Grublegruppa er et ekstratilbud til studenter som ønsker å lære litt ekstra. Fokuset vil i hovedsak være på de teoretiske delene av pensum.
Sammendrag fra Gruppetimene
Her vil det legges ut sammendrag fra tidligere gruppetimer og eventuelle kommentarer om fremgangen i løpet av semesteret.
31. august: Første gruppetime. Presenterte noen tanker om grublegruppen. Snakket litt om Eulers formel via potensrekker; indikerte noen farer ved manipulasjon av betinget konvergente rekker, men at disse ikke er tilstede her. Delte ut oppgaver og gjennomgikk løsninger for to av disse, med særlig vekt på den logiske strukturen i argumentene. Løsningsforslag og kommentarer til resten av oppgavene ligger her.
7. september: Snakket kort om symbolstrenger og matematiske objekter; hva mener man når man sier at et matematisk objekt eksisterer? Indikerte hvordan man kan konstruere tallsystemer fra mengder. Konstruerte i større detalj de komplekse tallene fra de reelle; viste hvordan R kan identifiseres med en delmengde av C ved isomorfi. Delte ut oppgaver. Mer tid til dette neste gang.
14. september: Betraktet to følger som ga opphav til morsom notasjon. Mesteparten av tiden gikk med til å finne en fornuftig tolkning av uttrykket √(x + √(x + √(…))) som grenseverdien til en konvergent følge og deretter «beregne» denne grensen. Nøkkelen var Teorem 4.3.9 («monoton konvergens»: 4. utg., s. 211), men også Setning 5.1.10 (4. utg., s. 237) ble brukt.
21. september: Forrige gruppetime handlet mye om nøstede kvadratrøtter, men hvordan kan man egentlig «beregne kvadratrøtter for hånd»? Presenterte og beviste konvergens av den babylonske metode for å beregne kvadratrøtter. Til dette brukte vi blant annet Teorem 4.3.9 («monoton konvergens»: 4. utg., s. 211) og Setning 5.1.10a (4. utg., s. 237).
28. september: Vi studerte diverse moteksempler til feilaktige slutninger, som en illustrasjon på hvorfor ulike hypoteser må være oppfylt i kjente teoremer.
Fremover skal vi bruke litt tid på å bevise versjoner av inverst funksjonsteorem i én variabel (en videreutvikling av kapittel 7.4) og deretter bruke dette sammen med teorien for Darboux-Riemann-integralet (hovedsakelig kapittel 8.2 og 8.3) for å gi presise definisjoner av elementærfunksjonene (potens- og eksponentialfunksjoner, logaritmiske og trigonometriske funksjoner, osv.) uten å bruke teori om rekker.
5. oktober: Definerte og så på grunnleggende egenskaper ved komposisjon av funksjoner, bijeksjoner og inversfunksjoner. Innførte begrepene kontinuerlig deriverbarhet og diffeomorfi. Formulerte, men rakk ikke å bevise, den globale versjonen av inverst funksjonsteorem.
12. oktober: Ingen grublegruppe denne uken grunnet midtveiseksamen.
19. oktober: Vi startet med en kort oppsummering av begrepene som ble innført forrige gang. Vi beviste hovedpunktene i den globale formuleringen av inverst funksjonsteorem.
26. oktober: Et lite innslag om Riemann-integralet. Vi beviste at man kan modifisere en Riemann-integrerbar funksjon i et endelig (men ellers vilkårlig stort!) antall punkter uten å miste integrerbarheten, og at man på denne måten oppnår en funksjon med samme integral som den opprinnelige. Med andre ord, integralet «ser ikke» enkeltpunkter. Videre så vi et eksempel på: en Riemann-integrerbar funksjon uten noen antiderivert; en funksjon med en antiderivert, men som ikke er Riemann-integrerbar.
Notatet om inverst funksjonsteorem er nå tilgjengelig.
2. november: Vi studerte rotfunksjoner via inverst funksjonsteorem. Deretter definerte og beviste vi egenskaper ved rasjonale potensfunksjoner, en (smertefull) øvelse i å manipulere heltallspotenser og n-te røtter på riktig måte. Avsluttet det hele med å vise at disse funksjonene er kontinuerlig deriverbare, slik vi er vant til.
9. november: Definerte og beviste egenskaper ved logaritmiske- og eksponentialfunksjoner ved hjelp av teorien for Darboux-Riemann-integralet og inverst funksjonsteorem. Som en anvendelse av dette definerte vi potensfunksjoner med irrasjonale eksponenter. Til slutt så vi hvordan alle disse funksjonene er glatte (uendelig ganger deriverbare).
16. november: Vi beviste at en kontinuerlig funksjon er entydig bestemt av hvordan den opererer på rasjonale tall. Dette brukte vi til å vise at vår definisjon av reelle eksponentialfunksjoner er den eneste fornuftige, i den forstand at det gir den unike utvidelsen av disse fra de rasjonale tallene. Til slutt identifiserte vi egenskaper som fullstendig karakteriserer logaritmiske- og eksponentialfunksjoner.
23. november: Vi benyttet inverst funksjonsteorem og teorien for Darboux-Riemann-integralet til å innføre de trigonometriske funksjonene. Vi beviste blant annet at disse funksjonene er glatte, «enhetsformelen» for sinus og cosinus, og til slutt ga vi et bevis for addisjonsformlene ved hjelp av et unikhetsteorem for differensiallikninger.
30. november: Dette var siste gruppetime for i år! Isomorfi mellom rom av lineæravbildninger og rom av matriser.