Draaaaaag

Hallo venner🌱!

Nå er det ikke lenge igjen til vi får kjenne bakken på Tenebris under simføttene våre! Det er vanskelig å si om vi gleder oss mest fordi en ny planet er spennende, eller fordi vi begynner å bli lei av å være i raketten. Men uansett så blir det nok en fantastisk opplevelse! Men, før vi kan begynne å lande dette mekaniske underverket, må vi være trygge på at vi kan lande trygt. Vi vet fremdeles ikke nok om hvordan vi skal klare å lande trygt, så det skal vi finne ut av nå! 

Det første vi skal gjøre da er å se på luftmotstanden vi vil oppleve når vi går inn i atmosfæren. Vi vet jo at luftmotstanden vil begynne å virke med en gang vi går inn i atmosfæren og at luftmotstanden virker i motsatt retning av bevegelsesretningen. Vi vet jo også da at hvis bevegelsesretningen vår er rett nedover mot Tenebris, så vil luftmotstanden peke i motsatt retning av tyngdekraften. Når luftmotstanden og tyngdekraften er den samme vil vi ha nådd terminalhastighet. Dette vet vi jo også hva er. Terminalhastigheten er hastigheten der et fallende objekt slutter å akselerere, og faller med konstant hastighet. Det er dette vi skal bruke for å få en kontrollert landing. Da må vi finne ut hva terminalhastigheten er, og før det igjen finne ut hva luftmotstanden er!

For å finne luftmotstanden vår skal vi bruke dragformelen. Draaag er mengden motstand man opplever når man beveger seg gjennom et medium. Atmosfæren vår er nå mediumet som består av de ulike gassene vi fant i forrige fase. Formelen for draaag ser slik ut

Her er F_d kraften som motstanden utgjør på oss, altså luftmotstanden vi opplever når vi beveger oss gjennom atmosfæren. A er arealet som opplever denne luftmotstanden, altså den delen av raketten som peker i bevegelsesretningen. ρ (ro) er atmosfæretettheten, den vi regnet ut i fase 6. v_drag er hastigheten vår når vi kun ser på draaag og ikke atmosfærerotasjonen. C_d er draaaag koeffesienten, som i vårt tilfelle bare er lik 1, så denne vil vi ikke se så mye til. 

Det første vi skal gjøre nå er å finne v_drag. Notasjonen på denne variabelen kan være litt forvirrende, fordi draaag er jo ikke en hastighet, men en kraft! Så når vi skal finne v_drag så finner vi hastigheten vår, altså hastigheten til raketten vår, når vi kun ser på draaag og ikke atmosfærerotasjonen. For å finne v_drag bruker vi denne formelen

Der v er den hastigheten vi faktisk har, og w er hastigheten til atmosfæren til Tenebris. Fordi det er jo slik at rotasjonen til atmosfæren til Tenebris også vil påvirke hastigheten vår! Derfor må vi trekke denne i fra den hastigheten vi måler når vi skal finne hastigheten vår når vi kun er påvirket av draaag. For å finne hastigheten til atmosfæren til Tenebris så bruker vi denne formelen

Der ω (omega) er vinkelhastigheten til planeten, h er høyden vi er ved fra sentrum av Tenebris, og r_ϕ (r-phi) er den tangentielle hastigheten til atmosfæren. Med denne formelen finner vi da hastigheten til atmosfæren ved en bestemt høyde. Slik ser de ulike komponentene i formelen ut

Vi vet at atmosfæren vil rotere med Tenebris, at Tenebris roterer mot klokka, og at vi går i bane med klokka, slik

Vi vet også at i vårt tilfelle vil atmosfæren rotere med samme vinkelhastighet som planeten. Altså at planeten og atmosfæren roterer som en og samme enhet med samme vinkelhastighet, og at ut i fra hvor i høyden vi er så vil hastigheten endres. Vi vet jo da at jo høyere opp vi er, desto raskere vil atmosfæren bevege seg fordi den den har lengre vei å gå og må holde tritt med punktene lengre nede som har en kortere vei å gå. Det at vi ser på atmosfæren og planeten som en enhet gjør faktisk utregningene våre mye lettere! Der hadde vi flaks! 

Nå har vi alle komponentene vi trenger for å finne draaaggen vi vil oppleve i atmosfæren til Tenebris! Nå kan vi finne terminalhastigheten!

Vi vet at landeren når terminalhasithget når tyngdekraften som drar raketten mot tenebris, er lik luftmotstanden på raketten og motsatt rettet

Siden kreftene er like store, men motsatt rettet blir summen av kreftene null, og dermed er hastigheten konstant. I tangentiell retning virker ingen andre krefter enn luftmotstanden. Det vil si at etter hvert vil hastigheten til raketten i tangentiell retning bli null, og vi vil kun bevege oss loddrett nedover slik

Ved å bruke formelen for draaag og Newtonds andre lov, og sette de lik hverandre fikk vi ett utrykk for terminalhastigheten, v_terminal, og arealet til landeren som opplever luftmotstanden, A. Formelen for arealet til fronten på landeren ble 

Her er m massen til landeren, g er gravitasjonsakselerasjonen, ρ er atmosfæretettheten, C_d er luftmotstandskoeffesienten, og v er hastigheten til landeren. For å bruke denne formelen må vi vite verdien til de ulike variablene. Vi vet at massen til landeren er 101.8 kg, og at C_d er lik 1. I forrige fase fant vi ut at ρ var lik 1.2 kg/m³, og vi vet at g er lik 6.11 m/s². Siden vi vil at ha en trygg landing så setter vi hastigheten til å være 3 m/s. Når vi puttet disse verdiene inn i formelen fikk vi at arealet til fronten på landeren var 90 kvadratmeter. Nå kan vi se på formelen for terminalhastigheten. Den ble slik 

Her er m massen til landeren, g er gravitasjonsakselerasjonen, ρ er atmosfæretettheten, C_d er luftmotstandskoeffesienten, og A er det arealet vi så på i formel 4.

La oss nå se litt nærmere på hvordan disse ulike komponentene kan påvirke oss når vi er i atmosfæren. Det første vi skal se på er hastigheten til atmosfæren. Vi vet jo at hastigheten vil øke jo høyere opp i atmosfæren vi kommer. Slik vil det se ut for atmosfæren til Tenbris

Her ser vi høyden over overflaten til Tenebris på y-aksen, og hastigheten til atmosfæren på x-aksen. Legg spesielt merke til at høyden fremdeles måles fra origo i Tenebris, og at ved starten på atmosfæren er vi vet radiusen av planeten som er på 4617.83 km. Vi ser, som forventet, at hastigheten til atmosfæren øker lineært med høyden. Vi ser at ved overflaten har atmosfæren vår en hastighet på omtrent 41.6 m/s, mens ved ytterkanten av atmosfæren har den en hastighet på omtrent 42.6 m/s.

Det andre vi skal se på er v_drag, altså hastigheten til raketten vår når vi trekker fra påvirkningen av atmosfærens bevegelse. Slik ser den grafen ut

Her ser vi at vi har den faktiske hastigheten til raketten på y-aksen, og hastigheten til raketten når den ikke påvirkes av bevegelsen til atmosfæren på x-aksen. Siden atmosfæren til Tenebris er konstant, så er ikke dette plottet særlig spennende. Hvis atmosfæren hadde stått stille ville jo v og v_drag vært helt like. Selv om atmosfæren beveger seg, så ser vi det nesten ikke på grafen siden det er såpass lite. Som vi så i figur 3 så hadde den jo en hastighet på ca. 41.6 m/s ved overflaten og ca. 42.6 m/s vet ytterkanten. Dette er jo bare en differanse på 1 m/s. Derfor ser vi det ikke så tydelig på grafen. Hadde atmosfæren deriomot variert mer, ville dette plottet blitt mye mer spennende. For da hadde w variert slik at formelen for v_drag ikke blir så enkel. Like vel kan vi bruke grafen som en kontroll for at det vi har gjort til nå stemmer. Hvis vi ser på starthastigheten til v_drag så ser vi at den starter rundt 42 m/s, noe som stemmer over ens med det vi så at hastigheten til atmosfæren er. 

Det siste vi skal se på er luftmotstanden, altså draaag, til raketten ved ulike høyder. Slik ser den grafen ut

Her ser vi draaagen raketten føler når den beveger seg ned i atmosfæren. Raketten beveger seg med konstant hastighet. På x-aksen ser vi mengden drag raketten opplever i newton, og på y-aksen ser vi høyden over overflaten på Tenebris i meter. Vi ser at over 60 000 meter så vil ikke raketten oppleve noe draaag. Det er fordi her er den fremdeles utenfor atmosfæren. Ved 60 000 meter så vil raketten entre atmosfæren, og i det øyeblikket vil draaag begynne å virke på raketten. Vi ser da at  jo næremere overflaten raketten kommer, jo mer draaag vil virke på raketten. Vi kan lese av at ved landingen vil raketten føle omtrent 32500 N. Men! Vi kommer jo ikke til å lande med hele raketten vår! Vi skal lande med det vi kaller en ''lander'', altså en liten del av toppen av raketten. Denne delen vil koble seg fra raketten, og i det vi kobler fra vil vi booste litt i fra raketten slik at vi ikke krasjer i den ved et uhell. La oss se på hvordan landeren vil oppleve draaag på tur mot overflaten

Her ser vi at grafen for landeren ser nesten identisk ut med den for raketten. Men hvis vi ser på x-aksen så ser vi at mengden newton landeren opplever er betydelig mindre enn den raketten opplever. Hvis vi igjen tar en titt på formelen for draaag så skjønner vi raskt hvorfor det er slik. Fordi i formelen for drag tar vi med arealet til objektet som opplever luftmotstanden. Og siden arealet til landeren, på 0.3 m², er betydelig mindre enn arealet til raketten, på 16 m², altså det arealet som får kraften fra draaag på seg, så vil det bety at den vil oppleve mye mindre draaag. Vi ser at når landeren er nærme overflaten så vil den oppleve omtrent 600 N. Dette er over 30 000 N mindre enn hele raketten opplevde! Vi ønsker jo da å få akkurat nok draag til å nå terminalhastighet. Har vi for lite draaag, vil vi ikke rekke å nå terminalhastighet, og da... møter vi nok bakken litt for hardt... altså vi krasjer... Og det vil vi ikke! Det kan også være at atmosfæren til tenebris er alt for krot til at vi kan rekke å nå terminalhastigheten.. eller at tettheten til atmosfæren er for lav til å skape nok draaag... det er farlig det.. for da, guess what, krasjer vi! Men vi må være forsiktig med å ikke ønske oss for mye draag også. Fordelen med å ikke ha for mye draaag, er at man ikke vil bremses for kraftig ned. Når man bremses veldig kraftig ned så vil luftmotstanden omdanne den kinetiske energien til varmeenergi. Hvis vi bremses for mye ned kan vi bli grillet levende! Og det vil vi heller ikke... Det vil da også være en risiko for at utstyret vårt skades av den høye temperaturen. Landeren vår tåler faktisk bare luftmotstandstrykk, altså dragsug, på 10⁷ Pascal før den brenner opp! Det er fordi ved så høyt dragsug vil friksjonen generere ekstremt mye varme, slik at panelene på landeren til slutt vil smelte og hele sulamitten vil brenne. Når landeren brenner opp så brenner vi også opp! Det blir litt voldsomt... For å stabilisere og bremse raketten mer enn det luftmotstanden gjør kan vi bruke landing thrusters. Formelen for å finne kraften fra thrustersene kommer fra den formelen vi fant for drag og kraften vi opplever fra tyngdekraften når vi har konstant hastighet nedover, slik ble den

Her er F_thruster kraften som thrusterne vil bremse raketten med, ρ₀ er nå endret til å være tettheten ved overflaten til Tenebris fordi vi er såpass nære overflaten når thrusterne aktiveres, A er arealet vi fant tidligere, v_terminal er fremdeles terminalhastigheten, og v_sikker er den hastigheten trenger for å få en trygg landing som vi vet er på maks 3 m/s. Vi ser på denne formelen at hvis man har en landingshastighet, altså terminalhstighet, som er lik v_sikker, så vil kraften fra thrusterne bli null. 

I neste bloggpost skal vi bruke alt dette når vi endelig skal begynne å planlegge landingen vår! Vi håper virkelig at den planleggingen skal gå bra, for hvis ikke.. nei huff, det tørr vi ikke tenke på!

Pax🌿