(2) Spektralanalyser av atmosfæren

Så hvorfor ønsker vi å finne ut hvordan atmosfæren er bygd opp? Dette handler om at atmosfæren vil ha en stor påvirkning på raketten ved nedstigningen. For eksempel vil komposisjonen av grunnstoffer bestemme tettheten til atmosfæren, og dette er direkte knyttet til luftmotstand. For å sikre en trygg landing på planeten er det nødvendig å vite hva vi har i vente når vi begynner nedstigningen. Dermed ønsker vi en så god forståelse som mulig for omgivelsene våre på vei ned.

Spektralanalyse - hva er det?

Nå har jeg allerede nevnt at vi skal bruke spektralanalyse for å bestemme oppbygningen av atmosfæren, så da er det kanskje fint med en liten innføring i hvordan det fungerer. Spektralanalyse er i prinsippet en teknikk som involverer analyse av lysspekteret - som inkluderer synlig lys, infrarød og ultrafiolett stråling. Strålingen vil enten blir utstrålt av, overført gjennom, eller reflektert fra atmosfæren, og dette kan vi bruke for å bestemme hvilke elementer som er inneholdt i atmosfæren. 

Fra fysikk 2 husker du kanskje at forskjellige gasser i atmosfæren absorberer og emitterer elektromagnetisk stråling ved spesifikke bølgelengder. Gjennom analyse av absorpsjons- og emissjonsspektrene, kan man identifisere hvilke gasser som er tilstede og konsentrasjonen av dem. Eksempler på typiske gasser man kan finne vil være karbondioksid, ozon, vanndamp og andre. Under kan du se et eksempel på et emisjonsspekter, som viser hvilke bølgelender et bestemt stoff kan sende ut.

Litt analytiske beregninger

Maksimalt doppler-skift

Før vi begynner med spektralanalysen er det noen analytiske beregninger det kan være lurt å gjøre. Først og fremst kan vi begynne med å se på doppler-skiftet. Vi skal her se på ulike typer elektromagnetisk stråling, og som vi vet vil bølgene komprimeres eller forlenges avhengig av hvordan vi beveger oss. Siden vi går i bane rundt planeten er det åpenbart at vi ikke står stille, og vi må derfor vite hvor stor denne endringen vil være. Derfor kan det være en fordel å beregne en øvre grense for doppler-skiftet.

Du husker kanskje at doppler-skift er gitt ved denne formelen:

\(\Delta f=f\left({v\over c}\right)\)

Her er 

• \(\Delta f\) observert i frekvens for bølgen, 
• \(f\) er den utsendte frekvensen, 
• \(v\) er farten til observatøren og 
• \(c\) er lyshastigheten.

Vi tar her utgangspunkt i at maksfarten til raketten er på \(10km/s=10 000m/s\). Med \(c=3.0\cdot10^8m/s\) gir dette

\(\Delta f_{max}=f\cdot{1\over3\cdot10^4}\)

Altså vil den maksimale endringen i frekvens være på \(1/30000Hz\). 

Modellering av spektrallinjer

Nå skal vi se litt nærmere på spektrallinjer, og mer spesifikt standardavviket til linjeprofilene. Spektrallinjer kan tenkes på som kosmiske strekkoder som gir oss informasjon om sammensetningen av fjerne stjerner og planeter, eller i dette tilfellet - atmosfæren til en planet. Disse linjene oppstår i lysspekteret på grunn av lysets interaksjon med atomer og molekyler, der alle grunnstoffer og molekyler har sine unike linjer.

Et viktig konsept for å forstå disse linjene er den såkalte gaussiske linjeprofilen. Dette er en slags kurve som viser hvordan lyset fordeler seg rundt en spektrallinje. Bredden på denne kurven, eller standardavviket \(\sigma\), gir oss informasjon om forholdene i gassen som sender ut eller absorberer lyset. Under i figur 2 kan du se ulike gaussike kurver.

Standardavviket påvirkes av tre hovedfaktorer: gassens temperatur \(T\), gasspartiklenes masse \(m\) og spektrallinjens sentrale bølgelengde \(\lambda_0\). Ved hjelp av prinsipper som vi har sett på tidligere, slik som Maxwell-Boltzmann-fordelingen, som beskriver partikkelhastigheten i en gass ved en gitt temperatur, og dopplereffekten, som forklarer hvordan bevegelse påvirker oppfatningen av lys, kan vi utlede en formel for \(\sigma\). Denne formelen kan brukes til spektralanalyse, slik at de kan finne viktige egenskaper ved himmellegemer, som temperatur og sammensetning, bare ved å studere lyset de sender ut eller absorberer.

\(\sigma\) kan brukes for å finne flere interessante egenskaper ved atmosfæren. For eksempel kan et stort standardavvik tyde på høy temperatur og tunge partikler. I tillegg kan det gi informasjon om hvordan gassen oppfører seg, og komposisjonen. Dermed er det en stor fordel å kunne beregne denne. Vi kan begynne med å se på hva Maxwell-Boltzmann-fordelingen forteller oss. Fra tidligere blogginnlegg husker du kanskje at hastigheten til partiklene i en ideell gass kan beskrives med denne ligningen:

\(v_{max}^2={2kT\over m}\)

Her er 

• \(v_{max}\) makshastigheten til en partikkel i gassen, 
• \(k\) er Boltzmann-konstanten som er gitt ved \(k=1.38\cdot10^{-23}J/K\), 
• \(T\) er temperaturen i kelvin
• \(m\) er massen til en partikkel i gassen. 

Videre kan vi se på et nytt konsept som skal hjelpe oss i beregningene, nemlig bredden på kurven ved halv maksimum (\(FWHM\)). Se figur 4 for visualisering.

For en såkalt Gausskurve som vi ser på her har vi følgende sammenheng mellom \(FWHM\) og standardavviket \(\sigma\):

\(FWHM=2\sqrt{2\ln(2)}\sigma\)

Gjennom litt utledning som du kan se her hvis du er interessert så kan man komme fram til følgende: 

\(FWHM={2\lambda_0\over c}\sqrt{{2kT\ln(2)\over m}}\)

Kombinerer man disse to kommer man fram til følgende uttrykk for standardavviket:

\(\sigma={\lambda_0\over c}\sqrt{{kT\over m}}\)

Som vi ser er det kun tre parametere som bestemmer standardavviket: massen til partiklene i gassen, bølgelengden på strålingen som sendes ut, og temperaturen. Da ser vi hvordan vi kan bruke spektrallinjene til å få informasjon om dette.

Generering av spektrallinjer

For å tolke spektrallinjer er det en god start å faktisk finne noe å tolke. Nå skal vi se litt nærmere på hvordan vi gjør det. For å gjøre det mulig har vi utstyrt raketten vår med instrumenter som kan måle fluksen til lys med bølgelengde mellom \(600nm\) og \(3000nm\). Denne har tatt målinger hele veien fra vi kom ned i den lave banen rundt planeten. Vi skal nå forsøke å analysere fluksdataene fra instrumentene ved hjelp av \(\chi^2\)-minimering for å undersøke hvilke gasser som finnes i atmosfæren.

\(\chi^2\)-minimering

Men først, hva er \(\chi^2\)-minimering? Dette er en metode for å analysere data som inneholder støy, slik som least square som vi har brukt tidligere. Hovedforskjellen er at denne metoden kan brukes dersom støyen endres også. Formelen for \(\chi^2\)-minimering er gitt ved følgende:

\(\chi^2=\sum_{i=1}^N\left[{f_i-f(t_i)\over \sigma_i}\right]^2\)

Her er \(f_i\) den \(i\)-ende målingen i et sett med \(N\) målinger, \(f(t_i)\) er den tilsvarende forventede verdien for en matematisk modell \(f(t)\) og \(\sigma_i\) er det tilhørende standardavviket i støyen til målingen. Målet med \(\chi^2\)-minimering er å finne den nærmeste matchen mellom modellen og de målte dataene.

Statistisk analyse av dataene

Gaussisk linjeprofiltilpasning

Spektrallinjene modelleres ved hjelp av en Gaussisk linjeprofil, som matematisk representeres som:

\(F(\lambda)=F_{cout}+(F_{min}-F_{cont})e^{\left(-{ 1\over2}\left({\lambda-\lambda_0\over \sigma}\right)^2\right)}\)

hvor:

• \(F(\lambda)\) er fluksen ved bølgelengden \(\lambda\)
• \(F_{cont}\) er kontinuumfluks-nivået, altså fluksen når ingen spektrallinjer er tilstede. Her er den normalisert til å være lik \(1\)
• \(F_{min}\)er den minimale fluksen i midten av spektrallinjen
• \(\lambda_0\) er den sentrale bølgelengden til spektrallinjen,
• \(\sigma\) er standardavviket til linjeprofilen, som representerer bredden.

Ligningen representerer en modifisert Gauss-profil som brukes til spektralanalyse. Den modellerer den observerte fluksen \(F(\lambda)\) ved en bestemt bølgelengde \(\lambda_0\) som en kombinasjon av en konstant bakgrunnsfluks \(F_{cont}\) og en gaussisk topp, som varierer med bølgelengden. Den gaussiske toppen, som er karakterisert ved avviket fra bakgrunnsfluksen \(F_{min}-F_{cont}\), er sentrert rundt og modulert med en faktor på 
\(\sigma\), som bestemmer bredden på toppen. Det eksponentielle uttrykket \(e^{\left(-{1\over2}\left({\lambda-\lambda_0\over\sigma}\right)^2\right)}\) beskriver hvordan fluksen varierer med bølgelengden rundt og faller symmetrisk av på hver side av toppen i henhold til den gaussiske fordelingen. Denne typen ligning brukes ofte i spektroskopi for å modellere fordelingen av lysintensiteten over ulike bølgelengder, spesielt når man analyserer spektrallinjer mot et kontinuerlig spektrum.

Hvor godt den gaussiske profilen passer til de observerte dataene, evalueres ved hjelp av kjikvadratminimering som vi introduserte tidligere.

Iterativt parametersøk

Det utføres et iterativt søk over et forhåndsdefinert verdiområde for \(\lambda_0\), \(\sigma\) og \(F_{min}\) for å finne den kombinasjonen som minimerer kjikvadratverdien. Dette innebærer å beregne \(\chi^2\) for hver kombinasjon av parametere og velge den med lavest verdi.

Beregning av temperatur

Gassens temperatur beregnes ved hjelp av standardavviket (\(\sigma\)) til den gaussiske linjeprofilen, som blir bestemt gjennom khikvadrat-minimeringsprosessen. Forholdet mellom \(\sigma\), temperaturen \(T\) og massen til en partikkel i gassen \(m\) kan utledes fra prinsippene for Doppler-utvidelse av spektrallinjer som vi så på tidligere. Formelen som brukes, er

\(T={m\sigma^2c^2\over k\lambda_0^2}\)

hvor:

• \(m\) er massen til den emitterende partikkelen,
• \(c\) er lysets hastighet,
• \(k\) er Boltzmann-konstanten.

Så fort \(\sigma\) er er bestemt for hver spektrallinje vil temperaturen beregnes for hver spektrallinje.

Identifisering av gasser og beregning av gjennomsnittlig molekylvekt

Gasser identifiseres ved å sammenligne de sentrale bølgelengdene (\(\lambda_0\)) fra analysen med kjente spektrallinjer for gasser. Den gjennomsnittlige molekylvekten (\(\mu\)) for atmosfæren beregnes så basert på de identifiserte gassene og deres relative mengde ved hjelp av ligningen:

\(\mu=\sum_if_{m,i}{m_i\over m_H}\)

der:

• \(f_{m,i}\)er den fraksjonelle forekomsten av \(i\)-te gassen, altså forteller den at for eksempel \(30/100\) av gassen er \(CO_2\).
• \(m_i\)er massen til den \(i\)-te gassen,
• \(m_H\) er massen av hydrogen (brukt som referanse).

Hva fant vi ut?

Vi fikk de følgdende verdiene for de ulike spektrallinjene: 

Som vi ser ble spektrallinjene observert ved bølgelengder fra \(632nm\) til \(2870nm\). Minimumsfluksen \(F_{min}\) ved disse bølgelengdene varierte, med den laveste verdien på nøyaktig \(0.7\) (ved \(760nm\) og \(2200nm\)) og den høyeste på \(0.92727\) (ved \(940nm\)). \(F_{min}\)-verdiene, spesielt de som er nær \(0.7\), tyder på at noen spektrallinjer er akkurat på grensen til å bli oppdaget. Dette kan bety enten en svak tilstedeværelse av den tilsvarende gassen. De høyere \(F_{min}\)-verdiene indikerer sterkere og tydeligere spektrallinjer. Men alt dette gjenstår å se når vi tolker grafene.

De sentrale bølgelengdene \(\lambda_0\) stemte godt overens med de forventede bølgelengdene, noe som indikerer en god tilpasning til spektrallinjene. Dette tyder på at de gaussiske linjeprofilene vi brukte i analysen, var egnet til å modelleringen. Den store likheten mellom de observert sentrale bølgelengdene og de forventede bølgelengdene styrker troverdigheten til at spektrallinjene er ekte også. Likevel må vi analysere dataene mer nøyaktig før vi kan trekke noen konklusjoner. Det skal vi gjøre med med grafene som kommer under.

Temperaturene knyttet til disse spektrallinjene varierte betydelig, fra \(150K\) til \(450K\). Denne variasjonen kan tyde på ulike gasser eller varierende forhold i atmosfæren. Men vi hadde en forventing om at temperaturen skulle ligge mellom disse to tallene, så det er likevel sannsynlig at det kan stemme. Det brede temperaturområdet (\(150K\) til \(450K\)) kan tyde på en rekke ulike gasser i atmosfæren, som alle har ulike termiske signaturer. En annen forklaring kan være at dette er et resultat av varierende forhold atmosfæren, men dette velger vi å ikke ta hensyn til for å forenkle senere modeller.

Hvilke gasser er i atmosfæren?

Som tidligere nevnt har ulike gasser forskjellige spektrallinjer, nå som vi har funnet spektrallinjene kan vi sammenligne med noen vanlige gasser som vi finner i atmosfæren. I tabellen under kan du se noen av de vanligste gassene og deres tilhørende spektrallinjer.

Som vi ser her har vi funnet alle spektrallinjene som er i tabellen, så da har vi vel alle gassene i atmosfæren? Dessverre er det ikke så enkelt. Det er nemlig ikke sikkert at alle spektrallinjene er ekte. Noen ganger kan støy få det til å se ut som at det er en spektrallinje et sted der det ikke er en. For å skille de falske fra de ekte har vi plottet dataene med støy sammen med den gaussiske linjeprofilen for å sammenligne. Dersom det ser ut som at det er en tydelig dip i begge grafene på samme sted velger vi her å gå ut i fra at det er en ekte spektrallinje. I figurene under kan du se plottene som vi tok utgangspunkt i. 

Basert på disse grafene har vi kommet fram til at følgende om spektrallinjene:

Etter å ha studert grafene identifiserte vi åtte spektrallinjer som ekte: \(632nm\), \(690nm\), \(720nm\), \(760nm\), \(1600nm\), \(1660nm\), \(2200nm\) og \(2340nm\). Linjene ved \(820nm\), \(940nm\), \(1400nm\) og \(2870nm\) konkluderte vi med at var falske. Denne klassifiseringen ble basert på samsvar mellom forventede bølgelengder og tilstedeværelsen av merkbare fall i de gaussiske linjeprofilene. Dette er på ingen måte en perfekt måte å gjøre dette på, men det er det vi har valgt. Siden alle \(F_{min}\)-verdiene er lik \(0.7\) eller høyere så er det mulig at alle gassene er tilstede i amtomsfæren, men vi har valgt å kun gå ut i fra at de med tydeligst utslag er ekte.

Reelle spektrallinjer og tilhørende gasser

Oksygen (\(O_2\)): Spektrallinjer ved \(632nm\), \(690nm\) og \(760nm\) tyder på tilstedeværelse av oksygen i atmosfæren.
Vanndamp (\(H_2O\)): Linjen ved \(720nm\) indikerer tilstedeværelsen av vanndamp. Forventede linjer ved \(820nm\) og \(940nm\) ble ikke bekreftet.
Karbondioksid (\(CO_2\)): Linjen ved \(1600nm\) tyder på tilstedeværelse av \(CO_2\), men linjen ved \(1400nm\) ble ikke bekreftet.
Metan (\(CH_4\)): Linjer ved \(1660nm\) og \(2200nm\) indikerer metan.
Karbonmonoksid (\(CO\)): Linjen ved \(2340nm\) tyder på tilstedeværelse av \(CO\).
Falske spektrallinjer
Linjer ved \(820nm\), \(940nm\), \(1400nm\) og \(2870nm\) ble klassifisert som falske. Dette kan skyldes instrumentell støy eller andre atmosfæriske fenomener som ikke er relatert til om det faktisk er gasser der eller ikke.

Konklusjonen er at atmosfæren ser ut til å være sammensatt av en rekke ulike gasser. Det er litt vanskelig å gi et sikkert svar på akkurat hvilken gasser som er der og hvilke som ikke er der. For å gjøre det kunne man for eksempel tatt flere målinger og sammenlignet utslagene. Til slutt konkluderte vi med at de følgende gassene er i atmosfæren: \(O_2\), \(CH_4\), \(CO\) og muligens \(H_2O\) fordi dippen på \(720nm\) var så veldig tydelig. Det er også godt mulig at det kan være \(N_2O\) i atmosfæren, men siden dippen ikke er mer tydelig velger vi å ikke ta den med.

Til slutt ble den gjennomsnittlige molekylmassen \(\mu\) i atmosfæren beregnet med formelen som ble nevnt tidligere. Her gikk vi ut i fra en lik forekomst av alle de ulike gassene. Det ga følgende resultat: \(\mu=23.33g/mol\) som vil si at \(6.022\cdot10^{23}\) molekyler av gassen vil veie \(23.33g\). Til sammenligning ligger det på rundt \(28.61g/mol\) på jorden. Hvis man tar utgangspunkt i at atmosfærene er like store vil den ideelle gassloven tyde på en høyere tetthet i gassene enn på jorden. Dette vil i så fall resultere i mer luftmotstand enn man vil oppleve på jorden.  Men tettheten skal beregnes mer nøyaktig i neste blogginnlegg så vi kan ta konklusjonene da.