger. Vi minnet først litt om ulike klasser av differensialligninger og gjennomgikk så seksjon 10.4 i Kalkulus, inklusvi de to første eksemplene. Vi så også hvordan de to ligningene i oppgave 10.4.1df kan skrives på separabel form.

Tirsdag 16/10. Foreleser: Geir Vi tok for oss Eulers metode, Eulers midtpunktmetode og Runge Kuttas metode for en førsteordenslikning. Det ble lagt vekt på geometriske tolkninger og sammenhengen mellom differensial- og differenslikninger. Deretter gjorde vi om en andreordenslikning til et sett av to førsteordenslikninger og formulerte Eulermetodene for dette tilfellet. Det ble også demonstrert at for et eksempl, som har en ren svingning som løsning, er Eulers metode instabil. Rettede lysark er lagt ut.

Mandag 15/10. Foreleser: Geir Vi definerte differensiallikninger, tok for oss noen få anvendte eksempler og gikk igjennom generell løsning av lineære førsteordenslikninger. Deretter så vi på entydghet for det tilhørende problemet med sidebetingelse (initialbetingelse). Vi rakk så vidt å snakke litt om numeriske metoder, men starter fra begynnelsen på dette temaet i morgen. Lysark til både i dag i morgen er lagt ut.

Tirsdag 2/10. Foreleser: Knut Etter henstilling fra tillitsstudentene repeterte vi først prinsippene for hvordan inhomogene differensligninger løses. Deretter vi utledet vi trapesregelen for numerisk integrasjon, og skrev den om til en form som kan implementeres effektivt på datamaskin. Til slutt tok vi for oss utledning av feilestimater for numerisk derivasjon og integrasjon, seksjon 9.6 i det gamle kompendiet. Vi tok for oss de to tilnærmingene f'(a) ≈(f(a+h)-f(a))/h og f'(a)≈(f(a+h)-f(a-h))/(2h) og så hvordan vi kunne finne uttrykk for feilen basert på Taylorpolynomer for f med restledd. Her fikk vi ikke nok tid, så det henvises til kompendiet, men jeg legger kanskje ut en kort oppsummering av prinsippene.

Mandag 1/10. Foreleser: Knut Vi begynte med å oppsummere enkelte løse tråder fra tidligere forelesninger: Grafisk framstilling av Newtons metode og sammenhengen mellom Taylorpolynomer og eksponensialfunksjoner med imaginært argument. Dessuten så vi litt på hva lyd er og hvordan lyd kan håndteres på datamaskin med en del demonstrasjoner. TIl slutt så vi på noen metoder for numerisk derivasjon og integerasjon - dette vil si se nøyere på i morgen.

Tirsdag 25/9. Foreleser: Geir Restledd på Lagrangesform ble utledet og brukt i eksempler: feil i verdi av funksjon estimert med Taylorpolynom, bestemt integral tilnærmet vha. Taylorpolynom og grenseverdier av brøker ("0/0" uttrykk). Vi så også på polynomene for ln(1+x), som har begrenset gyldighetsområde og der en må ha med svært mange ledd for å få god tilnærmelse når x er nær +-1.

Mandag 24/9. Foreleser: Geir Vi gjennomgikk definisjonen av og ideen bak Taylorpolynomer. Polynomene for eksponentialfunksjonen ble utledet og beregnet ved hjelp av et Pythonprogram (lagt ut på hjemmesiden). Programmet bygde på nøstet mutiplikasjon og demonstrerte at Taylorpolynomene i det gitte eksemplet kan gi gode tilnærmelser til funksjonen. Til slutt ble Taylorpolynom med restledd på integralform utledet.

Tirsdag 18/9. Foreleser: Knut Vi begynte med å se på halveringsmetoden for å beregne nullpunkter (seksjon 5.3 i det norske kompendiet). Vi så hvordan metoden kan kodes, inklusive passende stoppkriterier, og demonstrerte metoden i praksis (i Python). Vi diskuterte også konvergens og hvordan vi kan regne ut hvor mange iterasjoner som er nødvendige for å oppnå en ønsket nøyaktighet. Deretter så vi raskt på Newtons metode (seksjon 6.4 i det norske kompendiet og 7.3 i Kalkulus) og sekantmetoden. Til slutt så vi på prinsippene for interpolasjon med polynomer (seksjon 9.2.1 i det norske kompendiet). Interpolasjon med polynomer blir viktig når vi skal utlede metoder for å beregne tilnærminger til deriverte og integraler.

Mandag 17/9. Foreleser: Knut Mesteparten av forelesningen brukte vi til å studere hvilken innvirkning avrundingsfeil i argumentet til en matematisk funksjon får på de beregnede funksjonsverdiene når vi bruker flyttall. Det mest relevante feilmålet er relativ feil, og kondisjonstallet gir da et godt mål på hvor mange siffer vi mister i funksjonsberegningen. Dette stoffet er behandlet i seksjonene 5.1 og 6.1 i (det gamle) kompendiet. Særlig viser eksempelet på sidene 88-90 godt hvordan enkelte beregninger kan gi stor relativ feil. TIl slutt så vi at det kan være behov for å finne nullpunkter i ligninger numerisk, og vi definerte halveringsmetoden og Newtons metode. Mer om dette kommer i morgen.

Tirsdag 11/9. Foreleser: Geir Vi repeterte og fullførte løsning av homogene differenslikninger fra kap 4.1. Deretter tok vi for oss en enkel inhomogen førsteordenslikning før vi skisserte regel 1 til 3 for inhomogene likninger fra kap. 4.2. Det ble bare tid til noen få og enkle eksempler. I en litt forkortet andre time så vi på simulering av differensllikninger fra kompendiet og fikk demonstrert og diskutert en instabilitet grunnet avrundingsfeil. Lysark til denne siste delen ligger under hjemmesiden.

Mandag 10/9. Foreleser: Geir Vi definerte følger og gjennomgikk det meste om av teorien om løsning av homogene differenslikninger i kap. 4.1. Tilfelle 3 gjenstår til tirsdag og blir gjennomgått sammen med inhomogene likninger og simulering av differenslikninger. Tillitsstudenter ble også utpekt.

Tirsdag 4/9. Foreleser: Knut Vi fortsatte der vi slapp i går og begynte med å beskrive normalformen for reelle tall, både desimalt og binært. Ut fra dette så vi at tall kan lagres ved å lagre dets mantisse og eksponent og vi beskrev hvordan dette gjøres med 64 bits flyttall og hvordan Python håndterer dette (alt dette er beskrevet i seksjon 4.2 i det nye kompendiet). Deretter så vi på hvordan aritmetikk, særlig addisjon, med flyttall foregår. VI så på eksempler som viste at det en lett kan få avrundingsfeil ved flyttallsberegninger, og enkelte ganger kan feilen bli dramatisk. For å se nøyere på dette definerte vi absolutt og relativ feil (seksjon 2.4 i det gamle kompendiet). Dette skal vi bruke til å analysere feilen ved beregning av matematiske funksjoner som polynomer og trigonometriske funskjoner (seksjon 6.1 i det gamle kompendiet). Dette rakk vi ikke, så det kommer neste gang.

Mandag 3/9. Foreleser: Knut Først gjennomgikk vi kompletthetsprinsippet for reelle tall (seksjon 2.3 i Kalkulus). Dette er teoretisk stoff og det viktigste konsekvensen er at det ikke er huller på tallinja. Vi så også på aksiomene for de reelle tallene (seksjon 2.4 i Kalkulus). I andre time tok i for oss representasjon av reelle tall i ulike tallsystemer og viste at de fleste reelle tall krever uendelig mange siffer (seksjon 3.3 i det nye kompendiet).

Tirsdag 28/8. Foreleser: Knut. I dag var tema represetasjon av heltall på datamaskin. Vi så først på hvorfor det er fornuftig at datamaskiner arbeider med 0 og 1 internt. Deretter så vi på representasjon av heltall i ulike tallsystemer (siffersystemer) og hvordan vi kan konvertere mellom disse. Til slutt tok vi for oss representasjon ved hjelp av 32 bits heltall og hvordan Pythons grensesnitt til dette er. Dette stoffet finner du i seksjonene 3.2 og 4.1 i det nye kompendiet.

Mandag 27/8. Foreleser: Geir. I første time gjennomgikk vi Pascals trekant og binomialformelen. Etter pause tok vi for oss kapittel 2.1 og 2.2 i Kalkulus; Tallmengder, definisjoner, trekantulikheten, irrasjonale og rasjonale tall, bevis for at kvadratroten av 2 ikke er rasjonal og Arkimedes prinsipp.

Tirsdag 21/8. Foreleser: Knut. Tema i dag var induksjon. I første time gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen for de n første heltallene er riktig. Dette er lagt ut på denne siden. I andre time så vi på to eksempler fra Kalkulus, eksempel 1.2.4 og oppgave 1.2.4.

Mandag 20/8. Foreleser: Knut. Første time ble brukt til informasjon om kurset, studietips etc. I andre time gjennomgikk vi seksjon 1.1 i Kalkulus, inklusiv skifte av summasjonsindeks.