Her vil dere finne korte referater fra hver forelesning:
Mandag 18. januar: Snakkert først litt om kurset og pensum. Den første uken gjennomgår vi kapittel 1, og dette er repetisjon for dem som har MAT1140. Kapittel 2 vil ikke bli forelest, så neste uke går vi rett løs på kapittel 3. Ble akkurat ferdig med seksjon 1.3 i dagens forelesning og fortsetter med resten av kapittel 1 på onsdag (tvilsomt om jeg rekker hele 1.6).
Onsdag 20. januar: Gikk gjennom seksjon 1.4 og 1.5. Fulgte teksten ganske nøye, men prøvde å illustrere med litt flere figurer.
Mandag 25. januar: Avsluttet kapittel 1 ved å gå gjennom seksjon 1.6 omtrent som i boken. Begynte deretter på kapittel 3 der jeg første diskuterte rimelige krav til et avstandsmål og deretter definerte matriske rom. Jeg drøftet omtrent de samme eksemplene som i kompendiet og beviste den omvendte trekantulikheten. Begynte til slutt på seksjon 3.2 der jeg rakk å definere konvergens av følger.
Onsdag 27. januar: Viste først at en følge kan konvergere mot høyst ett punkt og innførte deretter kontinuitet. Foreleste resten av seksjon 3.2 omtrent som i kompendiet, men overlot kontinuitet av funksjoner definert på delmengder til selvstudium. Etter pause begynte jeg på seksjon 3.3 der jeg rakk til og med Proposition 3.3.6.
Tirsdag 2. februar: Gjorde meg ferdig med resten av seksjon 3.3 (brukte ganske lang tid på Theorem 3.3.10). Startet deretter på seksjon 3.4 der jeg akkurat rakk å bevise Proposition 3.4.4.
Onsdag 3. februar: Avsluttet seksjon 3.4 med spesiell vekt på Banachs fikspunktsteorem 3.4.5. Begynte deretter på seksjon 3.5 der jeg rakk å forelese til og med Example 1.
Mandag 8. februar: Gikk igjennom resten av seksjon 3.5. Jeg er et stykke etter planen, og kommer derfor til å ta svært lett på seksjon 3.7.
Onsdag 10. februar: Gikk gjennom gjennom sekajon 3.6 i detalj. Skisserte deretter hovedpoenget i seksjon 3.7 i (svært grove trekk) og gikk til slutt gjennom seksjon 4.1.
Tirsdag 16. februar: Før pausen gikk jeg gjennom seksjon 4.2. Etter pausen begynte jeg på seksjon 4.3 der jeg kom fremtil Weierstrass' M-test. Prøvde meg på beviset, men kom bare halvveis, så vi tar det på nytt i morgen. Etter at vi er ferdig med seksjon 4.3, tar jeg med meg stoffet om liminf og limsup i seksjon 2.2 før vi fortsetter med 4.4.
Onsdag 17. februar: Avsluttet seksjon 4.3, plukket opp liminf og limsup fra seksjon 2.2 og fikk så vidt introdusert potensrekker og definert deres konvergensradius.
Mandag 22. februar: Gikk igjennom seksjon 4.4 om potensrekker, inkludert beviset av Abels teorem. Startet så vidt på seksjon 4.5, der jeg akkurat rakk å innføre begrensede funksjoner.
Onsdag 24. februar: Gikk gjennom seksjon 4.5 og 4.6 i detalj og fikk også presentert ideene i 4.7. Detaljene kommer neste gang.
Mandag 29. februar: Gikk ganske detaljert gjennom seksjon 4.7 basert på grunnarbeidet fra forrige gang. Begynte deretter på seksjon 4.8 der jeg så vidt ble ferdig med beviset for lemma 4.8.5. Selv om beviset gikk litt fort, tar vi utgangspunkt i dette lemmaet neste gang.
Onsdag 2. mars: Gikk ganske detaljert gjennom resten av seksjon 4.8 og ga deretter en kort skisse av innholdet av seksjon 4.9 med hovedvekt på bruken av Arzela-Ascolis teorem. Fortsetter med seksjon .4.10 neste gang.
Mandag 7. mars: Gikk gjennom seksjon 4.10. Fortsatte på 5.1 og vil begynne med Proposition 5.1.4 neste gang.
Onsdag 9. mars: Fullførte seksjon 5.1 og gjennomgikk det meste av seksjon 5.2. Begynner på Proposition 5.2.3 neste gang.
Onsdag 30. mars: Beviste Proposition 5.2.3 og fortsatt med seksjon 5.3 der jeg fikk dekket alt til og med Proposition 5.3.6. Husk at etter 5.3 fortsetter vi med kapittel 7.
Mandag 4. april: Fullførte seksjon 5.3 (hoppet over Prop 5.3.11 som overlates til ivrige lesere) og begynte deretter på kapittel 7 der jeg rakk å vise Prop. 7.1.1.
Tirsdag 5. april: Fullførte seksjon 5.1 og gikk deretter igjennom hele 5.2. Begynner på 5.3 neste gang.
Mandag 11. april: Gikk gjennom seksjon 7.3 og begynte på seksjon 7.4. Starter med Lemma 7.4.3 neste gang. I tillegg til det som står i heftet, brukte jeg litt tid på å problematisere L_2-konvergens.
Tirsdag 12. april: Foreleste resten av seksjon 7.4.
Mandag 18. april: Gikk igjennom seksjon 7.5, 7.6 og halvparten av 7.7. Det siste resultaet i seksjon 7.7 (Proposition 7.7.2) rakk jeg ikke, men overlot det til dere som selvstudium. Neste gang starter jeg på seksjon 6.4.
Onsdag 20. april: Gikk igjennom seksjon 5.4 og begynte så vidt på 5.5 (definerte ingensteds tette mengder).
Mandag 25. april: Gikk gjennom seksjon 5.5. Droppet Lemma 5.5.9 og Propostion 5.5.10 som heller ikke vil bli krevet til eksamen.
Onsdag 27. april: Gikk igjennom seksjon 5.6. Neste gang begynner vi på kapittel 6.
Mandag 2. mai: Avlyst pga. sykdom.
Onsdag 4. mai: Gikk gjennom seksjon 6.1.
Mandag 9. mai: Gikk først gjennom "de nye eksemplene" på slutten av seksjon 6.1. Gikk så gjennom seksjon 6.2 og begynte på 6.3 der jeg ble ferdig med Proposition 6.3.2 (riktignok uten bevis, men det er såpass enkelt at det overlates til selvstudium). Begynner på Theorem 6.3.3 i morgen (husk flytting av forelesning).
Tirsdag 10. mai: Jeg avsluttet seksjon 6.3 og kom meg gjennom mesteparten av 6.4. Begynner på Theorem 6.4.6 neste gang. Planen for resten av semesteret er å komme seg gjennom seksjon 6.5 og 6.6, og så sette stopp der.
Onsdag 18. mai. Fullførte seksjon 6.4 og begynte deretter på seksjon 6.5. Fikk bevist Lemma 6.5.3 og skrevet opp Omvendt funksjonsteorem (6.5.1), men rakk ikke beviset. Gjennomgår det først neste gang og fortsetter så med seksjon 6.6.
Fredag 20. mai. Presenterte først beviset for omvendt funksjonsteorem og gikk deretter gjennom seksjon 6.6. Til slitt begynte jeg repetisjonen ved å si litt om metriske rom, normerte rom og indreproduktrom og sammenhengen mellom dem.
Onsdag 25 mai (siste forelesning): Jeg fortsatte repetisjonen med følgende temaer:
1. Kompletthet. Definisjon, lukket delmengde av komplett rom komplett.
2. Kompakthet. Ekvivalente beskrivelser: Eksistens av konvergent delfølge, lukket og totalt begrenset, endelige deloverdekninger. Spesialtilfeller: I Rn er kompakt det samme som lukket og begrenset. I C([a,b],Rn) er kompakt det samme som lukket, begrenset og ekvikontinuerlig. Kontinuerlig bilde av kompakt mengde er kompakt.
3. Kontinuitet (inkludert uniform kontinuitet). På kompakte mengder er alle kontinuerlige funksjoner uniformt kontinuerlige. Beskrivelser av kontinuitet ved hjelp av følger og inverse bilder av åpne og lukkede mengder.
4. Konvergens av funksjonsfølger og -rekker: punktvis, uniform og i L2. Betingelser for leddvis integrasjon og derivasjon. Weierstrass' M-test.
5. Tette mengder, Weierstrass' teorem: Polynomene er tette i C([a,b],R).
6. Ingensteds tette mengder: Baires kategoriteorem, open mapping, bounded inverse, closed graph (nevnte de tre siste bare i forbifarten).
7. Fourier analyse: Abstrakt Fourier analyse i indreproduktrom, Parsevals teorem. Konkret Fourieranalyse på [-π,π]: L2-konvergens, punktvis og uniform Cesaro-konvergens, Dinis test, Riemann-Lebesgues lemma.
8. Derivasjon: Definisjon av deriverbarhet, derivert og retningsderivert. Metode for å vise deriverbarhet: Regn først ut den retningsderiverte, sjekk deretter at \(\sigma(r)\) går mot null fortere enn r. Minnet om middelverdisetningen, Riemann-integrasjon, omvendt og implisitt funksjonsteorem.