Forelesningsrapporter i MAT 1100. H-04

På denne siden vil du finne korte rapporter fra forelesningene i omvendt kronologisk rekkefølge (de nyeste øverst). Det er ikke mening at disse rapportene skal kunne erstatte forelesningene, men de skal gi deg et godt inntrykk av hva som ble gjennomgått dersom du ikke kunne være til stede.

Onsdag 1/12:

Jeg gikk gjennom kontinuasjonseksamen fra ifjor (rakk hele del 2, men bare litt av del 1). En fasit (med noen hint om løsningsmetoder) ligger her . Den kan inneholde feil — jeg fant ikke fasiten fra ifjor og måtte lage en ny i full fart!

Mandag 29/11:

I dag repeterte jeg resten av pensum, dvs. kapittel 8 og 9 i Kalkulus pluss heftet om funksjoner av flere variable. Jeg la vekt på:

Integrasjon Øvre og nedre trappesummer, definisjon av integral, Riemann-summer. Analysens fundamentalteorem. Anvendelser: omdreiningslegemer om x- og y-aksen, buelengde (vær oppmerksom på at disse formlene ikke står på formelarket). Integrasjonsteknikker: Delvis integrasjon, substitusjon, delbrøkoppspalting. Uegentlige integraler.

Funksjoner av flere variable: Nivåkurver og konturer. Partiellderiverte og retningsderiverte. Gradienten og dens geometriske betydning (Her er det fire punkter: (i) Gradienten peker i den retningen hvor funksjonen vokser raskest ((ii) Lengden til gradienten angir hvor raskt funksjonen stiger i den bratteste retningen (iii) Gradienten står normalt på nivåkurven gjennom punktet (iv) den retningsderiverte i retning r er prikkproduktet av gradienten og r). Kjerneregelen. Annenderiverttesten. Lagranges multiplikatormetode.

Til slutt snakket jeg litt om eksamen. Oppgavesettet har akkurat samme format som ifjor. Første del består av 10 flervalgsopgaver som hver teller 3 poeng. Disse oppgavene er hentet fra siste del av pensum (dvs. kapittel 8-9 i Kalkulus eller heftet om funksjoner av flere variable). Andre del av eksamen består av "vanlige" oppgaver hentet fra hele pensum. Her er det 7 delspørsmål (1a), 1b), 2a) osv.) som teller 10 poeng hver. I gjennomsnitt er nok flervalgsoppgavene enkleste, men det finnes vanskelige punkter der også. Til gjengjeld finnes det en del greie punkter blant de vanlige oppgavene. Disse er det viktig at du får med deg siden de teller mye. Bruk derfor ikke altfor mye tid på flervalgsdelen før du begynner på del 2. I flervalgsdelen er det ingen ""straff" for å tippe; du får 0 poeng om du svarer galt eller lar være å svare. Du bør derfor svare på alle spørsmålene i denne delen (selv om det betyr at du må tippe på noen).

Forberedelser før eksamen: Kikk på eksamensoppgavene fra ifjor (både prøveeksamen, ordinær eksamen og kontinuasjonseksamen) slik at du er vant til prøveformen. Se også grundig på formellarket slik at du vet hva som står der (arket blir lagt ved eksammenssettet så du behøver ikke ha det med deg.) Ellers: regn oppgaver, kikk i boken eller notatene dine når det er noe du ikke skjønner, og bruk orakeltjenesten om du fortsatt står fast.

Onsdag 1/12 er det ikke noe organisert opplegg, men jeg er til stede i auditoriet for å svare på spørsmål. Er det dårlig med spørsmål, regner jeg kontinuasjonseksamen fra ifjor.

Onsdag 24/11:

Jeg repeterte til og med kapittel 7 i Kalkulus. La vekt på følgende:

Komplekse tall: Kartesisk form (a+ib) og polarform. Divisjon av komplekse tall. Kompleks eksponentialfunksjon. De Moivres formel. n-te røtter av komplekse tall. Algebraens fundamentalteorem i kompleks og reell form.

Reelle tall og følger: Kompletthetsprinsippet, teoremet om at monotone begrensede følger konvergerer.

Funksjoner: Kontinuerlige og deriverbare funksjoner (både formell definisjon og grafisk representasjon). Kurvedrøfting (voksende/avtagende, konveks/konkav, skråasymptoter). De sentrale setningene: Skjæringssetningen, Ekstremalverdisetningen, Middelverdisetningen.

Grenser: L'Hopitals regel, triksene med å faktorisere ut høyeste potens og med å multiplisere med den konjugerte.

Omvendte funksjoner: Injektivitet, definisjon av omvendt funksjon, formel for den deriverte til en omvendt funksjon.

Arcus-funksjoner: Definisjon, grafer, formel for den deriverte.

Uoppstilte oppgaver: Maks/min-oppgaver, koblede hastigheter.

Mandag 22/11:

I dag avsluttet vi pensumgjennomgåelsen. De to neste gangene (onsdag 24. og mandag 29.) vil bli brukt til repetisjon.

Jeg brukte forelesningen til å gjennomgå Lagranges multiplikatormetode (kapittel 4 i heftet). Etter å ha forklart ideen bak metoden geometrisk, formulerte jeg Setning 4.2 (uten bevis). Som et eksempel fant jeg maks og min til funksjonen f(x,y)=3x+2y på kurven x^2+y^2=1. Etter pause regnet jeg et mer sammensatt eksempel der vi skulle finne maks. og min til funksjonen f(x,y)=4x^2+y^2+16y over området 4x^2+9y^2≤900. Her fant jeg først mulige ekstremalpunkter i det indre ved å sette gradienten til f lik null. Deretter fant jeg mulige ekstremalpunkter på randen ved hjelp av Lagranges metode. Til slutt sammenlignet jeg verdien til funksjonen i de aktuelle punktene ved og fant det globale maks.- og min.-punktet.

Jeg nevnte raskt hvordan Lagranges metode blir seende ut når man har flere betingelser, og avsluttet deretter ved å gjennomgå oppgave 4.7 i heftet.

Onsdag 17/11:

Jeg gikk først gjennom annenderiverttesten for funksjoner av to variable og regnet et eksempel med den. Deretter gikk jeg over til å forklare hvordan man kan finne (globale) maks/min-punkter til kontinuerlige funksjoner definert på et lukket, begrenset område (ifølge ekstremalverdisetningen må slike punkter finnes). Vi gjør dette ved først å finne de kritiske punktene i det indre av området (det er de punktene der gradienten er null eller ikke eksisterer). Deretter finner vi de mulige ekstremalverdiene på randen av området (vi skal se på en generell teknikk for å gjøre dette på mandag - foreløpig får vi nøye oss med smarte knep). Så sammenligner vi verdiene i de punktene vi nå har; den største verdien tilhører de(t) global(e) makspunktet(/ene), men den minste verdien gir globale min-punkter. Dersom det finnes mange stasjonære punkter i det indre, kan det være lurt først å bruke annenderiverttesten slik at vi vet hvilke som er "verdige" kandidater. Etter denne generelle drøftingen regnet jeg et eksempel der området var et kvadrat. I dette tilfellet kunne vi finne kandidatpunkter på randen ved å bruke en-variabel-teknikker.

Etter pausen snakket jeg om uoppstilte maks/min-problemer. Her valgte jeg å illustrere teknikkene ved å gjennomgå eksempel 3.9 i heftet. Dette eksempelet illustrerer godt hvordan man tenker i slike oppgaver (og hva slags problemer man kan støte på!).

Til mandag gjennomgår jeg kapittel 4. Dermed er vi ferdig med pensumgjennomgangen. Onsdag 24. og mandag 29. vil jeg bruke til en rask, men systematisk repetisjon. Onsdag 1/12 er dagen før INF1000-eksamen og jeg vil derfor ikke ha noen systematisk gjennomgåelse. Jeg vil imidlertid være til stede i auditoriet for å svare på spørsmål, eventuelt regne noen gamle eksamensoppgaver. Se også oversikten over orakel-tjeneste før eksamen (lenke under "Beskjeder").

Mandag 15/11:

Jeg viste først at gradienten til en funksjon står normalt på nivåkurven gjennom punktet (dette er en liten øvelse i kjerneregelen). Deretter snakket jeg om partiellderiverte av annen orden. Jeg regnet ut disse for en funksjon av to variable og skrev opp den generelle definisjonen. Deretter formulerte jeg setningen som sier at blandede partiellderiverte er like når de er kontinuerlige i en omegn om det punktet vi er interessert i. Så definerte jeg Hesse-matrisen og regnet et eksempel.

Etter pausen begynte jeg på kapittel 3. Jeg definerte først lokale maksimums- og minimumspunkter og formulerte setning som sier at et lokalt ekstrempunkt er enten et randpunkt eller et punkt der gradienten ikke eksisterer eller et punkt der gradienten er null. Jeg viste så gjennom to eksempler hvordan man finner de punktene der gradienten er null.

Jeg regner med å bli ferdig med kapittel 3 (og kanskje få begynt på kapittel 4) til onsdag.

Onsdag 10/11:

Repeterte først at gradienten peker i den retningen hvor funksjonen vokser hurtigst (og at stigningstallet i denne retningen er lengden til gradienten) og regnet et eksempel der man skulle finne denne retningen. Deretter snakket jeg litt om tangentplan. Her konsentrerte jeg meg om setning 2.61 (som jeg argumenterte litt løselig for). Jeg regnet et eksempel av samme type som 2.62 i heftet.

Jeg begynte så på dagens store tema — kjerneregelen i flere variable. Jeg presenterte den først for tilfellet f(g(x,y),h(x,y)) og viste hvordan man fant de partiellderiverte i et eksempel. Etter pausen presenterte jeg det generelle tilfellet og regnet et nytt eksempel (av omtrent samme vanskelighetsgrad som 2.68). Deretter ga jeg et argument (ikke et stringent bevis) for hvorfor kjerneregelen er som den er. Til slutt forklarte jeg at den egentlige nytten av kjerneregelen i flere variable ikke består i at vi kan bruke den til å regne ut partiellderiverte til konkrete funksjoner (det kan vi alltid greie uten kjerneregelen), men at vi kan bruke den til å utlede generelle sammenhenger. Tok et eksempel av samme type som oppgave 2.21.

På mandag snakker jeg først (ganske kort!) om seksjon 2.4.10. Deretter begynner jeg på seksjon 2.5 om annenderiverte av funsjoner av flere variable. Kanskje rekker vi også å komme i gang med kapittel 3.

Mandag 8/11:

Jeg begynte med å formulere ekstremalverdisetningen for funksjoner av to variable. Skisserte ideen i beviset, men gikk ikke inn på detaljene. Deretter begynte jeg på avsnittet om derivasjon. Jeg definerte først den retningsderiverte og viste hvordan man kan bruke definisjonen til å regne ut den retningsderiverte til f(x,y)=x^2y i punktet (2,1) og retningen (1,-1). Deretter snakket jeg om partiellderiverte og viste hvordan disse kan beregnes ved å derivere med hensyn på én variabel mens alle de andre regnes som konstanter. Regnet et eksempel av samme type som 2.47. Jeg definerte så gradienten og regnet et eksempel av samme type som 2.53 og 2.54. Etter å ha innført C^1-funksjoner formulerte jeg setning 2.55 og ga et intuitivt argument (men ikke et fullstendig bevis). Jeg regnet et eksempel av samme type som 2.58. Til slutt beviste jeg setning 2.56 (men rakk ikke å regne et eksempel).

Neste gang snakker jeg litt mer om geomtrisk tolkning av gradienter (2.56 og 2.61 i heftet). Deretter begynner jeg på kjerneregelen (seksjon 2.4.8) og håper også å rekke litt av seksjon 2.5. De *-merkede delene av heftet er ikke eksamensrelavant (men man lærer mye av å lese dem!)

Onsdag 3/11:

I dag begynte jeg på kapittel 2 i heftet. Jeg definerte første indre punkter, ytre punkter og randpunkter til en mengde, og brukte så dette til å definere åpne og lukkede mengder. Disse mengdene spiller på mange måter samme rolle i teorien for funksjoner av flere variable som åpne og lukkede intervaller spiller i teorien for funksjoner av en variabel. Legg for øvrig merke til at det ikke er slik at en mengde enten er åpen eller lukket — de fleste mengder er ingen av delene!

Jeg gikk deretter løs på grenseverdier for funksjoner av flere variable. Her definerte jeg først akkumulasjonspunkter (som er de naturlige punktene å definere grenseverdier i) og definerte deretter grenseverdier. Legg merke til at definisjonen er nøyaktig den samme som for funksjoner av en variabel. Deretter skrev jeg opp Setning 2.23 og viste hvordan den kan brukes til å finne grenseverdier ved å se på et eksempel av samme type som 2.24-2.26 i heftet. Deretter så jeg på grenseverdier av typen "0/0" ved å gjennomgå eksempler av samme type som 2.28 og 2.29 i heftet. Spesielt la jeg vekt på teknikken med å skifte til polarkoordinater i eksempel 2.28. Jeg nevnte også fenomenet i eksempel 2.30 (at funksjonen går mot null langs alle rette linjer, men ikke langs en parabel) uten å gjennomgå regningene.

Til slutt definerte jeg kontinuitet av funksjoner av flere variable, skrev opp setningene 2.32 og 2.33, og viste hvordan de kan brukes på et eksempel av samme type som 2.35.

Neste gang begynner jeg på avsnitt 2.3.1 og gjør meg raskt ferdig med det før jeg går løs på 2.4. Mange synes sikkert det går litt fort for tiden, men jeg vil gjerne raskt frem til seksjon 2.4 der det mest eksamensrelevante stoffet er. Når vi er kommet frem dit, slår jeg ned farten!

Mandag 1/11:

I dag begynte jeg på heftet om funksjoner av flere variable. Heftet er ganske innholdsrikt sammenlignet med den tiden vi har til rådighet, og det vil nok derfor bli større forskjell på lærebok og forelesning enn hva det har vært hittil. På den annen side er dette typisk "eksempelmatematikk" der man lærer mer fra eksempler enn fra definisjoner og teoremer, og det er derfor fint å ha et hefte med mange eksempler selv om vi ikke rekker å gjennomgå alle på forelesning.

Etter å ha snakket litt uformelt om funksjoner av flere variable, snakket jeg litt mer utfyllende om n-tupler enn det som står i heftet. Deretter definerte jeg funksjoner av n variable generelt, og regnet et eksempel der man skulle finne definisjonsmengden til en funksjon. Så tok jeg fatt på den grafiske fremstillingen av funksjoner i to variable. Jeg bytttet om rekkefølgen i heftet og snakket om nivåkurver før konturer. Som eksempler tegnet jeg grafene til z=x^2+y^2 og z=xy. Til slutt snakket jeg litt om polarkoordinater i planet, samt sylinder- og kulekoordinater i rommet. Bortsett fra polarkoordinater skal vi bruke disse koordinatssystemene lite i dette kurset, men det er greit å vite at de finnes.

Ellers understreket jeg at det er lov å bruke lommeregneren som hjelpemiddel når man skal tegne flater. Mange lommeregnere kan tegne tre-dimensjonale flater, men disse figurene kan være vanskelige å tolke. Man kan også bruke lommeregneren som et hjelpemiddel til å tegne nivåkurver og konturer.

Jeg regner meg nå ferdig med kapittel 1 i heftet. På onsdag starter jeg på kapittel 2.

Onsdag 27/10:

Som et eksempel på hvordan substitusjon kan bringe oss over til et integral som kan løses ved delbrøkoppspalting, regnet jeg først ut integralet til 1/sin x (gang over og under brøkstreken med sin x, skriv nevneren som 1-cos^2x og sett u=cos x). Deretter oppsummerte jeg alle trinnene i delbrøkoppspalting. Jeg understreket at integrasjon av uttrykk på formen (Ax+B)/(x^2+ax+b)^m der m>1, ikke vil bli krevet til eksamen, men at det er greit å vite at en løsningsmetode finnes (se Kalkulus side 403-405).

Jeg begynte så på seksjon 9.5 (9.4 er ikke pensum, men inneholder triks det kan være lurt å kikke på om man har overskudd). Etter å ha gjennomgått Definisjon 9.5.1, regnet jeg eksempler av samme type som 9.5.2 og 9.5.3. Deretter beviste jeg Setning 9.5.4. Jeg gikk også gjennom definisjon 9.5.6 og regnet eksempel 9.5.7. Vær oppmerksom på at pensum stopper før sammenligningskriteriet på side 426.

Vi er nå ferdig med pensum fra Kalkulus. På mandag begynner jeg på pensumet fra flervariabelheftet. Vi er i rute etter tidsplanen.

Mandag 25/10:

I dag gjennomgikk jeg delbrøkoppspalting. Jeg forklarte først hva en rasjonal funksjon er, og viste gjennom et eksempel (av samme type som 9.3.1) hvordan man kan bruke polynomdivisjon til å sørge for at graden til teller blir mindre enn graden til nevner. Deretter viste jeg hvordan man setter opp delbrøkoppspalting i det generelle tilfellet (oppstillingen midt på side 399 i boken). Som et eksempel på hvordan man setter opp skjemaet og finner koeffisientene, viste jeg at (5x^3+20x^2+22x+6)/((x+2)^2(x^2+2x+2))=2/(x+2)+1/(x+2)^2+(3x-1)/(x^2+2x+2). Etter pausen forklarte jeg hvordan man integrerer uttrykk av typen (Ax+B)/(x^2+ax+b). Først så jeg på et tilfelle av samme type som eksempel 9.3.4 (dvs. der A=0), og deretter et av samme type som 9,3.5. En av grunnene til at delbrøkoppspalting er viktig, er at teknikken ofte kan brukes i integraler som i utgangspunktet ikke består av rasjonale funksjoner etter at vi har substituert eller delvis integrert. Som et eksempel på dette løste jeg integralet til ln(x^2+2x+2) (begynte med delvis integrasjon og fortsatte med polynomdivisjon og delbrøksoppspalting).

Onsdag 20/10:

Jeg avsluttet først gjennomgangen av buelengde og regnet eksempel 8.6.8 (det er ikke så lett å finne gode eksempler med buelengde!). Deretter begynte jeg på seksjon 9.1 om delvis integrasjon. Etter å ha utledet formelen, regnet jeg eksempler av samme type som 9.1.3, 9.1.4 og 9.1.5. Deretter viste jeg hvordan man bruker delvis integrasjon i bestemte integraler, og regnet integralet av (sin x)^2 fra 0 til π/2 som et eksempel. Jeg gikk så over til å snakke om substitusjon (seksjon 9.2). Etter å ha gjennomgått formelen i setning 9.2.3, regnet jeg en del eksempler av samme type som 9.2.2, 9.2.4 og 9.2.5. Til slutt snakket jeg litt om hvordan vi substituerer i bestemte integraler (setning 9.2.7). Jeg regner med at jeg begynner på delbrøkoppspalting (seksjon 9.3) på mandag.

Mandag 18/10

Jeg snakket først om seksjon 8.5. Dette er ganske tungt stoff (særlig det som står i den *-merkede delen som ikke er pensum!), men alt dere behøver å kunne er egentlig Korollar 8.5.4 som sier at Riemann-summene til en funksjon konvergerer mot integralet når maskevidden går mot null.

Jeg gikk så over til å snakke om anvendelsene i seksjon 8.5. Først snakket jeg litt om arealer der jeg først og fremst understreket betydningen av å holde styr på fortegnet. Deretter utledet jeg formelen for volumet til et omdreiningslegeme om x-aksen. Som eksempel regnet jeg ut volumet til en kuleskalk. Så utledet jeg formelen for omdreiningslegeme om y-aksen og regnet ut volumet generert av f(x)=e^(-x^2) når 0≤x≤1. Til slutt begynte jeg på avsnittet om buelengde der jeg kom frem til det første uttrykket for Lambda(Pi) på side 361. I alle utleggingene la jeg vekt på å vise hvordan Riemann-summer dukker opp på en naturlig måte.

Neste gang avslutter jeg avsnittet om buelengde og begynner på kapittel 9.

Onsdag 6/10:

Jeg begynte med å skrive opp analysens fundamentalteorem på nytt. Så beviste jeg Korollar 8.3.4 og regnet noen enkle eksempler. Deretter begynte jeg på seksjon 8.4 om ubestemte integraler der jeg fulgte fremstillingen i boken (bortsett fra at jeg hoppet over de hyperbolske og inverse hyperbolske funksjonene rett over setning 8.4.3). Jeg understreket nytten av å "skifte variabel" slik som i kommentaren rett foran eksempel 8.4.6.

Etter pause snakket jeg om underveiseksammen. Jeg anbefalte alle å regne underveiseksamen og prøveunderveiseksamen fra ifjor. Jeg gikk raskt gjennom det pensumet vi har dekket til nå, og prøvde å si litt om mulige oppgavetyper. Til tross for denne lille repetisjonen, er vi i rute i forhold til tempoplanen.

To praktiske saker: Lommeregner (og andre hjelpemidler) er ikke tillatt til eksamen. Opplysninger om hvor dere skal sitte til eksamen, skal nå finnes på studentweb.

Mandag 4/10:

Etter en ganske lang repetisjon av øvre og nedre trappesummer og integraler, tok jeg utgangspunkt i definisjonen av integral. Jeg viste først at det finnes ikke-integrerbare funksjoner (som i eksempel 8.2.2). Deretter viste jeg at alle voksende funksjoner er integrerbare (Setning 8.2.3) og forklarte videre at dette medfører at alle stykkevis monotone funksjoner er integrerbare. Jeg brukte så litt tid på å understreke at det finnes mange kontinuerlige funksjoner som ikke er stykkvis monotone (f.eks. de i innledningen til kapittel 5). Etter pause snakket jeg først litt uformelt om Analysens fundamentalteorem, gikk så gjennom setning 8.3.1 uten bevis, og viste lemma 8.3.2. Deretter formulerte og beviste jeg analysens fundamentalteorem.

På onsdag vil jeg snakke om korollar 8.3.4 og seksjon 8.4. Jeg regner også med å ha tid til en liten repetisjon før underveiseksamen.

Onsdag 29/9:

Etter en kort repetisjon, definerte jeg arccos og snakket litt om egenskapene til denne funksjonen. I mange samenhenger gir ikke arccos noe mer enn arcsin (og da bruker vi som regel arcsin), men spesielt i en del geometriske problemer kan det være mer naturlig å bruke arccos. Det er derfor nyttig å kjenne begge funksjonene. Jeg definerte deretter arctan, tegnet grafen og utledet formelen for den deriverte. Som eksempler regnet jeg ut den deriverte til arctan(√x) og grenseverdien til x(arcsin x - π/2) når x går mot uendelig. Deretter tok jeg et litt mer omfattende og geometrisk eksempel som minner sterkt om oppgave 6.7.13.

Etter pausen begynte jeg på kapittel 8. Jeg tok utgangspunkt i arealberegninger og understreket sterkt at areal ikke er gudegitt, men et begrep som vi definerer. Deretter prøvde jeg å skissere hvordan man kan gå frem for å definere arealet under en funksjonsgraf. Jeg innførte partisjoner, øvre og nede trappesummer og rakk til slutt så vidt definisjonen av øvre og nedre integral og integrerbarhet. (Jeg har ikke gjennomgått seksjon 8.1. Den må regnes som en motiverende innledning som leses etter lyst og behov.)

Vi ligger ca. en time foran tidsplanen.

Mandag 27/9:

Jeg gikk først gjennom seksjon 7.4 om omvendte funksjoner. Etter å ha forklart problemstillingen, definerte jeg injektive funksjoner og understreket at alle strengt monotone funksjoner er injektive. Deretter definerte jeg omvendt funksjon og forklarte de to måtene man kan fremstille denne grafisk på (se figur 7.4.1 og 7.4.2). Jeg gikk gjennom Teorem 7.4.4 uten bevis og 7.4.5 med bevis. Som eksempel viste jeg at f(x)=e^x+x^3+3 har en invers funksjon g (ved å derivere og vise at f er strengt voksende) og fant g'(4) (ifølge Teorem 7.4.5 er g'(4) =1/f'(0)).

Seksjon 7.5 er selvstudium, så jeg gikk direkte videre til seksjon 7.6. Her definerte jeg arcussinus og beviste setning 7.6.2. Derettter regnet jeg noen enkle eksempler med arcussinus for å understreke at den kan behandles som alle andre funksjoner.

På onsdag avslutter jeg seksjon 7.6 og begynner på kapittel 8.

Mandag 20/9:

I dag regnet jeg bare eksempler. Først regnet jeg to uoppstilte maksimumsoppgaver med geometrisk tilsnitt. Den første var eksamensoppgave 3 fra ifjor (du finner både oppgavetekst og løsningsforslag her ). Deretter snakket jeg litt om koblede hastigheter (seksjon 7.2) og regnet fire eksempler. Det første var nesten identisk med Eksempel 7.2.1, det andre var nesten identisk med oppgave 7.2.6, det tredje spurte om hvor mye radien til en kuleformet balong økte når vi viste hvor fort volumet økte, og den siste var oppgave 5 fra obligen ifjor (du finner oppgavetekst og løsningsforslag her ).

Forelesningen på onsdag er avlyst. På mandag begynner vi på seksjon 7.4 (Seksjon 7.3 tilhører MAT-INF 1100). Til tross for timene vi mister til onsdag er vi helt i rute etter fremdriftsplanen.

Husk at obligen skal leveres inn (senest) 1.oktober.

Onsdag 15/9:

Jeg brukte mesteparten av tiden på seksjon 6.4 om kurvedrøfting. Dette er stoff de fleste har vært borti før, og jeg betrakter gjennomgangen som "repetisjon med litt utdyping". Jeg definerte først lokale og globale maks- og min-punkter og gikk gjennom setningene 6.4.2 og 6.4.3. Deretter begynte jeg på dagens eksempel som var drøftingen av funksjonen f(x)=x^(2/3)(1-x) (dette er en litt enklere versjon av Eksempel 6.4.4). Jeg brukte fortegnsskjema til å finne hvor funksjonen og dens deriverte var positiv og negativ, lokaliserte alle kritiske punkter og drøftet dem. Deretter snakket jeg litt om konvekse og konkave funksjoner. Jeg hoppet over Lemma 6.4.6, men formulerte Setning 6.4.7 uten bevis. Jeg understreket hvor viktig det er i denne setningen at f''(x)≥0 (eller ≤0) for alle x i intervallet (se Eksempel 6.4.8). Så avslutttet jeg gjennomgangen av 6.4 ved å fullføre eksempelet om f(x)=x^(2/3)(1-x) (fant hvor funksjonen er konveks og konkav).

Helt til slutt begynte jeg på Seksjon 7.1 (Seksjon 6.5 er selvstudium). Her er det ikke noen ny teori, men vi trenger litt mer trening i å oversette "virkelige" problemer til matematikk. Jeg rakk bare å gå gjennom et eksempel av samme type som oppgave 7.1.6.

På mandag fortsetter jeg med flere eksempler på maks.- min.-problemer fra 7.1, og går deretter over til å snakke om 7.2. Jeg regner med å bli mer eller mindre ferdige med den seksjonen også. Det betyr at vi vil være omtrent i rute til tross for at forelesningen onsdag 22/9 faller bort.

Mandag 13/9:

I dag gikk jeg gjennom seksjon 6.3 om L'Hopitals regel. Etter først å ha snakket litt om ubestemte uttrykk "0/0", "uendelig/uendelig", "0 ganger uendelig", "uendelig - uendelig", "1^uendelig" "0^0"og "uendelig opphøyd i 0", beviste jeg Cauchys middelverdisetning og formulerte L'Hopitals regel (jeg slo sammen 6.3.2, 6.3.5 og 6.3.7 til en formulering for å spare tid). Etter noen enkle eksempler på hvordan regelen brukes (lim sin x/x når x går mot null og lim e^x/x når x går mot uendelig), gjennomgikk jeg beviset for versjonen i 6.3.2. Så tok jeg fatt på litt mer kompliserte eksempler. Først beregnet jeg lim (ln x-1+x)/(x-1)^2 når x->1 som eksempel på oppgaver der man må bruke L'Hopital flere ganger. Deretter tok jeg eksempel 6.3.9 i boken som et eksempel på "0 ganger uendelig"-uttrykk. Deretter regnet jeg lim(1-sin x)^(1/x) (x->0) og lim x^(sin x) (x->0^+) som eksempler på eksponentialuttrykket. Jeg regnert også lim(xsin(1/x)-x) (x->uendelig) som eksempel på "uendelig-uendelig". Som et eksempel på uttrykk der del lønner seg å forenkle før man deriverer, tok jeg lim(x-π/2)tan(x) (x->π/2) (skriv tan x=sin x/cos x og observer at sin x er "ufarlig" siden den går mot 1). Helt til slutt så jeg på et eksempel av samme type som 6.3,14 (men med funksjonen f(x)=(e^x sin x)/x).

På onsdag går jeg gjennom hovedtrekkene i seksjon 6.4 (vi skasl ikke grave oss dypt ned i denne seksjonen) og rekker kanskje å begynne på 7.1. Seksjon 6.5 er selvstudium.

Onadag 8/9:

Repeterte først definisjonen av derivert og brukte den til å gjøre et eksempel av samme type som 6.1.7. Deretter gikk jeg gjennom Setning 6.1.8 (her er nesten det viktigste å vite at omvendingen ikke gjelder: Det finnes funksjoner som er kontinuerelige, men ikke deriverbare!). Avsnittet om logaritmisk derivasjon (side 226) må dere lese på egen hånd.

Jeg begynte så på seksjon 6.2 om Middelverdisetningen. Her fulgte jeg boken nøye. Jeg gjennomgikk korollarene 6.2.4 og 6.2.5. De overrasket dere sannsynligvis ikke, men det er faktisk vanskelig å bevise dem ordentlig uten å bruke Middelverdisetningen. Jeg tok også to eksempler som ikke står i Kalkulus: Første viste jeg |sin(x)-sin(y)|≤|x-y| (brukte Middelverdisetningen på f(x)=sin x og utnyttet at |cos c|≤1 for alle c). Deretter gikk jeg raskt gjennom siste punkt på prøveeksamen fra ifjor (oppgavetekst og løsningsforslag finner dere her ) : Dersom f' er begrenset på et intervall [a,b], så finnes det en konstant K slik at |f(x)-f(y)|≤K|x-y| for alle x,y i [a,b]. (Her bruker vi først ekstremalverdisetningen for å finne en K slik at |f'(x)|≤K for alle x i [a,b], og deretter Middelverdisetningen).

Mandag begynner jeg på seksjon 6.3 om L'Hopitals regel. Vi er nå ferdig med den verste teoridelen, og skal gå løs på litt mer regnepreget stoff. Det betyr også at vi kommer til oppgaver som er enklere å få til.

Mandag 6/9:

Repeterte først ekstremalverdisetningen og regnet et eksempel av samme type som oppgavene i 5.3.1 (poenget her er å sjekke at funksjonen er kontinuerlig og definert på et lukket begrenset intervall - ikke å derivere uttrykket for å finne maks- eller min-punktet). Deretter begynte jeg på seksjon 5.4. Her er det mange definisjoner, og jeg innskrenket meg til de viktigste. Jeg gikk først gjennom definisjon 5.3.1 og regnereglene 5.4.3. Som eksempler så jeg på grenseverdien av (e^(x^2)+ln(x))/(√(x^2+3)) når x går mot 2 (her kan vi bare sette inn x=2 i uttrykket) og grenseverdien til (x^2+7x^3)/(4x^2+5x^4) når x går mot null (trikset her er å faktorisere ut den laveste potensen av x i teller og nevner, og så arbeide videre med det forkortede uttrykket).

Jeg innførte så ensidige grenser ganske uformelt og beregnet grenseverdien av (√x - √(x+x^2))/x^(3/2) når x går mot null ovenfra (her er trikset å gange med den konjugerte av telleren opp og nede). Deretter forklarte jeg at den tosidige grensen eksisterer hvis og bare hvis de to ensidige grensene eksisterer og er like (se boka øverst på side 202). Som et eksempel viste jeg at funksjonen som er lik (x+3x^3)/(2x+3x^2) for x < 0 og sin(x)/2x for x > 0, har grenseverdi 1/2 når x går mot 0. Jeg gikk så gjennom observasjon 5.4.7 i boka og tok et eksempel av samme type som 5.4.8. Det finnes også en del andre definisjoner i kapittel 5.4, men de må dere lese på egen hånd (de fleste vet dere litt om fra før).

Til slutt begynte jeg på kapittel 6 der jeg gikk gjennom definisjonen av derivert, brukte definisjonen til å regne ut den deriverte til f(x)=x^2 i punktet a=3, og gikk gjennom regnereglene 6.1.2-6.1.4. Til slutt regnet jeg et eksempel av samme type som 6.1.5.

På onsdag snakker jeg litt mer om derivasjon og fortsetter så på seksjon 6.2 om middelverdisetningen.

Derivasjon er viktig stoff, men de fleste er gode til å derivere fra før. Det er derfor viktig at de som er litt rustne, trener en del på egen hånd.

Onsdag 1/9:

Repeterte først Skjæringssetningen og brukte den til å vise at f(x)=e^x-3x har et nullpunkt i intervallet [0,1]. Jeg understreket at det i praktisk oppgaveløsning lønner seg å se nøye på hva oppgaven ber om - sier den "Finn nullpunktet..." skal vi sannsynligvis løse en ligning, sier den "Vis at f(x) har et nullpunkt..." er det sannsynligvis umulig å løse ligningen, og vi må bruke Skjæringssetningen eller et lignende resultat for å argumentere for at et nullpunkt finnes. Jeg gikk også gjennom Korollar 5.2.2 og et eksempel av samme type som 5.2.3. Avsluttet så seksjon 5.2 ved å gjennomgå eksempel 5.2.4 og bevise Amperes teorem. Det siste finner du ikke i boka, men det ble gitt som siste oppgave på kontinuasjonseksamen ifjor. Du finner det her .

Etter pause begynte jeg på seksjon 5.3 om Ekstremalverdisetningen. Jeg viste først gjennom eksempler at funksjoner generelt kan være ubegrenset, eller være begrenset uten å ha maksimumspunkt. Deretter skrev jeg opp Ekstremalverdisetningen (som sier at en kontinuerlig funksjon definert på et lukket begrenset intervall er begrenset og har maksimums- og minimumspunkter) og beviste den. Her avvek jeg litt fra boka ved at jeg slo sammen bevisene for setning 5.3.2 og Ekstremalverdisetning til ett argument slik som er antydet i Bemerkningen på side 196.

På mandag snakker jeg først ørlite grann mer om ekstremalverdisetningen. Jeg vil også prøve å forklare litt nærmere hvorfor abstrakte setninger som Skjæringssetningen og Ekstremalverdisetningern er nyttige. Deretter begynner jeg på seksjon 5.4. Vi ligger fortsatt litt foran tidsplanen, og det er bra med tanke på den forelesningen vi mister 22. september.

Mandag 30/8:

Jeg repeterte først definisjonen av kontinuitet og gikk deretter gjennom to eksempler av samme type som de to i notatet om kontinuitet. Jeg gikk så gjennom Setning 5.1.2 og 5.1.4 (begge uten bevis) og tok et eksempel av samme type som 5.1.3 og 5.1.5.

Etter pausen gikk jeg gjennom Observasjonn 5.1.6 og beviste Setning 5.1.7. Jeg avsluttet seksjon 5.1 med Definisjon 5.1.8 og en advarsel om terminologibruken: Legg merke til at ifølge Definisjon 5.1.8 er f(x)=1/x en kontinuerlig funksjon til tross for spranget når x passerer origo!

Til slutt begynte jeg på Seksjon 5.2 der jeg rakk å formulere og bevise Skjæringssetningen. På onsdag fortsetter jeg med 5.2 og blir sannsynligvis også ferdig med 5.3.

Vi er nå i den meste teoretiske delen av kurset. De som synes dette blr tørt (eller vanskelig!), kan trøste seg med at vi snart kommer til annen type stoff.

Torsdag 26/8:

Etter en kort repetisjon gikk jeg først gjennom regnereglene for grenseverdier (4.3.1) og regnet deretter eksempler av samme type som 4.3.4, 4.3.5 og 4.3.8. Deretter beviste jeg Teorem 4.3.9.

Etter pausen begynte jeg på kapittel 5. Jeg brukte litt tid på å drøfte hva en funksjon er og på å gi eksempler på definisjonsmengder og verdimengder. Deretter snakket jeg litt uformelt om kontinuitet. Til slutt gjennomgikk jeg definisjon 5.1.1, som jeg vil vende tilbake til på mandag. Det kan være lurt å kikke nærmere på denne definisjonen og eksemplene i notatet om kontinuitet (klikk her ) før mandagsforelesningen.

Vi ligger nå en time foran tidplanen.

Onsdag 25/8:

Jeg skrev først opp algebraens fundamentalteorem som vi gjennomgikk på mandag. Deretter spurte jeg hva som skjer dersom vi starter med et reelt polynom og ønsker oss en reell faktorisering. Det viser seg at det alltid finnes en slik faktorisering, men da må vi tillate at faktorene er en blanding av første- og annengradsuttrykk (setning 3.5.6 i Kalkulus). For å bevise dette, viste jeg først at dersom et komplekst tall a+ib er en rot i et reelt polynom, så vil det konjugerte tallet a-ib også være en rot. De komplekse røttene kommer altså i konjugerte par. Ganger vi sammen faktorene (z -(a+ib)) og (z-(a-ib)), får vi et reelt annengradspolynom. Har vi funnet den komplekse faktoriseringen til et reelt polynom, kan vi altså finne den reelle ved å gange sammen de faktorene som hører til konjugerte par. Til slutt gjennomgikk jeg et eksempel som er en enklere variant av Eksempel 3.6.7 i boken: Vis at z=1+i er en rot i P(z)=z^3-5z^2+8z-6 og finn de andre røttene (de er 1-i og 3).

Etter pause snakket jeg først litt generelt om hva komplekse tall er nyttige til. Deretter snakket jeg raskt litt om kompletthetsprinsippet i seksjon 2.3. Dette stoffet er egentlig pensum i MAT-INF 1100 og ikke hos oss, men vi må vite litt om selve prinsippet for å forstå en del av argumentene utover. Jeg begynte så på kapittel 4, der jeg først tok for meg definisjonen av følger (side 125-126) og så begynte på seksjon 4.3 om konvergens av følger (seksjon 4.1-4.2 er pensum i MAT-INF 1100). Jeg gikk gjennom definisjon 4.3.1 og et eksempel av samme typen som 4.3.2.

På torsdag avslutter jeg seksjon 4.3 (dere kan hoppe over eksempel 4.3.10 hvis dere ikke er spesielt interesserte) og begynner på kapittel 5.

Mandag 23/8:

Jeg definerte først n-te røtter til komplekse tall og viste hvordan man kan finne en n-te rot (w_{0}) ved å skrive tallet på polarform og deretter ta kvadratroten til modulus og n-te delen til argumentet. Deretter viste jeg hvordan man kan få de neste n-te røttene ved å dreie den første henholdsvis en n-te dels omdreining, to n-te dels omdreining osv. På denne måten fikk vi formlene i Setning 3.4.2. Som et eksempel regnet jeg ut kvadratrøttene til -8 (dette er et eksempel av samme type som 3.4.3 i Kalkulus). Deretter snakket jeg litt om komplekse annengradsligninger og fant løsningene til ligningene x^2+2x+5=0 og z^2+2z-i√3=0. (Dersom du ikke var på forelesning kan det være greit å vite at den formelen for løsningen av en annengradsligning som står nederst på side 108 bare er en enkel omskrivning av den vanlige). Til slutt snakket jeg litt om algebraens fundamentalteorem (frem til "Reell faktorisering" på side 114). Neste gang snakker jeg først litt om reell faktorisering (uten å grave meg for dypt ned) og regner et eksempel av type 3.5.7. Deretter snakker jeg litt om kompletthetsprinsippet i seksjon 2.3 (dette er egentlig ikke pensum i dette kurset, men vi trenger å vite ørlite om det) og deretter begynner jeg på seksjon 4.3 (seksjon 4.1 og 4.2 hører til MAT-INF 1100). Hvis du leser foran på egen hånd, må du huske å ta med den første siden i kapittel 4 før seksjonn 4.1 begynner (ellers så vet du ikke hva en følge er!).

Torsdag 19/8:

Etter en kort repetisjon fra forrige gang, gikk jeg først gjennom et eksempel av samme type som 3.2.4. Deretter snakket jeg litt om den geometriske tolkningen av |z-w| (avstanden mellom z og w) og brukte den til å finne en geometrisk beskrivelse av mengden av alle z slik at |z-2i|<1 (dette er punktene inni sirkelen med radius 1 om punktet 2i). Jeg begynte så på seksjon 3.3 der jeg først definerte den komplekse eksponentialfunksjonen e^z. Jeg understreket at vi ønsket en definisjon slik at regneregelen e^(z+w)=(e^z)(e^w) fortsatt gjelder. Vi gikk gjennom eksempel 3.3.2 og observerte skrivemåten z=re^(i theta). Deretter beviste jeg Setning 3.3.4 og De Moivres formel. Jeg gjennomgikk eksempel 3.3.6 og brukte De Moivres formel til å regne ut (1+i√3)^17. Til slutt begynte jeg på seksjon 3.4 og viste hvordan man kan finne kvadratrøtter til komplekse tall (fant kvadratrøttene til i som et eksempel). På mandag fortsetter jeg med seksjon 3.4 og håper også å komme i gang med seksjon 3.5. Denne seksjonen skal vi ikke grave oss for dypt ned i, men det er nyttig å være klar over hovedresultatene. Husk å lese notatet om polynomdivisjon!

Onsdag 18/8:

I første time snakket jeg først om regnereglene i seksjon 3.1 og beviste blant annet regneregel 3.1.5(iii) om konjugasjon av produkter. På slutten av timen tok jeg et raskt repetisjonskurs i trigonometri der jeg blant annet minnet om eksaktverdiene til sinus, cosinus og tangens av 0, π/6, π/4, π/3, π/2. Jeg minnet også om hvordan vi generelt kan finne vinkelen når vi kjenner cosinus og/eller sinus, og minnet om formlene for sinus og cosinus til en sum. Var du ikke tilstede, kan du repetere det meste av dette ved å se på formelarket .

Etter pausen snakket jeg om seksjon 3.2. Jeg innførte Caspar Wessels geometriske tolkning og viste først hvordan man kan fremstille addisjon, subtraksjon og kunjugasjon geometrisk. Så snakket jeg litt om komplekse tall på polarform før jeg viste den geometriske tolkningen av multiplikasjon (Teorem 3.2.3). På torsdag snakker jeg litt mer om seksjon 3.2, men går relativt raskt over til 3.3 og håper å bli ferdig med den seksjonen. I så fall er vi i rute etter planen.

Mandag 16/8:

Jeg brukte første time til å snakke om kurset. Det meste av det jeg sa, finnes på semestersiden der jeg også vil legge ut det informasjonsarket som ble delt ut. Etter pausen begynte jeg på kapittel 3 om komplekse tall. Jeg snakket først litt om hvordan behovet for slike tall har dukket opp. Deretter begynte jeg på seksjon 3.1 og demonstrerte på talleksempler hvordan vi kan regne med uttrykk av typen z=a+ib.

Neste gang starter jeg med regnereglene 3.1.4, avslutter ganske raskt seksjon 3.1 og begynner deretter på seksjon 3.2. Dette er litt vanskeligere stoff der blant annet sinus og cosinus spiller en sentral rolle. Hvis dere er litt rustne i trigonometri, kan det være lurt å repetere litt før forelesningen. Husk også på "leksen" — dere skal lese notatet om polynomdivisjon på egen hånd!

Publisert 10. apr. 2012 15:47