MAT-INF 1100 - høsten 2008

Forelesningsrapport 

Mandag 1/12. I første time tok jeg en rask gjennomgang av numerisk løsning av differensialligninger, med særlig vekt på Eulers metode og feilanalyse for denne, særlig i tilfellet der vi bare tar ett tidsteg. Deretter så vi på Eulers midtpunktmetode og hvordan en andreordensligning kan skrives som et system av to førsteordens ligninger. Etter pause ga jeg en oversikt over numerisk derivasjon og integrasjon, og gjennomgikk i detalj metoden for numerisk integrasjon i seksjon 11.3, med særlig vekt på feilanalysen. Og dermed var forelesningene for i år over!

Tirsdag 25/11. Vi begynte med å se på forskjellen på rastergrafikk og vektorgrafikk, seksjon 14.3.1 i kompendiet. Deretter repeterte vi stabilitet for differensligninger, særlig eksempel 6.19 i kompendiet med forklaring. Vi avsluttet med å gjennomgå interpolasjon via newtonformen - seksjon 9.2.2 i kompendiet.

Mandag 24/11. Jeg begynte med å gi noen råd om eksamen - jeg kommer til å oppdatere eksamenssiden med informasjon om hvor mange numeriske oppgaver det blir (tre i del 2 og tre i del 1). Resten av forelesningen brukte vi til å gjennomgå hva digitale bilder er og hvordan de kan håndteres på datamaskin, kapittel 14 i kompendiet. Det eneste som nå gjenstår er å si litt om rastergrafikk kontra vektorgrafikk - seksjon 14.3.1.

Tirsdag 18/11. I dag gjennomgikk vi kjapt en del grunnleggende stoff om lyd og hvordan dette håndteres på datamaskin, men mange demonstrasjoner. Dette stoffet finner du i notatet som er lagt ut på hjemmesiden samt i kapittel 8 i kompendiet.

Mandag 17/11. Vi gjorde oss i dag ferdig med aritmetisk koding og kapittelet om tapsfri kompresjon ved å gjennomgå algoritme 7.19, teorem 7.21 og korollar 7.22 i detalj. Dekodingsalgoritmen (algoritme 7.24) er også viktig, men denne må dere lese på egenhånd.

Mandag 10/11. Tema i dag var fortsatt tapsfri kompresjon. Vi så først på definisjonen av et kvalitetsmål for en kompresjonsstrategi og Shannons teorem som forteller oss hvor god kompresjon vi i beste fall kan ha forhåpninger om å oppnå (seksjon 7.3 i kompendiet). Deretter begynte vi på aritmetisk koding og kom fram til eksempelet på side 146 som leder opp til algoritme 7.19. Vi fortsetter med dette neste mandag (ingen forelesning i morgen).

Tirsdag 4/11. Vi fortsatte med digital representasjon og så på såkalt tapsfri kompresjon (seksjon 7.1). I dag gjennomgikk vi Huffman-koding (seksjon 7.2), mens vi i neste uke skal se på aritmetisk koding (seksjon 7.3) og noen andre metoder (seksjonene 7.4-7.6).

Mandag 3/11. Det numeriske stoffet er nå avsluttet og vi gikk tilbake til seksjonene 4.3-4.5 i kompendiet og så hvordan tekst representeres i datamaskinen. Vi fokuserte særlig på formatene ASCII, ISO Latin og Unicode (UTF-8).

Tirsdag 28/10. I dag gjennomgikk vi seksjon 12.8 i kompendiet - systemer av differensialligninger. Vi så først hvordan systemer av førsteordens ligninger kan skrives som en vektorligning, og hvordan for eksempel Eulers metode kan anvendes på en slik vektorligning. Deretter så vi hvordan høyere ordens ligninger (også systemer av slike) kan skrives som et system av førsteordens ligninger. Med dette er vi ferdige med stoffet om differensialligninger.

Mandag 27/10. Tema i dag var løsning av andreordens differensiallignigner. Vi gjennomgikk seksjon 10.5 i Kalkulus i første time og seksjon 10.6 i andre time. Dette er veldig likt differensligninger så vi tok noe av stoffet kjapt.

Tirsdag 21/10. I dag fortsatte vi med numerisk løsning av differensialligninger. Vi repeterte først fra i går, deretter så vi nærmere på taylormetoder og Eulers midtpunkmetode. Til slutt gjennomgikk vi feilanalysen for Eulers metode.

Mandag 20/10. Vi fortsatte med differensialligninger, i dag numerisk løsning av differensialligninger. Vi så først litt nærmere på hva en numerisk løsning av en differensialligning er, og geometrisk tolkning av førsteordens differensialligninger, seksjon 12.2 i kompendiet. Deretter gjennomgikk vi i detalj ideen bak Eulers metode (seksjon 12.3 i kompendiet). Til slutt generaliserte vi til kvadratisk Taylor-metode (seksjon 12.5.1), noe som krever at vi deriverer differensialligningen (seksjon 12.4).

Tirsdag 14/10. Tema i dag var analytisk løsning av førsteordens differensialligninger. I første time så vi på løsning av lineære ligninger (seksjon 10.1 i Kalkulus), eksistens og entydighet av løsningen (seksjon 10.2) og noen anvendelser (seksjon 10.3). Etter pausen gjennomgikk vi løsningsprosedyren for separable ligninger og så på noen eksempler. Dette er en liten endring fra den opprinnelige planen siden vi så på separable ligninger istedenfor Eulers metode. Vi tar Euler's metode neste gang isteden.

Mandag 13/10. I første time oppsummerte vi framgangsmåten for å utlede og analysere metoder for numerisk derivasjon og integrasjon. Etter pausen begynte vi på differensialligninger. Vi så på innledningen til kapittel 12 i kompendiet (seksjon 12.1) og begynte på seksjon 10.1 i Kalkulus.

Tirsdag 29/9. Vi fortsatte med å se på numerisk derivasjon, denne gangen en symmetrisk metode for første deriverte, se seksjon 11.2 i kompendiet. I andre time så vi på numerisk integrasjon, nærmere bestemt en fullstendig analyse av den såklate midtpunktmetoden som er behandlet i seksjon 11.7 i kompendiet.

Mandag 28/9. I første time utledet jeg algoritmen for halveringsmetoden (seksjon 10.2 i kompendiet), mens jeg i andre time utledet og analyserte den enkleste methode for numerisk derivasjon (seksjon 11.1 i kompendiet).

Tirsdag 23/9. Jeg begynte med å gjennomgå seksjon 9.2.2 i kompendiet om interpolasjon via Newtonformen av interpolasjonspolynomet. Deretter gikk jeg over på kapittel 10 og beskrev kort halveringsmetoden, sekantmetoden og Newtons metode for å beregne nullpunkter. Vi tar mer om dette på mandag, særlig litt om feil.

Mandag 22/9. I første time gjennomgikk jeg 9.5 i kompendiet i detalj. Deretter begynte vi på interpolasjon, seksjon 9.2 i kompendiet. Av dette stoffet rakk vi fram til seksjon 9.2.2.

Tirsdag 16/9. I dag var tema Taylorpolynomer. I første time gjennomgikk vi seksjon 11.1 i Kalkulus, i andre time 11.2 om restleddet.

Mandag 15/9. I første time tok vi for oss inhomogene differensligninger, seksjon 4.2 i Kalkulus. I andre time var tema simulering av differensligninger, kapittel 6 i kompendiet, særlig seksjonene 6.3 og 6.5.

Tirsdag 9/9. Differensligninger var tema i dag. Vi brukte begge timene til å komme gjennom seksjon 4.1 i Kalkulus.

Mandag 8/9. Tema i dag var representasjon av flyttall på datamaskin og avrundingsfeil. I første time så vi på normalformen for reelle tall, både desimalt og binært, og hvordan denne danner utgangspunktet for representasjon av reelle tall på datamaskin (seksjon 4.2 i kompendiet). Deretter gikk vi over på seksjon 5.1 (absolutt og relativ feil) og seksjon 5.3. Vi så på eksempler på addisjon av tall i den enkle desimale flyttallsmodellen og hvordan vi mister siffere ved subtrasksjon av nesten like tall. Til slutt så vi på et eksempel på omskriving av en formel for å redusere problemet med avrundingsfeil (eksempel 5.17).

Tirsdag 2/9. Vi fortsatte der vi slapp i går og så hvordan vi kan skrive tall i intervallet (0,1) som 'desimaltall' med grunntall beta. Vi tok også for oss noen grunnleggende egenskaper ved slike 'desimaltall', og gikk deretter over på representasjon av heltall på datamaskin (seksjon 4.1). Til slutt begynte vi på seksjon 4.2, men rakk ikke lenger enn å definere normalformen for reelle tall.

Mandag 1/9. I dag var første forelesning fra kompendiet. Vi begynte med å se hvorfor det kan være lurt å representere informasjon ved hjelp av 0 og 1, slik man gjør på datamaskiner (seksjone 2.1 og 2.2 i kompendiet). Deretter begynte vi å se på representasjon av tall i ulike siffersystemer. Vi så hvordan heltall kan representeres med grunntall beta (seksjon 3.2) og så deretter på representasjon av brøkdeler (tall i intervallet (0,1)). Vi rakk fram til teorem 3.15, og fortsetter derfra i morgen.

Tirsdag 26/8. Vi begynte med resultatet som sier at aritmetiske kombinasjoner av rasjonale tall er rasjonale og at kombinasjonen rasjonal/irrasjonal blir irrasjonal. Her skisserte vi også et bevis. Deretter fortsatte vi med Arkimedes prinsipp og resultatet som sier at ethvert åpent intervall inneholder både rasjonale og irrasjonale tall. Vi tok så for oss kompletthetsprinsippet (seksjon 2.3) og viste at kvadratroten av 2 er et reelt tall. Til slutt så vi på aksiomene for de reelle tallene.

Mandag 25/8.Vi tok først for oss seksjon 1.4 i Kalkulus om binomialteoremet. Deretter begynte vi på kapittel 2 og gjennomgikk seksjon 2.1 og 2.2 fram til Arkimedes prinsipp. Vi fortsetter med dette i morgen.

Tirsdag 19/8. I dag var tema induksjonsbevis. Vi begynte med en detaljert gjennomgang av beviset for formelen for summen av de n første heltallene. Dette er lagt ut som et notat under 'Undervisningsmateriell' på hjemmesiden. I tillegg løste vi oppgave 1.2.2 i Kalkulus og gjennomgikk eksempel 1.2.4.

Mandag 18/8. Vi begynte med litt informasjon om kurset, undervisningsmateriell, forelesninger og grupper etc., og litt generelt om matematikk. Etter pausen begynte vi forsiktig på pensum ved at vi gjennomgikk seksjon 1.1 i Kalkulus. Det vanskeligste stoffet er nok skifte av summasjonsindeks i summer.