\
Tom Gunnar påpekte noe viktig. Planeten vi skal til har også en fart og posisjon i forhold til samme sol som den vår planet går rundt, så det å endre koordinatsystem hjelper oss veldig videre. Det er dette vi skal få til nå. Det høres vell ganske simpelt ut? Det samme tenkte vi, men dette krevde (desverre) mye mer jobb enn det vi først trodde.
Vi kan starte med det som gikk relativt fort. Den nye farta har fortsatt to komponenter. Fart i x-retning, vx og fart i y-retning vy. Det samme gjelder for posisjonen x ,y.
På starten av launch ser koordinatsystemet slikt ut. Posisjonen har altså y=0 og x = planetens avstand til sola + planetes radius. Vi tar av fra planeten direkte i x-retning. Startfarten i x-retning er da 0, mens startfarten i y-retning er planetens fart rundt sola + planetens rotasjonshastighet.
Den siste her kan være litt mystisk, men husk fra forrige post at rotasjonshastigheten til planeten gir tangentiell fart, og i øyeblikket til launch er den tangentielle farten direkte i y-retning (se bilde 2).
I y-retning er det fortsatt ingen akselerasjon eller kraft, så farta i y-retning vil være konstant. I x-retning er tilfellet relativt likt som i koordinatsystemet med planeten som origo. Akselerasjonen i x-retning blir fortsatt bestemt av thrusten til raketten og gravitasjonen fra planeten, samme som sist. Men, til tross for at det er likt bommet de første simulasjonene våre veldig. De stoppet alt for tidlig, hadde en sluttfart som ikke var i nærheten av vesc, og ga en posisjon som ikke så riktig ut i det hele tatt.
Vi hadde kort sagt gjort én stor feil, som ledet til flere mindre feil. Gravitasjonen fra planeten avhenger jo av avstanden til planetens sentrum, både denne avstanden og farten i forhold til (forkortes ift. framover) planeten hadde vi regnet ut helt feil. Vi trodde vi var lure og gjorde lette og "smarte" løsninger. Disse løsningene var ikke smarte i det hele tatt. En løsningsmetode som funker, er å lage nye størrelser for avstand og fart i forhold til planeten, og oppdatere disse separat for verdiene i det nye koordinatsystemet vårt.
Husk tilbake til da vi snakket om hvordan vi regner ut verdier for alle små tidssteg \(\Delta t \). Vi gjør det samme nå, men for hver \(\Delta t \) regner vi ut ny posisjon og fart både ift. til sola OG ift. planeten. Avstanden til planeten brukes for å oppdatere gravitasjonskrafta fra planeten, men også til å oppdatere vesc. Dette var den siste feilen vi gjorde, vi oppdaterte ikke vesc. Se for deg at du starter veldig langt unna planeten. Da trengs det åpenbart mye mindre fart for å komme seg ut av gravitasjonsfeltet enn om man starter på planetens overflate, så denne må selvfølgelig også oppdateres etterhvert som vi simulerer.
Matten bak simulasjonen vår er slik (dette kan være litt tørt, så bla ned til neste bilde om du vil hoppe over matematikken):
Startfarten til satelitten vår er:
\( \vec{v_0} = [ 0, startfart planet + tangentiell fart] \)
og startposisjonen er
\( \vec{r_0} = [ startposisjon planet + radius planet, 0] \)
som man kan se fra bilde 2. Etterhvert som simulasjonen går oppdaterer vi størrelsene slik. Vi må først finne fart og posisjon til satelitt ift planet:
Startposisjonen er nå som tidligere:
\( \vec{r_{rp}} = [radius planet, 0] \)
og farta oppdaterer vi slik
\( \vec{v_{rp}} = \vec{v_i} - [0, startfart planet] \)
siden startfarten til planeten er kun i y-retning. Vi oppdaterer deretter posisjonen slik
\( \vec{r_{rp, i+1}} = \vec{r_{rp, i}} + v_{rp} \Delta t \)
og \( r_{rp} = | \vec{r_{rp}} | \)
(her er \(\vec{v}\) ift. sola, og "rp" henviser til rakett ift planet).
Disse brukes for å finne ut farten ift. sola:
\( \vec{a} = [ Thrust - G(r_{rp}) , 0] \)
\( \vec{v}_{i+1} = \vec{v}_i + \vec{a} \Delta t \)
\( \vec{r}_{i+1} = \vec{r}_i + \vec{v} \Delta t \)
\( m_{i+1} = m_i - D_s \Delta t \)
Her kan man se at gravitasjonen endres når avstand til planet økes, og i tillegg oppdaterer vi
\( v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r_{rp}}} \)
Okei dette var mye, og er ikke viktig med mindre man vil skjønne mer i dybden. Resultatene under derimot er mye mer spennende. Banene vi simulerer ser slik ut:
På bildet ser du kanskje på aksene at tallene ikke er helt den størrelsen man forventer når de er oppgitt i meter. Dette er fordi symbolet 1e10, betyr at tallene på aksen ganges med 1010 . Så at planeten har en avstand fra sola på 27 000 000 km høres litt mer riktig ut (Jorda har som sagt en avstand på ca. 150 000 000 km).
Nå, endelig, moment of truth.
Vent hva? Ser nå at på siste punkt vi får fra Tom Gunnar er det også gitt informasjon om hvor man kan finne et slikt program som simulerer launch, allerede ferdiglaget inne på pc-ene på basen...
Alt man trenger å gjøre på disse programmene er å legge inn verdier for start og sluttposisjon ift. sola, thrusten til raketten, total masse til raketten og hvor mye fuel som brukes per sekund.
Jaja, kunne spart oss for veldig masse arbeid, men vi kan iallfall trygt si at vi har skjønt oss på hva denne simulasjonen gjør, og det er betryggende å ha en "fasit" å sammenligne våre resultater med.
Okey, nå er det faktisk moment of truth. Vi sammenligner resultatene fra vår simulasjon med dette "fasit" programmet våre kollegaer har laget. Posisjonen ser veldig lovende ut, vi befinner oss på samme plass når vi når escape velocity, og ifølge fasit programmet burde det ta 657.8 sekunder. WOW! Vår simulasjon sier at det burde ta 657.4 sekunder! Det er altså 0.4 sekunders avvik mellom resultatene.
Nå kan vi ta helg med god følelse, og vi gleder oss til å finne ut mer om solsystemet vårt neste uke.