Forelesningsrapporter - MAT1110 V-10

Her finner du korte rapporter fra forelesningene. Hovedhensikten er at de som ikke har vært til stede på en forelesning, skal kunne se hva som er gjennomgått og hvordan vektleggingen har vært. Kanskje rapportene også vil være til nytte under repetisjonen.

Tirsdag 19. januar

Jeg begynte med å si litt om kurset. Det meste står på nettsiden

Etter denne innledningen repeterte jeg raskt litt om partiellderivasjon (gradienter, Jacobi-matriser). Jeg viste setning 2.6.4, som gir en betingelse for når en vektorevaluert funksjon av n variable er deriverbar.

Deretter skrev jeg opp kjerneregelen på matriseform i det generelle tilfellet.
Jeg spesialiserte så til at sluttresultatet er en skalar, og skrev opp kjerneregelen på komponentform. Til slutt regnet jeg eksempel 1.

(NHR)

Onsdag 20. januar

Jeg gjentok kjerneregelen på matrise og komponentform, for deretter å gi et bevis. Regnet et eksempel. Definerte lineæravbildninger og viste at disse alltid var gitt ved matriser. Regnet et eksempel med rotasjonsmatriser. Definerte egenvektorer/verdier og regnet et eksempel. Avsluttet med å definere affinavbildninger.

På fredag snakker jeg om Matlab og om linearisering av funksjoner. (NHR)

Fredag 22. januar

Jeg gjennomgikk arealforandringen under en affinavbildning, setning 2.9.3. Deretter definisjonen av lineariseringen; 2.9.5.

I andre time demonstrerte jeg Matlab (se diary filen). Jeg snakket om stoff fra seksjon 1-5 i matlab heftet.

Tirsdag 26. januar

Jeg gjennomgikk lineariseringen, og regnet et konkret eksempel. Deretter motiverte (ikke fullt bevis) jeg formelen for buelengde av en kurve, og regnet et eksempel. Så definerte jeg hastighet og fart(buehastighet), akselerasjon og bueakselerasjon, og gjennomgikk forholdet mellom disse.

Onsdag 27. januar

Jeg gjennomgikk kjerneregelen i flere former og beviste middelverdisetningen (setning 3.2.3). Deretter definerte jeg integralet av en skalarfunksjon over en kurve i R^n. Jeg viste setning 3.3.5 (definisjonen er uavhengig av parametriseringen).

Tirsdag 2. februar

Jeg regnet et eksempel på et integral av en skalar langs en kurve. Deretter motiverte jeg integraler av vektorfelter langs kurver, og regnet et eksempel.

Etter pausen gjennomgikk jeg funksjoner (og skript) i Matlab. Filene jeg skrev ligger her: de (modifiserte) fibonacci tallene; fib.m, løsning av andregradsligning; andregrad.m

Det siste eksempelet viser den klassiske veien til kaos; periodedobling. Her itererer vi funksjonen f(x)=theta x (1-x), for forskjellige verdier av theta i [2,4] . Mine matlabfiler finner du her: fiter.m, simpleiter.m, og skriptet som kaller disse funksjonene; simplescript.m.

For de av dere som syntes dette var interessant, ta en titt på Wikipediasiden om den logistiske avbildningen; The logistic map.

For øvrig kan jeg varmt anbefale "Chaos, the making of a new science" av James Gleick, se hjemmesiden hans for mer info.

Onsdag 3. februar

Jeg gjennomgikk et eksempel på integraler av vektorfelter. Jeg definerte konservative vektorfelt, og viste setning 3.5.3. Vi så på et eksempel der de partiellderiverte blir like, men funksjonen er ikke kontinuerlig, så feltet blir ikke konservativt (rotasjon om origo). Jeg snakket om potensialet et radielltsymmetrisk vektorfelt, (gravitasjon og elektrostatisk) og om potensiell og kinetisk energi (fra Newton's 2. lov). Jeg viste setning 3.4.4. (ved å omformulere integralet til et skalarintegral).

Så snakket jeg litt om kjeglesnitt, og definerte parabelen.

Tirsdag 9. februar

Forelesningen ble i dag avlyst på grunn av sykdom.

Onsdag 10. februar

Vi gikk gjennom resten av Seksjon 3.6. Vi definerte ellipser og hyperbler, og gikk gjennom eksempler på alle typene kjeglesnitt der vi regner ut halvakser, brennvidde, sentrum, og brennpunkter. Vi besviste også refleksjonsegenskapen for parabler, og forklarte at de andre kjeglesnittene har tilsvarende egenskaper. Vi avsluttet med å forklare at hyperbler har asymptoter.

Tirsdag 16. februar

Jeg snakket litt om å tegne grafen til funksjoner av 2 variable, deretter litt om konturkurver. Så gikk jeg gjennom polar- og kulekoordinater. Gikk gjennom ligningen for tangenten til en flate der f:R^n->R er konstant, så så jeg på sammenhengen mellom tangentplan og linearisering.

Til slutt regnet jeg litt på parametriseringen av kuleflate og torus. Matlab eksempler kommer i morgen. Da begynner også kapittel 6.

Onsdag 17. februar

Jeg viste forskjellige måter å visualisere funksjoner av flere variable i Matlab; surf(...), mesh(...), contour(...), contourf(...), quiver(...). Deretter viste jeg to eksempler på hvordan man kan plotte parametriserte flater i Matlab (kule, torus, og "posthorn"). Diary filen finner du her .

Etter pausen startet jeg på multippel integrasjon, snakket om defininsjonen, viste noen eksempler på hvordan man regner ut slike integraler ved først å integrere mhp. den ene variablen, så mhp. den andre.

Tirsdag 23. februar

Jeg gjennomgikk noen eksempler på integrasjon av funksjoner av to variable (fant volum under en flate), og fant massemiddelpunkt. Deretter formel for integraler i polarkoordinater "dxdy = rdrdtheta". Så motiverte jeg formelen for arealet til en parametrisert flate.

Onsdag 24. februar

Jeg gjennomgikk noen eksempler for areal av krumme flater; regnet areal av kula på to måter. Deretter definerte jeg skalarintegralet over parametriserte flater og regnet et eksempel.

Etter pause viste jeg Greens formel for rektangler, og områder sammensatt av rektangler. Jeg motiverte at formelen også gjelder for områder sammensatt av type I og type II områder. Jeg regnet et eksempel, men flere kommer...

Tirsdag 2. mars

Jeg regnet et (viktig) eksempel på bruk av Greens teorem. Deretter forklarte jeg variableskifte i en dimensjon. Etter pause forklarte jeg variabelskifte i to dimensjoner, og motiverte formelen vha. regning med Riemannsummer. Så regnet jeg ett eksempel.

Onsdag 3. mars

Siden jeg glemte å referere, så har jeg nesten glemt hva jeg sa. Beklager!
Såvidt jeg husker, regnet jeg på uegentlige integraler i 2D, og introduserte trippelintegraler. Regnet noen eksempler (type I, II osv.). Viste hvordan man kan finne volumer ved å integrere funksjonen f(x,y,z)=1 over mengden (legemet) i 3D.

Tirsdag 9. mars

Før pause forklarte jeg formelen for variabelskifte i 3D, og fant Jacobideterminanten for skifte til kulekordinater (dxdydz=rho sin(phi) drho dphi dtheta). Regnet nok en gang ut volumet til en kule, og regnet til slutt u gjennomsnittlig avstand fra et punkt utenfor en kule til kula.

Etter pause begynte jeg på Kapitel 4 i FVLA. Demonsterte hvor vanskelig det var å løse lineære systemer av lineære ligninger vha. den s.k. utvidedet matrisen til systemet.

Onsdag 10. mars

Jeg forklarte hva matriser på trappeform er, og hvordan man kan transformere en matrise til trappeform med radoperasjoner. Viste så (med litt hjelp) setining 4.2.4 og 4.2.5 i FVLA. Deretter forklarte jeg redusert trappeform, og løsninger av ligniner med samme venstreside og forskjellig høyreside.

Brukte dette til å finne en algoriteme for å bestemme inversen til en nxn matrise (som også kan brukes til å finne om matrisen er invertibel). På tirsdag fortsetter jeg med seksjon 4.6.

Tirsdag 16. mars

Jeg gjennomgikk lineær uavhengighet, og spennet til en mengde vektorer i R^m. Deretter introduserte jeg begrepet en basis. Jeg viste at en lineæravbildning er entydig definert ved hvordan den virker på en basis. Deretter begynt jeg på seksjon 4.8 og viste hvordan radoperasjonene kan utrykkes ved elementære matriser.

Til slutt introduserte jeg determinanten, og begynte på en rekke lemmar som til slutt skal vise mange nyttige egenskaper ved denne.

Onsdag 17. mars

Jeg fortsatte å vise hva radoperasjoner gjør med determinanten, og kom fram til setning 4.9.9. Deretter viste jeg hvordan den kan brukes til å regne ut determinanter.

Tirsdag 6. april

Jeg repeterte litt om radoperasjoner, og viste setning 4.9.10.Så viste jeg produktregelen for determinanter, samt det(A)=det(A^T). Deretter gikk jeg gjennom noen eksempler hvor vi regnet ut determinanten ut ifra forskjellige rader eller kolonner. Så begynte jeg på seksjon 4.10 hvor jeg rakk å definere egenvektorer og egenverdier samt å regne et eksempel.

Onsdag 7. april

Jeg fortsatte med egenvektorer/egenverdier og regnet noen eksempler på multiple egenverdier. Jeg beviste setning 4.10.3. Viste setning 4.10.8 (diagonalisering) og at determinanten er produktet av egenverdiene. Etter pausen regnet jeg et lengre eksempel som lignet litt på oblig2.

Tirsdag 11. april

Jeg avsluttet kapittel 4 med å si litt om komplekse egenverdier/egenvektorer og regne et eksempel. Startet deretter kapittel 5. Snakket om konvergens av følger og viste teorem 5.2.3 (Bolzano-Weierstrass).

Onsdag 12. april

Jeg viste at Cauchyfølger i R^m konvergerer (kompletthet av R^m). Deretter snakket jeg litt om iterasjon av funksjoner. Eksempler på dette var Newton's metode og en modell for dyrebefolkninger. Jeg viste hvordan funksjoner F:R^2->R^2 kunne betraktes som funksjoner fra C til C, og introduserte Juliamengen. Jeg viste hvordan man kan gjøre dette i Matlab. Filene som ble brukt var iteration.m, f1.m, dyrepop.m, julia.m, juliaset.m og juliaplot.m. Diary filen finner du her.

Tirsdag 20. april

Jeg gjennomgikk og beviste Banachs fikspunktsteorem (teorem 5.5.4), og snakket litt om betingelsene for at en avbildning er en kontraksjon (omtrent at |F'|<1 på en konveks mengde). Deretter snakket jeg litt om konvergens av Newtons metode, og nevnte Kantorevitsj resultat, som sier at dersom det initielle punktet er i nærheten av et nullpunkt, så konvergerer metoden eksponensiellt fort.

Deretter formulerte jeg omvendt funksjonsteorem (teorem 5.7.2).

Onsdag 21. april

Jeg viste bruk av omvendt funksjonsteorem. Deretter beviste jeg implisitt funksjonsteorem, og regnet etpar eksempler.

Etter pausen viste jeg at en kontinuerlig funksjon på en begrenset, lukket mengde antar max og min, og jeg beviste (for de som hadde glemt det) Taylors formel med restledd for funksjoner av 1 variabel. Så skrev jeg opp Taylors formel for skalarfunksjoner av flere variable og forklarte leddene. Bevis og konsekvenser kommer neste uke.

Tirsdag 27. april

Vi startet med å bevise Taylors formel i flere variable i Seksjon 5.9, og formulerte og viste en annen versjon av denne, som var nyttig for senere bruk. Vi viste en ulikhet som kan brukes for symmetriske matriser med enten bare positive eller negative egenverdier (Lemma 5.9.5),og brukte denne til å bevise annenderiverttesten, som vi formulerte både i m variable, og med en enklere versjon i to variable. Vi regnet også to eksempler, en for to dimensjoner, og en for tre dimensjoner (Oppgave 5.9.7). Neste gang tas et uoppstilt problem fra 5.9 før vi begynner på 5.10

Onsdag 28. april

Jeg regnet først et eksempel (minimere overflate for en eske med gitt volum), før jeg begynte på Lagranges multiplikatormetode. Jeg beviste teorem 5.10.1 og regnet flere eksempler.

TIrsdag 4. mai

Jeg snakket om Lagranges multiplikatormetode, også for flere bibetingelser. Deretter presenterte jeg gradientmetoden for å finne max/min (uten regning).

Etter pause begynte jeg på kapittel 12 i "Kalkulus". Jeg snakket litt om rekker, og viste integraltesten for rekker med positive ledd.

Onsdag 5. mai

Jeg gjennomgikk sammenligningstesten (i to varianter), forholdstesten og rottesten.
Regnet flere eksempler. Tilslutt snakket jeg om alternerende rekker og viste setning 12.3.1. Deretter snakket jeg om betinget og absolutt konvergens. Neste tirsdag begynner jeg på potensrekker.

Onsdag 12. mai

Jeg gjennomgikk Seksjon 12.8. Vi viste at for en funksjon som kan skrives som en potensrekke, så vil denne være lik Taylorrekken til funksjonen. Vi regnet gjennom alle eksemplene i 12.8 på hvordan vi finner Taylorrekken til en funksjon, samt hvordan vi fra en gitt potensrekke kan finne et uttrykk for funksjonen ved hjelp av leddvis derivasjon og integrasjon av rekken, samt summeformelen for en geometrisk rekke. Detet var siste forelesning med nytt pensum. På tirsdag vil jeg gå gjennom første del av eksamenen som ble gitt vår 2008.

Tirsdag 18. mai

Jeg regnet de fire første oppgavene som ble gitt til eksamen V2008. Temaene her var omvendt funksjonsteorem, Lagranges multiplikatormetode, egenverdier, egenvektorer, og rekker. I morgen kommer de tre siste oppgavene i dette eksamenssettet til å bli gjennomgått, før vi begynner på settet som ble gitt vår 2009.

Onsdag 19. mai

Jeg regnet vider i eksamensoppgavene. Kom til 2009, oppgave 4. Resten av settet regnes på onsdag 26.5.

Onsdag 26. mai

Jeg regnet resten av eksamen fra 2009. Nå er det slutt, lykke til på årets eksamen!

Publisert 19. jan. 2010 13:16 - Sist endret 26. mai 2010 14:09