Matematikk er – viser det seg – et språkfag.
Litt rart for alle som har vokst opp med den strenge delingen mellom «myke» humanistiske fag og «harde» realfag i skole og utdanning.
– Matematikkens aller nærmeste slektning er de naturlige språkene, som norsk, sier matematikkprofessor Snorre Christiansen ved Universitetet i Oslo.
I sin nye bok Matematisk fundament har Christiansen tatt på seg en nesten umulig oppgave: å bryte matematikken ned til dens grunnleggende, grammatikalske bestanddeler, og bygge den opp fra bunnen av – stein på stein, kun utfra ideer, symboler og logikk.
Umulig fordi det viser seg at jo flere lag som skrelles av for å finne matematikkens midtpunkt, desto større fare er det for at vi blir stående med tårer i øyene på jakten etter en kjerne.
Er matematikken vitenskapens Peer Gynt? På overflaten selvsikker og verdensvant. Men egentlig ikke mer enn en løk?
– Paradokset er at hvis vi er så presise i beskrivelsene våre at det virker som vi har nådd helt til bunns – da er det noe som forsvinner.
Fortvil derfor ikke hvis du var blant dem som satt på skolebenken og følte det var noe grunnleggende som gikk deg over hodet, og mistenkte at det samme gjaldt personen foran tavla; selv universitetsprofessorer i matematikk vet ikke hva matematikk dypest sett er.
– Vi vet ikke hva vi snakker om, smiler Christiansen og legger kjapt til:
– Men vi har i hvert fall klare regler for hvordan vi kan snakke om det. Det er mer enn de fleste.
Skilpadder hele veien ned
Jakten på matematikkens grunnstein kan derfor minne om den hinduistiske forestillingen om at verden hviler på skallet til en skilpadde.
En anekdote forteller at en akademiker en gang holdt et foredrag der han beskrev hvordan jorda går i bane rundt sola, som igjen roterer rundt midten av en enorm samling stjerner. På slutten av forelesningen reiste en gammel dame seg og sa: «Dette er bare tull. Verden hviler egentlig på ryggen til en gigantisk skilpadde.» Akademikeren fulgte opp: «Hva står så skilpadden på?» «Du er veldig smart, unge mann», parerte den gamle damen. «Men det er skilpadder hele veien ned!»
Dette problemet med uendelig regresjon har minst to konsekvenser for matematikere.
– Det betyr at ethvert grunnlag for matematikken må inneholde udefinerte konsepter. Og selv om vi presiserer hva grunnlaget er, forklarer vi ikke hvilken ramme vi bruker til det formålet. Norsk språk får være godt nok til det.
«Vi ønsker å snakke om visse objekter», og «det vi kan si om disse objektene, uttrykkes som visse utsagn», begynner derfor Christiansen nokså beskjedent i boka Matematisk fundament.
– Vi er ikke i stand til å definere hva et objekt eller et utsagn er. En tenkt definisjon ville innebære utsagn om objekter. Altså ville definisjonen bruke de konseptene som defineres til å definere dem.
Objektene, om enn udefinerte, kan samles sammen i nye objekter. Dette er opphavet til det matematikere kaller mengder. En mengde tolkes gjerne som samlingen av de objektene som har en gitt egenskap, men er altså også udefinert.
– Dette konseptet er så naturlig for mennesker at det er vanskelig å si når det oppsto. Blant de første tingene som ble nedtegnet i skrift, var inventarlister, forteller Christiansen.
Det lønner seg å ikke være for godtroende i møtet med mengder.
– Såkalt naiv mengdeteori fører til paradokser. For eksempel; hvis vi tar mengden av alle mengder, så vil den være element i seg selv. Akkurat det er ikke utelukket, men bare merkelig.
Det blir verre.
– Tar vi så mengden av alle mengder som ikke er element i seg selv, kan vi argumentere oss fram til at den er element i seg selv, hvis og bare hvis den ikke er element i seg selv.
– Ingen regel uten unntak, ikke sant?
– Altså regler med unntak? Haha!
Christiansen himler med øynene.
– Gjerne for meg – men i så fall raser hele det matematiske byggverket sammen.
Mengdeparadokset – oppdaget av matematikeren og logikeren Bertrand Russell – førte til en krise i matematikken for godt over hundre år siden.
Tanken er ikke å si hva tall er, men å vise hva vi kan gjøre med dem.
– Hvis vi tillater én eneste selvmotsigelse i matematikken, følger det at hvert utsagn er både sant og usant. Ingenting står igjen.
Russells innvending ble etter hvert løst i den forstand at mengdeteori ikke lenger tillater så generelle mengdekonstruksjoner.
– Ved å nøye spesifisere reglene for å danne nye mengder, ble matematikere i stand til å skape et grunnlag for moderne matematikk som er fri for paradokser som Russells, men likevel kraftfullt nok til å beskrive den kjente matematikken.
Zenons paradoks
Matematikere er stort sett praktikere.
– Tanken er ikke å si hva tall er, men å vise hva vi kan gjøre med dem. Vi påstår at 0 er et naturlig tall, og at hvert naturlige tall n har en såkalt etterfølger n+1. Hele teorien for de naturlige tallene er bygget opp av denne såkalte etterfølgerfunksjonen.
Hvis vi ser for oss at vi aldri slutter å legge til tall, nærmer vi oss en forståelse av det magiske «tallet» uendelig.
En av årsakene til at Christiansen og generasjoner av kolleger har laget disse reglene, er nettopp at de ønsker å kunne snakke om uendelighet.
– Begrepet gir oss et veldig kraftig verktøy for å snakke om det endelige. Vel så viktig er det at vi ved hjelp av dette begrepet kan begynne å ane helt nye verdener. Uendelighet er spektakulært.
Heller ikke her kommer vi utenom skilpadder. Den gamle grekeren Zenon så for seg at han lot en skilpadde få et forsprang på den legendariske krigeren Akilles i et kappløp. Uansett hvor rask han var, ville mannen med de utsatte hæl-senene aldri klare å ta igjen skilpadden, hevdet Zenon. Idet Akilles hadde tatt inn halve avstanden, ville nemlig skilpadden ha beveget seg et stykke lenger. Det hjelper ikke at Akilles tar igjen halvparten av denne distansen også. Skilpadden vil alltid ligge foran.
Dette virker vanntett for oss lekfolk – de gamle grekerne ville kanskje kalt oss idioter – samtidig som vi «vet» at Akilles ikke ville brukt lang tid på å ta igjen krypdyret.
– Hvordan kan det presise, matematiske språket med dets mange definisjoner hjelpe oss ut av denne knipa?
– I Matematisk fundament ville jeg fortelle historien fra de logiske premissene og nettopp fram til summering av uendelige rekker. Poenget med Zenons paradoks er at endelige tidsintervaller godt kan deles opp i uendelig mange delintervaller.
Det er det nærmeste vi kommer et svar på paradokset innenfor rammene av en populærvitenskapelig tekst.
– Alle som hadde veddet i dette spennende kappløpet, kunne nå ta ut sin gevinst. Men forholdet mellom det diskrete – tellbare – og det kontinuerlige blir nok aldri ferdig studert.
Jeg har et håp om at leseren skal få en følelse av at en platonsk verden faktisk eksisterer.
Løgnerens paradoks
Se for deg at du er midt i en samtale og den andre parten sier «jeg lyver». Kan man da anta at det stemmer at vedkommende snakker usant?
Anta på samme måte at en luring taster ned denne formuleringen: «Denne setningen er usann».
– En slik setning kan verken være sann eller usann. Det kan være fornøyelig å leke med språket på den måten. Men dette er et eksempel på en type utsagn vi ikke kan tillate i vårt matematiske språk.
Noen år etter at briten Bertrand Russell hadde sendt matematikken ut i krise, var det for rundt 90 år siden østerriksk-amerikanske Kurt Gödels lodd å vise matematikerne at selv om de klarer å lage et system uten selvmotsigelser, vil de aldri kunne klare å bevise at motsigelsene ikke fins.
– Igjen er vi altså der at vi må spørre: hva er det vi kan vite med sikkerhet, hva er sant?
– Interessant nok bakte Gödels argument inn det ovenfornevnte løgnerens paradoks. Kjente matematikere som de gruppen i Bourbaki har resignert seg til at selv om vi ikke kan bevise at vårt fundament ikke har selvmotsigelser så kan vi konstatere det.
De postulerer også at selv om vi i fremtiden skulle oppdage kimen til en selvmotsigelse i våre nåværende argumenter så vil dette la seg fikse relativt enkelt.
– Litt lettvint kanskje? På en annen side kjenner jeg ingen som er spesielt bekymret av dette.
Maner fram Platons verden
Selv om vi har slått fast at «det er skilpadder hele veien ned», klarer ikke matematikere som har sittet i timer, dager, uker, måneder og år omsluttet av det matematiske språket, å unngå følelsen av at det de studerer, er helt reelt.
– Det kommer en følelse av at de matematiske objektene vi har klart å beskrive så presist, faktisk fins.
Igjen er vi altså der at vi må spørre: hva er det vi kan vite med sikkerhet, hva er sant?
Siden vi allerede har besøkt Zenon i antikkens Hellas, passer det å vie en visitt til hans samtidige, Platon. Filosofen som lærte av Sokrates og til Aristoteles, mente det fantes en verden av rene ideer, som mennesket bare kunne observere avskygningen av.
Matematikere er – viser det seg – ikke bare praktikere.
– Ved å systematisk vise hvordan alt henger sammen, så har jeg et visst håp om at leseren også skal få en følelse av at en platonsk verden faktisk eksisterer.
Har vi her å gjøre med en vaskeekte idealist, noe så sjeldent som en platoniker?
– Ja, jeg vil si jeg er en platoniker som bruker det meste av sin tid på presis, matematisk logikk – altså på syntaksen vel så mye som på semantikken.
Troen på ideene er motiverende.
– Jeg hadde nok ikke klart å gjøre denne jobben hvis jeg ikke hadde intuisjon på at disse tingene på en eller annen måte eksisterer. Følelsen er jo nesten den at man som matematiker får skape noe reelt så å si ut av intet, kun ved hjelp av språket.
Det tapte paradis
Som mesterne av naturlige språk kunne mane fram Odyssevs reiser og Elizabeth Bennetts sjelekvaler, kan vi, hvis vi «snakker matematikk» korrekt, la det minste utgangspunkt føre oss langt av sted på store eventyr.
– Alt annet i det matematiske universet hviler på dette enkle fundamentet: gigantiske matriser, endeløse polynomer eller la oss si representasjoner av reduktive grupper over endelige kropper, for de som er heldige nok til å vite hva det betyr, erter Christiansen før han til slutt tillater seg å bli litt høystemt.
– Disse matematiske verdenene vi maner fram ved vår tankes kraft, er de ikke skapt i vårt bilde? Og fremstår ikke da matematikk som en meditasjon over selvet og væren? Er det ikke et søk etter å gjenforenes med den perfekte kunnskap, det tapte paradis?
Forventer ikke ro i sjelen
Kunstig intelligens utfordrer matematikere på helt nye måter, mener
professor Snorre Christiansen.
– Vi opplever at et fenomen vi føler vi står bak, nå slår tilbake på oss. Kunstig intelligens (KI) er jo et samarbeid mellom matematikk og informatikk.
– På hvilken måte slår det tilbake?
– Innad i fagfeltet er spørsmålet om KI vil skape bedre matematikk enn det vi gjør
selv. Eller om vi blir nødt til å samarbeide med en KI i fremtiden for å nå forskningsfronten?
Og ikke minst:
– Hva gjør det med vår hjertekjære verdi forståelse?
Matematikere har alltid følt at jobbene deres er trygge.
– Vi tar det som en selvfølge. Alle vitenskaper og teknologier er gjennomsyret av matematikk. Og vi føler en sterk tilfredsstillelse ved å oppdage nye sannheter som selvfølgelig skal deles.
Dette er et fagfelt som peker langt ut over seg selv og som er en premissleverandør for store deler av samfunnet.
– Slik tenker nok de fleste matematikere om vår eksistensberettigelse, men nå blir vi nødt til å gå litt mer i detalj og faktisk tenke gjennom verdiene våre. Tar vi tilstrekkelig inn over oss at våre oppfinnelser vil leve sitt eget liv, bestemt av andre samfunnsaktører, i andre kontekster? Og hvordan forholder vi oss til at vår oppfinnelse påvirker ikke bare en industri, men hele samfunnet?
Han mener kinofilmen Oppenheimer viser tydelig fram noen av de etiske dilemmaene vitenskapsfolk kan møte.
– Mens noen matematikere har vært dypt engasjert i krigføring, har andre vært sterke motstandere av samarbeid med det militærindustrielle komplekset.
Det fins ingen generelle, etiske retningslinjer for matematikere, à la den hippokratiske ed for medisinere.
– Hver enkelt står fritt til å avgjøre slike spørsmål. For meg handler Oppenheimer om at vitenskapsfolk ikke bør forvente heder, ære og ro i sjelen av å snu opp ned på våre
tilværelser.