Post 5, Hvor mye drivstoff trengs for å komme seg bort herfra?

\

Nå er det på tide å slutte å se på sånne knøttsmå gassbokser, nå skal vi heller se på veldig veldig mange knøttsmå gassbokser som jobber sammen! Som sagt for at det skal være mulig å simulere på datamaskin (uten at simulasjonene tar mange dager) ser vi på partikler og krafta fra kun en liten gassboks. Så tar vi størrelsene fra den simulasjonen å ser på hvordan mange gassbokser jobber sammen som en stor rakettmotor. Antall små rakettmotorer kaller vi for N_m. 

Før vi fortsetter med simulasjonen av at raketten tar av osv. sier Tom Gunnar at vi burde regne ut mengden drivstoff som trengs. Når en liten gassboks slipper ut for eksempel 300 hydrogenpartikler iløpet av en tid \(\Delta t \), bruker den da \( \frac{300 m_{h}}{\Delta t} \) kg/s drivstoff (m_h er massen til hver partikkel), denne størrelsen kaller vi d. Med dette kan vi se på hvor mye drivstoff som brukes av N_m motorer. Det totale drivstoff forbruket for alle de små motorene sammen blir D_s = d N_m [kg/s], og den totale krafta fra alle gassboksene blir F =N_m f, hvor f er krafta fra en enkel gassboks. 

For at vi skal komme oss opp til verdensrommet må vi ha nok fart til å unnslippe gravitasjonen fra planeten, kalles escape velocity: v_esc. Dette skjer når den kinetiske energien til satellitten er større enn den potensielle fra planetens gravitasjon, da kommer vi til å fortsette ut i verdensrommet uten at gravitasjonen henter oss tilbake. 

For å finne ut hvor mye drivstoff som totalt brukes på å nå den ønskede farta v_esc, må vi gjøre litt matte. Husk at vi bare skal ha et estimat på hvor mye fuel som trengs, så vi ser bort fra gravitasjonen og luftmotstand. Siden det er kun krafta fra motoren som virker er

\( ma = F \) 

\( a = \frac{F}{m} \)

Hvor m [kg] er den totale massen til romskipet, inkludert fuel. Denne akselerasjonen er konstant siden rakettmotoren kjøres like hardt hele tiden, så vi kan faktisk se på bevegelseslikningen under: 

\( v = at \)

Farten finner vi som sagt med en gang den kinetiske energien er større enn den potensielle, for å gjøre det litt enklere setter vi v_esc til å være når den kinetiske og den potensielle energien er lik (for å faktisk få den større kan man legge på 10^-20 eller et annet lite tall, så denne lille differansen er det trygt å se bort fra for et estimat).

E_k = E_p

\( \frac{1}{2} mv_{esc}^2 = G \frac{mM}{R} \)

\( v_{esc} = \sqrt{ \frac{2GM}{R} } \)

Vi setter denne inn i bevegelseslikningen

\( t = \frac{v_{esc}}{F/m} \)

Da et det totale drivstoffer som brukes iløpet av tida t:

\( D_{tot} = D_s \frac{\sqrt{\frac{2GM}{R}}}{F/m} \)

Her er D_tot [kg] hvor mye drivstoff som brukes for å nå v_esc, D_s [kg/s] er drivstoff forbruket per sekund for hele motoren, G er Newton's gravitasjonskonstant [Nm²/kg²], M [kg] er massen til planeten vår, R [m] er radiusen til planeten, F [N] er krafta fra motoren (kalles thrust framover) og m [kg] er masse til raketten inkludert fuel (alt som står inni [ ] er altså enheten til størrelsen som blir forklart).

Okey, ferdig med det litt tørre matematikken. Dette er en formel hvor kun D_tot er ukjent, så den kan løses. Det eneste problemet er jo at vi aner ikke hvor mye fuel som trengs for å komme seg opp, så det første vi gjør er å regne ut D_tot uten fuel på tanken. Da er m kun lik massen til raketten, som er 1100kg. Da gir datamaskinen oss:

...................................

Det brukes 181.006 kg fuel for å nå v_esc

det tar 2.34 minutter å nå v_esc

...................................

Okei, håper denne tiden synker ganske mye med mer fuel slik at vi takler akselerasjonen. Tester pånytt med 1000kg fuel slik at m = m_r + m_f = 1100kg + 1000kg

...................................

Det brukes 345.557 kg fuel for å nå v_esc

det tar 4.47 minutter for å nå v_esc

...................................

Okei fint å vite. Her sitter vi igjen med rundt 650 kg fuel så 1000 kg fuel er nok et fint utgangspunkt å ha når vi skal se på litt mer detaljer. På neste post skal vi se på hvordan en faktisk launch fra planeten blir. Dette blir mye mer komplisert, men gir et mye bedre bilde på hvordan vår launch blir, så (plis) ønsk oss lykke til!