(Lack of) dependence on MAT4520 - Manifolds

Here is what I wrote to a student asking about the dependence of MAT4540 on MAT4520:

"MAT4540 bygger aldri direkte på MAT4520, men det er noen paralleller.

I seksjon 3.3 av Hatchers bok "Algebraic Topology" ser vi på hva som er spesielt med (den singulære) kohomologien til et rom når rommet er en mangfoldighet, så det er en fordel å vite hva en mangfoldighet er.  Dette er også nevnt i MAT4500 og MAT4510.  Har man tatt MAT4510 eller MAT4520 har man nok også litt flere eksempler på flater eller høyere-dimensjonale mangfoldigheter i tankene enn etter MAT4500.  Det mest kompliserte vi trenger er å definere hva det vil si at en mangfoldighet er orientert.  Det er flere ekvivalente måter å uttrykke dette, og i MAT4540 vil vi foretrekke en annen måte enn i MAT4520.  Presentasjonen i MAT4540 vil derfor ikke bygge på den i MAT4520, men når de overlapper kan det være interessant å se samme sak fra to sider.

Før dette, i seksjon 3.1 og 3.2 ser vi på singulær kohomologi av rom og cup-produktet i singulær kohomologi.  I tilfellet der rommet er en glatt mangfoldighet ble det i MAT4520 konstruert såkalte de Rham kohomologi-vektorrom ved hjelp av differensialformer.  Vi vil vise tilsvarende egenskaper for singulær kohomologi av rom som ble bevist for de Rham kohomologi av mangfoldigheter, f.eks. funktorialitet, homotopi-invarians og en Mayer-Vietoris sekvens.  Det er et teorem (av Georges De Rham) at de to typene kohomologi-gruppene er isomorfe når de har en sjanse til å være det, og at cup-produktet da tilsvarer wedge-produktet av differensialformer.  Så hvis man har MAT4520 fra før vil noen av strukturene likne på ting man har sett før, men ikke være forutsatt.

Du kan kanskje se på kapittel 5 og 7 i læreboken fra MAT4520, som er åpent tilgjengelig for UiO-studenter

https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4419-7400-6
https://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT4520/v22/dokumenter/tu2011_book_anintroductiontomanifolds.pdf

Andre steder kan det være greit å kjenne til ringer, moduler, Hom-grupper, tensor-produkter og eksakte sekvenser, som er dekket i MAT4200, men veldig ofte er det nok å tenke på tilfellet der ringen er Z (de hele tall) eller en kropp, og da er mye kjent fra MAT2200 og lineær algebra."