Forståelse av atmosfæriske forhold er helt avgjørende for å kunne forutsi hvordan raketten vil oppførere seg når den beveger seg gjennom de ulike atmosfæriske lagene. Med kunnskap om dette kan man optimalisere inngangsvinkelen, nedstigningsbanen og landingsmekanismene, noe som sikrer en trygg landing. Denne modelleringen gjør det også lettere å forutse og redusere risikoen for problemer under landingen.
Forenklinger og tilnærminger
Vi tar utgangspunkt i at Atmosfæren har en ensartet sammensetning i alle høyder. Med det mener vi at dersom atmosfæren for eksempel består av 40 % nitrogen, er denne andelen konstant overalt. Så det er altså 40 % nitrogen ved bakken og 1000 meter over.
Vi antar også sfærisk symmetri. Det vil si at atmosfærens tetthet (\(\rho\)) er en funksjon av kun den radiale avstanden \(r\) fra planetens sentrum, noe som innebærer en sfærisk symmetrisk atmosfære. Det vil altså ikke ha noen betydning om vi snur oss rundt og peker posisjonsvektoren i noen annen retning. Så lenge den er like lang vil tettheten være lik. Altså slik som i figur 1.
I tillegg antar vi hydrostatisk likevekt. Det vil si at vi antar at gravitasjonskreftene og trykkgradienten i atmosfæren er i balanse, slik at vi kan relatere trykk, tetthet og høyde. Med trykkgradienten menes kraften som virker på molekylene som er i områder der det er høy tetthet mot områder med lav tetthet. Denne vil typisk peke vekk fra planeten fordi tettheten vil synke med økende høyde. Uten noen andre krefter tilstede ville gassen med tiden spredt seg uniformt utover slik at det ikke ble noen forskjell i tettheten, men her hindrer gravitasjonskreftene det fra å skje. I figur 2 kan du se hvordan dette fungerer.
Gassene i atmosfæren tilnærmes som en ideell gass, noe som forenkler forholdet mellom trykk, volum og temperatur. I tillegg er det en fordel å bruke dette siden vi har blitt godt kjent med ideelle gasser gjennom tidligere blogginnlegg.
Atmosfæren modelleres i to lag - et adiabatisk lag fra overflaten og opp til det punktet der temperaturen er halvparten av overflatetemperaturen (\(T_0/2\)), og et isotermisk lag over dette punktet. Et isotermt lag vil si et lag der temperaturen er konstant med høyden. Et adiabatisk lag er et område i atmosfæren der temperaturendringer oppstår på grunn av ekspansjon eller kompresjon av luft uten ekstern varmeutveksling. Dette skjer i henhold til følgende ligning:
\(P^{\gamma-1}T^\gamma=konstant\)
Her har vi følgende størrelser:
- \(P\) er trykket
- \(T\) er temperaturen
- \(\gamma\) er den adiabatiske indeksen eller spesifikt varmeforhold, som er forholdet mellom den spesifikke varmen ved konstant trykk og spesifikke varmen ved konstant volum.
Ligningen har den formen den har fordi den sammenfatter det termodynamiske prinsippet om at i et system der det ikke utveksles varme, er trykk og temperatur invers-relatert, med det spesielle varmeforholdet \(\gamma\) som beskriver dette forholdet.
Her kan du se en enkel tegning av atmosfæren:
Hvordan har vi modellert atmosfæren?
Modellen vår benytter den hydrostatiske likevektsligningen, idealgassloven og loven for adibalistiske gasser. Den hydrostatiske likevektsligningen relaterer trykkendringen med høyden til gravitasjonskraften. Sammen med ligningen for adibalistiske gasser kan vi få følgende ligning for temperaturendringen gitt høyden:
\({dT\over dr}=-{\gamma-1\over \gamma}{\mu\cdot m_H\cdot g(r)\over k}\)
Her inngår følgende størrelser:
- \(T\) er temperaturen.
- \(r\) er avstanden fra overflaten.
- \(\mu\) er den gjennomsnittlige molekylvekten i hydrogenmasser.
- \(g(r)\) er gravitasjonsakselerasjonen ved en høyde \(r\).
- \(k\) er Boltzmann-konstanten.
- \(\gamma\) er den adiabatiske indeksen som vi her har valgt å sette lik \(1.4\).
Denne ligningen beskriver temperaturgradienten \(dT\over dr\) i en adiabatisk atmosfære. Den knytter temperaturendringen med høyden \(r\) til den adiabatiske lapseraten, som bestemmes av forholdet mellom spesifikk varme \(\gamma\), gjennomsnittlig molekylvekt \(\mu\), gravitasjonsakselerasjon \(g(r)\) og Boltzmann-konstanten \(k\). Dette gjenspeiler hvordan temperaturen endrer seg med høyden i en adiabatisk prosess, noe som er typisk for atmosfærefysikk.
Du lurer kanskje på hva i alle dager \({dT\over dr}\) betyr? Det er egentlig bare en fancy måte å skrive at funksjonen for \(P\) er derivert med hensyn på \(r\). Altså er det det samme som \(T'(r)\).
I tillegg satte vi opp en annen differensialligning for tettheten \(\rho\) slik:
\({d\rho\over dr}=-{\rho\over T}\left({dT\over dr}\right)-{\rho\over T}{g(r)\cdot\mu\cdot m_H\over k}\)
Her inngår de følgende størrelsene:
- \(\rho\) er tettheten til atmosfæren.
- \(k\) er Boltzmann-konstanten.
- \(T\) er temperaturen.
- \(\mu\) er den gjennomsnittlige molekylmassen i antall hydrogenmasser.
- \(r\) er avstanden fra overflaten.
- \(g(r)\) er tyngdeakselerasjonen ved en avstand \(r\) fra overflaten.
Denne ligningen modellerer den vertikale tetthetsgradienten i en adiabatisk atmosfære. Den fanger opp hvordan tettheten \(\rho\) avtar med høyden \(r\). Det første leddet, \(-{\rho\over T}({dT\over dr})\), gjenspeiler hvordan tettheten endrer seg omvendt med temperaturendringer: Når temperaturen avtar med høyden (representert med \(dT\over dr\)), reduseres tettheten. Det andre leddet, \(-{\rho\over T}{g(r)\cdot\mu\cdot m_H\over k}\), legger til effekten av tyngdekraften
\(g(r)\) og molekylære egenskaper \(\mu\) på denne gradienten. I hovedsak viser denne ligningen at tettheten i en adiabatisk atmosfære ikke bare reagerer på temperaturendringer, men også på tyngdekraftens påvirkning på molekylenes bevegelse, og at begge deler bidrar til at tettheten avtar med høyden. For de spesielt interesserte kan dere se utledningen av de to differensialligningene her.
Differensialligningene som er avledet fra den hydrostatiske likevekten, idealgassloven (\(P={\rho kT\over \mu}\)) og den adibalistiske gassloven løses numerisk ved hjelp av en metode kalt Runge-Kutta4. Løsningen for en slik ligning blir da verdiene for trykket og temperaturen for ulike høyder over overflaten \(r\). Gravitasjonsakselerasjonen \(g(r)\) beregnes som en funksjon av den radiale avstanden fra planetens overflate. Denne er gitt ved Newtons gravitasjonslov på vanlig måte, men fordi vi ønsker at det skal være en funksjon av avstanden fra overflaten og ikke sentrum av planeten (årsaken er at vi ønsker at alle de deriverte i differensialligningen er derivert med hensyn på samme variabel) må vi skrive funksjonen på denne måten:
\(g(r)=\gamma {M_p\over(r+r_p)^2}\)
Her inngår følgende størrelser:
- \(\gamma\) er gravitasjonskonstanten som er lik \(6.67\cdot10^{11}m^3kg^{-1}s^{-2}\)
- \(M_p\) er planetens masse
- \(r\) er avstanden fra planetens overflate
- \(r_p\) er planetens radius
Som tidligere nevnt skulle vi modellere atmosfæren i to lag. Det vi har gjort til nå er jo bare modell for høyden opp til temperaturen er \(T_0/2\). Vi skulle jo også lage et isotermalt lag. Sånn vi har gjort dette er at når temperaturen synker under \(T_0/2\) så vil temperaturen være konstant. Dette har vi skrevet med differensialligningen
\({dT\over dr}=0\)
Hvis du løser denne differensialligningen (som du kan gjøre ved å integrere begge sider med hensyn på \(r\)) vil du se at temperaturen blir lik en konstant.
Vi satte også opp en ny differensialligning for tettheten i det isotermale laget. Den ble gitt ved følgende:
\({d\rho\over dr}=-{2\rho\over T_0}{g(r)\cdot\mu\cdot m_H\over k}\)
Her har alle variablene samme betydning som i forrige ligning for endringen i tetthet. Forskjellen er at vi her har \(T_0\) som betegner temperaturen ved overflaten. Hvis du ser nøye etter vil du legge merke til at det egentlig er samme ligning for \(d\rho\over dr\) som vi så i sta, men vi har satt endringen i temperatur lik 0 og satt \(T\) konstant lik \(T_0/2\). \(T_0\) satte vi til å være lik temperaturen som vi beregnet for overflaten i et tidligere blogginnlegg der vi så på innstråling fra stjerna. Temperaturen ble derfor satt til å være \(T_0=289.8K\). Dersom du er interessert i å se hvorfor disse differensialligningene kan brukes for å beskrive tetthet og temperatur kan du lese om det her.
Til slutt ble temperaturen og tettheten beregnet ved ulike høyder. Vi beregnet for \(200001\) punkter mellom \(0m\) over overflaten og til \(200000m\) over. Altså beregnet vi størrelsene for \(r=0,1,2,3,4,...,200000\).
Hva fant vi ut?
Etter å ha løst differensialligningene ble temperaturen og tettheten plottet for intervallet\(r\in(0,200000)\), altså \(r\) ligger mellom \(0\) og \(200000\). Dette ga følgende grafer:
Fra grafen for temperatur ser vi at det er en lineær negativ vekst slik vi ville forvente på grunn av tilnærmingene vi har gjort. Hadde vi tatt utgangspunkt i at gassene var ulikt fordelt gjennom atmosfæren ville grafen sett annerledes ut. Denne har en temperaturendring som tilsvarer, \(K/m\).
Det som er litt rart er at grafen fortsetter å synke litt etter vi kommer ut av den adibalistiske sonen. Vi har ikke noe godt svar på hvorfor dette skjer, men det kan muligens ha noe med måten differensialligningene løses på. En annen mulighet er at vi har valgt å la skiftet av differensialligning skje når \(T<T_0/2\). Siden vi bruker diskret verdier kan man havne litt på bortsiden fordi dette skjer i mellom to av verdiene. Likevel burde ikke dette være årsaken siden vi bruker såpass mange verdier som vi gjør. Da burde en sånn feil ikke være synlig på grafen.
Fra grafen for tetthet ser vi at det er en ganske bratt kurve nedover fram til vi kommer inn i den isotermale laget. Da bremses den veldig ned, noe som skyldes at temperaturen ikke lenger endres. som vi ser vil trykket gå mot \(0\) etterhvert som avstanden øker, slik vi ville forvente. Vi ser også at den er på \(6.81kg/m^3\) ved overflaten til planeten. Til sammenligning har jorden en atmosfærisk tetthet på rundt \(1.225kg/m^3\) ved havet, så tettheten er betraktelig større enn på jorden. Derfor må vi forvente en mye større luftmotstand enn vi ville fått på jorden.
Nå skal det sies at vi har gjort veldig mange forenklinger av atmosfæren, så det er ingen garanti for at den faktiske atmosfæren vil være slik vi har spådd. Likevel kan det hjelpe oss med å få en pekepinn på hvordan den er så vi kan gjøre oss klare for landingen.
I neste blogginnlegg skal vi forsøke å finne et egnet landingssted på planeten.