Post 2, Inne i en rakettmotor

Første punkt er å skjønne litt mer om hva som skjer inni en rakettmotor. For å gjøre dette er det desidert letteste å bruke datamaskiner for å simulere virkeligheten og gjøre beregninger, men før vi starter med dette må vi ha litt utregninger på plass.

Rakettmotoren vår er relativt simpel. Vi skal se på en boks fylt med gass, hvor gasspartiklene spretter rundt. Deretter skal vi lage et hull i denne boksen slik at noen av gasspartiklene kommer seg ut. I dette systemet er drivet bevart. Med positiv retning definert oppover vil gasspartiklene som går ut av boksen ha et driv i negativ retning, dette medfører at selve boksen får en tilsvarende stor endring i driv oppover. Det er dette som gir raketten vår fart. Om vi zoomer inn og ser på hva dette egentlig tilsvarer for gasspartiklene våre er det spesielt to ting som er viktig å se på:

1. Når en gasspartikkel spretter fra vegg til vegg gir den en like stor kraft på begge veggene og selve boksen står stille. Når en gasspartikkel treffer taket av boksen, for å så sprette ut av hullet, gir den fra seg en kraft kun i positiv retning, og dytter derfor boksen vår opp.
2. Temperaturen til en gass handler om hvor mye partiklene beveger seg. Så ved å øke temperaturen til gassen tilsvarer det at partiklene har høyere fart og har derfor mer driv som overføres til boksen da de skytes ut.

For å gjøre utregningen og simulasjonen lettere, både for oss og for datamaskinene, kan vi gjøre noen forenklinger, og håpe at svarene vi får fortsatt passer godt nok med virkeligheten. Hvis svarene ikke er tilstrekkelig må vi være litt mer nøyaktig og kanskje fjerne noen av forenklingene våre, men det tar vi om nødvendig. De første antakelsene/forenklingene vi gjør er:

1. Vi bruker en enkel kvadratisk gassboks for å se hvordan gasspartiklene beveger seg.
2. Vi antar at temperaturen og tettheten til gassen er uniformt (likt) fordelt.
3. Vi bruker ren hydrogengass (H₂) i rakettmotoren siden det er det vi har tilgjengelig på basen.
4. Gravitasjon påvirker ikke gassen.
5. Partiklene påvirker ikke hverandre, altså partiklene kolliderer ikke med hverandre, kun med veggene i gassboksen.
6. Når partiklene kolliderer med veggene er kollisjonen perfekt elastisk. All driv og energi er bevart.

Med disse antakelsene har vi noen mattestykker som er interessante å få svar på. Vi vil finne ut hvor fort vi kan forvente at en enkel partikkel beveger seg, sammenhengen mellom trykk og temperatur i gass og vi vil finne ut den gjennomsnittlige energien til et molekyl i en ideell gass (en ideell gass er en slik gass hvor partiklene ikke påvirker hverandre). Disse utregningene er litt lange og ikke så spennende så utregningen ligger her (Likning1, 2 og 3), men resultatene er disse nedenfor.

Først in veldig liten intro til statistikk. Vi vil finne forventningsverdien til farten til en partikkel i gassen (gjennomsnittsfarta). Farta til hver partikkel hentes ut fra sannsynlighetsfordelinga, som ser omtrent slik ut.

Når vi bestemmer farta på en tilfeldig partikkel, kan du ser for deg at (du er ekstremt treffsikker) kaster en dartpil mellom fart-aksen og selve kurven. Den fart-verdien du havner på bestemmer farta til partikkelen. Se når for deg at du kaster 10 000 dartpiler (du er ekstremt god til å kaste) hvor alle fortsatt treffer innenfor fart-aksen og kurven. Hver av disse dartpilene bestemmer farten til en partikkel. Da ser du at det er lite sannsynlig å få en ekstremt høy fart, eller en veldig lav fart. De fleste partiklene vil ha en fart i område under toppen av kurven, og det er denne forventningsverdien (gjennomsnittet) til farta vi vil ha. Den er gitt med formelen under som gir oss et punkt hvor det er like mye av fordelingen på hver side ved å "vekte" hver verdi for farta med sannsynligheten for at en partikkel har den farta (dette kan være litt vanskelig å skjønne seg på). 

\begin{equation} \langle v \rangle = \int_0^\infty v P(v) dv \end{equation}

Her er P(v) et utrykk for sannsynlighetsfordelingen.

Regner vi ut gir den oss:

\begin{equation} \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \end{equation}

Hvor k er Boltzmanns konstant [J/K], T er temperaturen til gassen [K], m er massen til en partikkel [kg] og 8 er åtte.

Neste er å utlede det som kalles den ideelle gasslov, som gir et forhold mellom temperatur og trykk i en gass. Vi starter fra

\begin{equation} P = \frac{1}{3} \int_0^\infty pv nP(p) dp\end{equation}

Her er P trykket [Pa], p er drivet [kgm/s], n er antall partikler og P(p) er en sannsynlighetsfordeling som beskriver hvordan trykket er som funksjon av drivet. Om vi løser denne får vi en kjent ligning:

\begin{equation} P = \frac{NkT}{V}\end{equation}

Hvor N er antall partikler og V er volumet [m³]som omslutter partiklene.

Den siste ligningen vi skal se på er gjennomsnittsenergien til gassen. I vårt tilfelle er den totale energien lik den kinetiske, siden det ikke er noen ytre kraft (som for eksempel gravitasjon) som påvirker gassen. Ut fra dette har vi at 

\begin{equation} \langle E \rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle\end{equation} 

Her er

\begin{equation} \langle v^2 \rangle = \int_0^\infty v^2 P(v) dv\end{equation}

Løser vi dette får vi

\begin{equation} \langle E \rangle = \frac{3}{2} kT\end{equation}

som bare inneholder kjente størrelser.

Da kan vi starte på å se noe litt mer spennende, rakettmotor!